2025年歐洲女子數學奧林匹克（EGMO）模擬試卷（幾何證明組合分析）——高中競賽提升版一、幾何證明要求：運用幾何知識證明下列命題。1.在平面直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，證明三角形ABC是等腰三角形。2.已知在等邊三角形ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且AD=DE=EB，證明∠BDE=60°。3.在平面直角坐標系中，點P(0,2)，Q(3,0)，O為原點，證明直線PQ的方程為2x+3y-6=0。4.已知圓O的半徑為r，圓心坐標為(2,3)，點A在圓上，且∠AOB=90°，求點A的坐標。5.在平面直角坐標系中，點A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，D(7,8)，證明四邊形ABCD是平行四邊形。二、組合分析要求：運用組合知識解決下列問題。1.有5個不同的球，要將它們放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法有多少種。2.有7個不同的球，要將它們放入3個不同的盒子中，每個盒子最多放2個球，求不同的放法有多少種。3.有6個不同的球，要將它們放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，且每個盒子放球的數量不同，求不同的放法有多少種。4.有8個不同的球，要將它們放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，求不同的放法有多少種。5.有5個不同的球，要將它們放入3個不同的盒子中，每個盒子最多放2個球，且每個盒子放球的數量不同，求不同的放法有多少種。四、數列與不等式要求：運用數列與不等式的知識解決下列問題。1.已知數列{an}滿足an=an-1+2n，且a1=1，求an的表達式。2.已知數列{bn}滿足bn=bn-1+1/n，且b1=1，求bn的極限。3.證明不等式：對于任意正整數n，有1+1/2+1/3+...+1/n≥ln(n)+1。4.已知數列{cn}是等差數列，且c1=3，公差d=2，求cn=11時的項數n。5.證明不等式：對于任意正實數x，有x+1/x≥2。五、函數與導數要求：運用函數與導數的知識解決下列問題。1.已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x+1，求f'(x)的表達式。2.已知函數f(x)=(x-1)/(x^2+x+1)，求f'(x)的表達式。3.已知函數f(x)=ln(x^2+1)，求f'(x)的表達式。4.已知函數f(x)=e^(x^2)，求f'(x)的表達式。5.求函數f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2時的導數值。六、概率與統計要求：運用概率與統計的知識解決下列問題。1.從1到10這10個數字中隨機抽取3個不同的數字，求這三個數字構成一個等差數列的概率。2.某班級有30名學生，其中有18名女生，隨機抽取5名學生參加比賽，求抽到至少3名女生的概率。3.拋擲兩個公平的六面骰子，求兩個骰子點數之和為7的概率。4.某商店在一個月內銷售了1000件商品，其中有200件是次品，求隨機抽取一件商品是次品的概率。5.已知某班級有男生20名，女生25名，求該班級男生人數與女生人數之比。本次試卷答案如下：一、幾何證明1.解析：通過計算AB和AC的長度，可以證明AB=AC，從而證明三角形ABC是等腰三角形。解答：AB的長度為√[(3-1)^2+(4-2)^2]=√[4+4]=√8=2√2，AC的長度為√[(5-1)^2+(6-2)^2]=√[16+16]=√32=4√2，因此AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。2.解析：由于AD=DE=EB，可以得出三角形ADE和三角形ABE是等邊三角形，從而得出∠BDE=60°。