2024年新高考數學一輪復習專題14空間向量與立體幾何（原卷版）一、選擇題（每題1分，共5分）1.下列哪個向量與向量a=(1,2,3)垂直？A.(2,1,0)B.(1,2,1)C.(3,1,2)D.(0,3,2)2.若向量a與向量b的夾角為60°，且|a|=2,|b|=3，則a·b的值為：A.3B.6C.3√3D.6√33.在空間直角坐標系中，點P(1,2,3)到x軸的距離是：A.1B.2C.3D.√144.若平面α的法向量為n=(2,3,1)，則點P(x,y,z)在平面α上的條件是：A.2x+3yz=0B.2x3y+z=0C.x+2y3z=0D.x2y+3z=05.若直線L的方向向量為s=(1,2,1)，則直線L與x軸的夾角θ滿足：A.0°<θ<45°B.45°<θ<90°C.90°<θ<135°D.135°<θ<180°二、判斷題（每題1分，共5分）6.兩個非零向量垂直的充分必要條件是它們的點積為0。7.在空間直角坐標系中，任意兩個向量的夾角都在0°到180°之間。8.若一個向量與坐標軸的夾角都小于90°，則這個向量是正方向向量。9.兩個不平行的向量一定不共線。10.一個非零向量與自身的夾角是0°。三、填空題（每題1分，共5分）11.若向量a=(1,2,3)，則2a的坐標是__________。12.若向量a=(2,1,1)，向量b=(1,1,2)，則a與b的夾角余弦值是__________。13.平面2x3y+4z=7的法向量是__________。14.若點A(1,2,3)和點B(2,3,4)的中點為M，則M的坐標是__________。15.若直線L過點P(1,2,3)且平行于向量s=(1,1,1)，則直線L的參數方程是__________。四、簡答題（每題2分，共10分）16.簡述空間向量的基本性質。17.如何判斷兩個向量是否共線？18.描述空間直角坐標系中點到平面的距離公式。19.解釋直線與平面的位置關系。20.什么是向量的點積？并給出計算公式。五、應用題（每題2分，共10分）21.已知向量a=(2,1,1)，向量b=(1,1,2)，求向量a在向量b上的投影。22.已知點A(1,2,3)，點B(2,3,4)，求向量AB的坐標和長度。23.已知平面α：2xy+3z=5，點P(1,2,3)，求點P到平面α的距離。24.已知直線L的方向向量為s=(1,1,1)，過點A(1,2,3)，求直線L的方程。25.已知兩個向量a=(1,2,3)，b=(2,1,1)，求它們的夾角。六、分析題（每題5分，共10分）26.分析空間直角坐標系中，一個點關于坐標軸和坐標平面的對稱點的坐標變化規律。27.若向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,1)，求向量a與向量b的夾角，并分析這個夾角與兩個向量方向的關系。七、實踐操作題（每題5分，共10分）28.在空間直角坐標系中，給定兩點A(1,2,3)和B(2,3,4)，求線段AB的中點M，并畫出線段AB和點M的示意圖。29.已知平面α：2xy+3z=5，點P(1,2,3)，求點P到平面α的垂線段，并畫出平面α、點P和垂線段的示意圖。八、專業設計題（每題2分，共10分）31.設計一個空間直角坐標系中的三維圖形，要求包含至少一個球體、一個圓柱體和一個圓錐體，并給出它們的方程。32.給定一個點P(1,2,3)和一個方向向量s(1,1,1)，設計一條過點P且方向為s的直線，并給出直線的方程。33.設計一個平面，要求平面經過點A(1,2,3)和點B(2,3,4)，且與向量n(1,1,1)垂直，并給出平面的方程。34.給定兩個向量a(1,2,3)和b(2,1,1)，設計一個向量c，使得c同時垂直于a和b，并給出向量c的坐標。35.設計一個空間直角坐標系中的四面體，要求四面體的四個頂點分別為A(1,2,3)，B(2,3,4)，C(3,4,5)和D(4,5,6)，并給出四面體的體積。九、概念解釋題（每題2分，共10分）36.解釋什么是向量的長度，并給出計算公式。37.解釋什么是向量的方向，并給出表示方法。38.解釋什么是平面的法向量，并給出平面的方程。39.解釋什么是直線的方向向量，并給出直線的方程。40.解釋什么是向量的點積和叉積，并給出計算公式。十、思考題（每題2分，共10分）41.思考空間直角坐標系中，一個點關于坐標軸和坐標平面的對稱點的坐標變化規律。42.思考空間直角坐標系中，兩個向量的點積和叉積的幾何意義。43.思考空間直角坐標系中，直線與平面的位置關系。44.思考空間直角坐標系中，四面體的體積計算方法。45.思考空間直角坐標系中，球體的方程和體積計算方法。十一、社會擴展題（每題3分，共15分）46.研究空間向量在現實生活中的應用，例如在建筑設計、機械制造和航空航天領域的應用。47.探索空間向量在計算機圖形學中的應用，例如在三維建模和動畫制作中的應用。48.分析空間向量在數據科學中的應用，例如在機器學習和數據挖掘中的應用。49.研究空間向量在虛擬現實和增強現實技術中的應用，例如在游戲開發和模擬訓練中的應用。一、選擇題答案1.B2.A3.C4.D5.A二、判斷題答案6.錯誤7.正確8.錯誤9.正確10.錯誤三、填空題答案11.412.113.214.315.6四、簡答題答案16.向量的長度是指向量的模，計算公式為：|a|=√(a_x^2+a_y^2+a_z^2)。17.向量的方向可以用一個與向量平行的單位向量來表示，計算公式為：u=a/|a|。18.平面的法向量是與平面垂直的向量，平面的方程可以表示為：n·(rr_0)=0，其中n是法向量，r是平面上任意一點，r_0是平面上的一個已知點。19.直線的方向向量是與直線平行的向量，直線的方程可以表示為：r=r_0+t·s，其中r_0是直線上的一個已知點，s是方向向量，t是參數。20.向量的點積計算公式為：a·b=|a|·|b|·cosθ，向量的叉積計算公式為：a×b=|a|·|b|·sinθ·n，其中θ是兩個向量的夾角，n是垂直于兩個向量所在平面的單位向量。五、應用題答案21.向量a與向量b的夾角θ=arccos((a·b)/(|a|·|b|))。22.點P到平面π的距離d=|n·(Pr_0)|/|n|。23.直線L的方向向量s=(ba)/|ba|。24.線段AB的長度|AB|=√((x_Bx_A)^2+(y_By_A)^2+(z_Bz_A)^2)。25.三棱錐的體積V=(1/3)·S·h，其中S是底面積，h是高。六、分析題答案26.略27.略七、實踐操作題答案28.略29.略1.向量的基本概念：向量的長度、方向、點積、叉積。2.空間直角坐標系：坐標軸、坐標平面、點的坐標表示。3.平面的方程：一般式、點法式、截距式。4.直線的方程：一般式、點向式、參數式。5.空間幾何圖形：球體、圓柱體、圓錐體、四面體。6.向量與幾何圖形的位置關系：點線距離、點面距離、線面夾角、面面夾角。各題型所考察學生的知識點詳解及示例：1.選擇題：考察學生對向量基本概念、空間直角坐標系、平面和直線方程的理解和應用。2.判斷題：考察學生對向量基本性質、空間幾何圖形特征的理解。3.填