2025年廣東省十一年級上學期期末考試數學試卷（含答案）一、選擇題要求：請從下列各題給出的四個選項中，選擇一個最符合題意的答案。1.已知函數f(x)=x^2-2x+1，若f(x)在區間[1,3]上單調遞增，則實數a的取值范圍是（）。A.a≥1B.a≤1C.a>1D.a<12.在等差數列{an}中，a1=2，公差d=3，若Sn為前n項和，則Sn的值為（）。A.3n^2+3nB.3n^2+2nC.3n^2-3nD.3n^2-2n3.設函數f(x)=log2(x-1)+3x-2，若f(x)在區間[1,2]上有極值點，則f(x)的極值點為（）。A.x=1B.x=2C.x=3D.x=44.在平面直角坐標系中，拋物線y=x^2+bx+c與x軸交于A、B兩點，若A、B兩點的坐標分別為(-2,0)和(1,0)，則拋物線的對稱軸方程為（）。A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=2二、填空題要求：請將答案填寫在空格處。1.若等比數列{an}的公比q=-2，且a1=4，則數列{an}的前5項和S5為__________。2.已知函數f(x)=3x^2-4x+1，若f(x)的圖象關于直線x=1對稱，則函數f(x)的頂點坐標為__________。3.在三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，若三角形ABC的內角A、B、C的正弦值分別為sinA、sinB、sinC，則sinA+sinB+sinC的值為__________。三、解答題要求：請將解答過程寫出，并寫出最終答案。1.已知數列{an}滿足an=(1+an-1)^2，且a1=1，求an的通項公式。2.在平面直角坐標系中，拋物線y=x^2-4x+3與x軸交于A、B兩點，若點A在x軸負半軸上，求拋物線與x軸所圍成的三角形面積。3.設函數f(x)=x^3-3x+2，求f(x)在區間[1,2]上的最大值和最小值。四、解答題要求：請將解答過程寫出，并寫出最終答案。4.設函數f(x)=(x-1)/(x^2-x-6)，求函數f(x)的導數f'(x)，并找出f(x)在區間(-∞,+∞)上的極值點及極值。五、證明題要求：請證明以下等式成立。5.證明：對于任意實數x，都有(x^2-1)^2≥0。六、應用題要求：請根據題目給出的條件，列出相應的方程組，并求解方程組。6.一輛汽車從A地出發，以60公里/小時的速度行駛，3小時后到達B地。然后以80公里/小時的速度返回A地，返回過程中遇到故障，行駛了2小時后修理完畢，繼續以80公里/小時的速度行駛，最終在4小時后到達C地。求A、B、C三地之間的距離。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：函數f(x)=x^2-2x+1在區間[1,3]上單調遞增，說明導數f'(x)=2x-2在此區間上非負。由于導數在區間[1,3]上非負，因此a≤1。2.A解析：等差數列{an}的前n項和公式為Sn=n/2*(a1+an)，代入a1=2，d=3，得Sn=n/2*(2+(2+(n-1)*3))=3n^2+3n。3.C解析：函數f(x)=log2(x-1)+3x-2在區間[1,2]上有極值點，需計算導數f'(x)=1/(x-1)+3，令f'(x)=0解得x=3，符合條件。4.B解析：拋物線y=x^2+bx+c與x軸交點坐標滿足y=0，代入得x^2+bx+c=0。由韋達定理，x1+x2=-b，x1*x2=c。因為A、B兩點的坐標分別為(-2,0)和(1,0)，所以x1+x2=-2+1=-1，x1*x2=-2*1=-2。對稱軸方程為x=(x1+x2)/2=-1/2。二、填空題1.62解析：等比數列{an}的前5項和S5=a1*(1-q^5)/(1-q)=4*(1-(-2)^5)/(1-(-2))=62。2.(1,-2)解析：函數f(x)=3x^2-4x+1的圖象關于直線x=1對稱，說明頂點橫坐標為1，代入得f(1)=3*1^2-4*1+1=-2，所以頂點坐標為(1,-2)。3.3/2解析：由正弦定理sinA/AB=sinB/BC=sinC/AC，得sinA+sinB+sinC=sinA/AB*AB+sinB/BC*BC+sinC/AC*AC=3/2。三、解答題1.解析：數列{an}滿足an=(1+an-1)^2，a1=1。首先，當n=2時，a2=(1+a1)^2=4。然后，對于n>2，有an=(1+an-1)^2=(1+(1+an-2)^2)^2。通過遞推關系可以求出通項公式。2.解析：拋物線y=x^2-4x+3與x軸交點為x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3。由于點A在x軸負半軸上，A點坐標為(1,0)，B點坐標為(3,0)。拋物線與x軸所圍成的三角形面積為1/2*底*高=1/2*(3-1)*3=3。3.解析：函數f(x)=x^3-3x+2在區間[1,2]上的最大值和最小值，可以通過計算導數f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0解得x=1。然后計算f(1)和f(2)的值，比較得出最大值和最小值。四、解答題4.解析：函數f(x)=(x-1)/(x^2-x-6)的導數f'(x)=[(x^2-x-6)-(x-1)*(2x-1)]/(x^2-x-6)^2=(-x^2+4x+5)/(x^2-x-6)^2。極值點為f'(x)=0的解，即-x^2+4x+5=0，解得x=1或x=5。計算f(1)和f(5)的值，找出極值點及極值。五、證明題5.解析：對于任意實數x，(x^2-1)^2=(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)=(x-1)^2(x+1)^2。因為平方總是非負的，所以(x-1)^2≥0且(x+1)^2≥0，從而得到(x^2-1)^2≥0。六、應