解答：由于AD=DE=EB，三角形ADE和三角形ABE是等邊三角形，因此∠ADE=∠ABE=60°，由于三角形ABC是等邊三角形，所以∠BAC=60°，因此∠BDE=∠BAC=60°。3.解析：通過計算點P和點Q到原點O的距離，可以得出直線PQ的斜率，進而得出直線方程。解答：點P到原點O的距離為√[(0-0)^2+(2-0)^2]=√4=2，點Q到原點O的距離為√[(3-0)^2+(0-0)^2]=√9=3，因此直線PQ的斜率為(0-2)/(3-0)=-2/3，直線方程為y=(-2/3)x+b，由于直線經過點P(0,2)，可以得出b=2，因此直線方程為2x+3y-6=0。4.解析：由于∠AOB=90°，可以得出OA和OB是圓的半徑，從而得出點A的坐標。解答：由于∠AOB=90°，OA和OB是圓的半徑，因此OA=OB=r，點A的坐標可以表示為(2±r,3±r)。5.解析：通過計算AB和CD的長度，可以證明AB=CD，從而證明四邊形ABCD是平行四邊形。解答：AB的長度為√[(3-1)^2+(4-2)^2]=√[4+4]=√8=2√2，CD的長度為√[(7-5)^2+(8-6)^2]=√[4+4]=√8=2√2，因此AB=CD，四邊形ABCD是平行四邊形。二、組合分析1.解析：這是一個隔板法問題，可以通過將5個球排成一行，然后插入2個隔板來分成3組。解答：將5個球排成一行，有4個空位可以插入隔板，因此有C(4,2)=6種不同的放法。2.解析：這是一個隔板法問題，可以通過將7個球排成一行，然后插入2個隔板來分成3組，但每組最多放2個球。解答：將7個球排成一行，有6個空位可以插入隔板，但由于每組最多放2個球，需要考慮不同的組合方式，共有C(6,2)+C(5,2)+C(4,2)=15種不同的放法。3.解析：這是一個隔板法問題，可以通過將6個球排成一行，然后插入2個隔板來分成3組，但每組至少放一個球，且數量不同。解答：將6個球排成一行，有5個空位可以插入隔板，但由于每組至少放一個球，需要考慮不同的組合方式，共有C(5,2)=10種不同的放法。4.解析：這是一個隔板法問題，可以通過將8個球排成一行，然后插入3個隔板來分成4組，每組至少放一個球。解答：將8個球排成一行，有7個空位可以插入隔板，因此有C(7,3)=35種不同的放法。5.解析：這是一個隔板法問題，可以通過將5個球排成一行，然后插入2個隔板來分成3組，但每組最多放2個球，且數量不同。解答：將5個球排成一行，有4個空位可以插入隔板，但由于每組最多放2個球，需要考慮不同的組合方式，共有C(4,2)+C(3,2)=6種不同的放法。四、數列與不等式1.解析：通過遞推關系式，可以得出an的表達式。解答：an=an-1+2n，a1=1，通過遞推可以得到an=n^2。2.解析：通過計算bn的極限，可以得出bn的極限值。解答：bn=bn-1+1/n，b1=1，通過遞推可以得到bn=n-1+1/(n(n-1))，當n趨于無窮大時，bn的極限為ln(2)。3.解析：通過放縮法，可以證明不等式成立。解答：對于任意正整數n，有1+1/2+1/3+...+1/n≥ln(n)+1，可以通過放縮法證明。4.解析：通過等差數列的通項公式，可以求出cn=11時的項數n。解答：cn=c1+(n-1)d，c1=3，d=2，cn=11時，n=(11-3)/2+1=5。5.解析：通過導數的定義，可以求出函數在x=2時的導數值。解答：f(x)=x^3-6x^2+9x+1，f'(x)=3x^2-12x+9，將x=2代入得到f'(2)=3*2^2-12*2+9=-3。六、概率與統計1.解析：通過計算所有可能的情況和滿足條件的情況，可以得出概率。解答：從1到10抽取3個不同的數字，共有C(10,3)=120種可能，構成等差數列的有3種情況，因此概率為3/120=1/40。2.解析：通過計算至少抽到3名女生的概率，可以得出答案。解答：至少抽到3名女生的概率為C(18,3)*C(12,2)/C(30,5)+C(18,4)*C(12,1)/C(30,5)+C(18,5)/C(30,5)。3.解析：通過計算兩個骰子點數之和為7的概率，可以得出答