貴州省捧乍中學2013屆高三上學期8月月考文科數學試題一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在區間[0,2]上有零點，則f(x)在區間[0,2]上的零點個數是（）A.1B.2C.3D.02.若向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,-1)，則向量a與向量b的夾角余弦值是（）A.1/3B.2/3C.1/2D.-1/23.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5=15，S10=50，則數列{an}的公差d是（）A.1B.2C.3D.44.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則復數z在復平面上的軌跡是（）A.實軸B.虛軸C.第一象限D.第二象限5.已知函數f(x)=x^2-4x+3，若f(x)在區間[1,3]上的最大值是2，則f(x)在區間[1,3]上的最小值是（）A.0B.1C.2D.3二、填空題要求：將答案填入空格中。6.若等差數列{an}的首項a1=2，公差d=3，則第10項an=________。7.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則復數z在復平面上的軌跡方程是________。8.若函數f(x)=x^3-3x+1在區間[0,2]上有零點，則f(x)在區間[0,2]上的零點是________。三、解答題要求：解答下列各題。9.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x^2-2ax+1，其中a是常數。（1）求函數f(x)的對稱軸方程；（2）若函數f(x)在區間[1,3]上有兩個零點，求實數a的取值范圍。10.（本小題滿分12分）已知等差數列{an}的首項a1=1，公差d=2。（1）求證：數列{an}的任意一項an都是正整數；（2）若數列{an}的前n項和為Sn，求Sn的表達式。四、解答題要求：解答下列各題。11.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=e^x-x-1。（1）求函數f(x)的導數f'(x)；（2）若函數f(x)在區間[0,2]上有最大值，求實數x的取值范圍。五、解答題要求：解答下列各題。12.（本小題滿分12分）已知等比數列{bn}的首項b1=3，公比q=2。（1）求證：數列{bn}的任意一項bn都是3的倍數；（2）若數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的表達式。六、解答題要求：解答下列各題。13.（本小題滿分12分）已知復數z=a+bi（a，b是實數），且|z-1|=|z+1|。（1）求復數z在復平面上的軌跡方程；（2）若復數z滿足|z-1|=|z+1|，且z的實部a>0，求復數z的虛部b的取值范圍。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數f(x)=x^3-3x+1在區間[0,2]上單調遞增，且f(0)=1>0，f(2)=1>0，根據零點存在性定理，f(x)在區間[0,2]上至少有一個零點。再計算f(1)=-1<0，故f(x)在區間[0,2]上有兩個零點。2.C解析：向量a與向量b的夾角余弦值計算公式為cosθ=(a·b)/(|a|·|b|)，其中a·b表示向量a和向量b的點積，|a|和|b|分別表示向量a和向量b的模。計算得a·b=1*2+2*1+3*(-1)=2+2-3=1，|a|=√(1^2+2^2+3^2)=√14，|b|=√(2^2+1^2+(-1)^2)=√6。代入公式得cosθ=1/(√14*√6)=1/√84=1/2。3.A解析：等差數列{an}的前n項和公式為Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其中a1是首項，d是公差。代入S5=15和S10=50，得到兩個方程：15=5/2*(2*2+(5-1)*3)50=10/2*(2*2+(10-1)*3)解這個方程組，得到d=1，a1=2。4.A解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點1和點-1的距離相等，因此z位于實軸上。5.B解析：函數f(x)=x^2-4x+3在區間[1,3]上是一個開口向上的拋物線，其頂點坐標為(x,y)=(2,1)。由于拋物線開口向上，所以在區間[1,3]上的最小值在頂點處取得，即最小值為1。二、填空題6.29解析：等差數列{an}的第n項公式為an=a1+(n-1)d，代入a1=2和d=3，得到an=2+(10-1)*3=2+27=29。7.(x-1)^2+y^2=2解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點1和點-1的距離相等，因此z位于以點(1,0)為圓心，半徑為2的圓上。圓的方程為(x-1)^2+y^2=2^2。8.1解析：函數f(x)=x^3-3x+1在區間[0,2]上單調遞增，且f(0)=1>0，f(2)=1>0，根據零點存在性定理，f(x)在區間[0,2]上至少有一個零點。再計算f(1)=-1<0，故f(x)在區間[0,2]上有兩個零點，即x=1。三、解答題9.（本小題滿分12分）（1）對稱軸方程為x=a。解析：函數f(x)=x^2-2ax+1是一個二次函數，其對稱軸的x坐標為-a。（2）a的取值范圍是(1,3)。解析：函數f(x)=x^2-2ax+1在區間[1,3]上有兩個零點，意味著f(1)和f(3)的符號相反，即f(1)f(3)<0。計算f(1)和f(3)得f(1)=1-2a+1=2-2a，f(3)=9-6a+1=10-6a。所以(2-2a)(10-6a)<0，解得a的取值范圍是(1,3)。10.（本小題滿分12分）（1）數列{an}的任意一項an都是正整數。解析：數列{an}的首項a1=1，公差d=2，所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)*2=2n-1。由于n是正整數，所以an也是正整數。（2）Sn的表達式為n^2。解析：等差數列{an}的前n項和公式為Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，代入a1=1和d=2，得到Sn=n/2*(2+2(n-1))=n/2*(2n)=n^2。四、解答題11.（本小題滿分12分）（1）導數f'(x)=e^x-1。解析：函數f(x)=e^x-x-1的導數f'(x)=e^x-1。（2）x的取值范圍是(0,2)。解析：函數f(x)=e^x-x-1在區間[0,2]上有最大值，意味著f'(x)在區間[0,2]上有零點。由于f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，得到e^x=1，即x=0。因為f'(x)在x=0處從負變正，所以x=0是f(x)在區間[0,2]上的最大值點。五、解答題12.（本小題滿分12分）（1）數列{bn}的任意一項bn都是3的倍數。解析：數列{bn}的首項b1=3，公比q=2，所以bn=b1*q^(n-1)=3*2^(n-1)。由于2^(n-1)是2的整數次冪，所以bn是3的倍數。（2）Tn的表達式為3(2^n-1)。解析：等比數列{bn}的前n項和公式為Tn=b1*(q^n-1)/(q-1)，代入b1=3和q=2，得到Tn=3*(2^n-1)/(2-1)=3*(2^n-1)。六、解答題13.（本小題滿分12分）（1）軌跡方程為(x-1)^2+y^2=2。解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，表示z到點1