專題5.1弧度制及任意角的三角函數課標要求考情分析核心素養1.角與弧度：了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化,體會引入弧度制的必要性.2.三角函數概念和性質：借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義,能畫出這些三角函數的圖象,了解三角函數的周期性、單調性、奇偶性、最大(小)值.新高考近3年考題題號考點數學抽象數學運算直觀想象2024(Ⅰ)卷該專題近三年沒有單獨命題，但穿插在其它試題中考查2024(Ⅱ)卷2023(Ⅰ)卷2023(Ⅱ)卷2022(Ⅰ)卷2022(Ⅱ)卷1.角概念的推廣(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形.(2)分類：EQ\b\lc\{(\a\al(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角,按終邊位置不同分為象限角和軸線角)).(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S=(4)象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{α|2kπ<α<第二象限角{α|第三象限角{α|π+2kπ<α<第四象限角{α|(5)軸線角的集合表示軸限角集合表示終邊落在x軸上的角{α|α=kπ終邊落在y軸上的角{α|α=終邊落在坐標軸上的角{α|α=2.弧度制(1)1弧度的角：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作“弧度”.正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.(2)弧度制：用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.(3)角的弧度數公式：在半徑為r的圓中，弧長為l的弧長所對的圓心角為αrad，那么α=(4)角度制和弧度制的互化：180°=(5)扇形的弧長公式：l=α?r,3.任意角的三角函數(1)定義：任意角α的終邊與單位圓交于點P(x,y)時，則sinα，cosα，tanα(2)三角函數：將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為:

正弦函數y=sinx,x∈R；

余弦函數y=cosx,x∈R(2)三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正?二正弦?三正切?四余弦.【重要結論】1.三角函數值在各象限的符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2.(1)第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必終邊不相同，終邊相同的角也未必相等.3.弧度制和角度制可利用180°=π

1.【人教A版必修一5.2.1練習4P181】已知點P(2,0)在半徑為2，圓心在原點的圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為15°/s，在第11s時點P所在位置的坐標為(x,y)，則x+y=A.2 B.3 C.?2.【人教A版必修一5.2.1練習2P182】大數學家高斯在19歲時，解決了困擾數學界達千年之久的圓內接正十七邊形的尺規作圖問題，并認為這是他最得意的作品之一．設α是圓內接正十七邊形的一個內角，則(

)A.sinα+cosα>0 B.sin?2α>0

C.考點考點一角的概念與表示【典例精講】例1.(2023·山東省日照市月考)（多選）下列說法正確的有(

)A.?π9與17π9的終邊相同 B.小于90°的角是銳角

C.若θ為第二象限角，則θ2例2.(2024·山東省青島市月考)（多選）下列說法錯誤的是

(

)A.若角α=2rad，則角α為第二象限角

B.將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是30°

C.若角α為第一象限角，則角α2也是第一象限角

D.若一扇形的圓心角為【方法儲備】1.判斷象限角的方法(1)圖象法:在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；(2)轉化法：先將已知角化為α+2kπ0≤α<2kπ,k∈Z的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α【易錯提醒】=1\*GB2⑴注意正角、第一象限角和銳角的聯系與區別，正角可以是任一象限角，也可以是軸線角；=2\*GB2⑵銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含軸線角．2.求θn或nθ(n∈(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z(2)兩邊同除以n或乘以n；(3)對k進行討論，得到θn或nθ(n∈3.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角．【拓展提升】練11.(2024·山東省菏澤市期末)（多選）已知α是第三象限角，則α2可能是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角練12.(2024·內蒙古呼和浩特市月考)（多選）下列結論中正確的是(

)A.終邊經過點(a,a)(a≠0)的角的集合是{α|α=π4+kπ,k∈Z}；

B.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉過的角的弧度數是π3；

C.若α是第三象限角，則考點二弧度制及應用考點二弧度制及應用【典例精講】

例3.(2024·山東省聊城市月考)如圖，半徑為1的圓M與x軸相切于原點O，切點處有一個標志，該圓沿x軸向右滾動，當圓M滾動到與出發位置時的圓相外切時(記此時圓心為N)，標志位于點A處，圓N與x軸相切于點B，則陰影部分的面積是(

)

A.2 B.1 C.π3 D.例4.(2024·江西省宜春市月考)如圖為某月牙潭的示意圖，該月牙潭是由兩段在同一平面內的圓弧形堤岸連接圍成，其中外堤岸為半圓形，內堤岸圓弧所在圓的半徑為30米，兩堤岸的連接點A，B間的距離為302米，則該月牙潭的面積為

【方法儲備】扇形的弧長和面積公式：=1\*GB2⑴扇形的弧長公式：l=α?r；=2\*GB2⑵扇形的面積公式：S=12lr=1【易錯提醒】=1\*GB2⑴利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位是弧度；=2\*GB2⑵求扇形面積最大值的問題時，常轉化為求二次函數的最值問題；=3\*GB2⑶在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．【拓展提升】練21.(2024·河南省周口市月考)如圖，直角△POB中，∠PBO=90°，以O為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于A點．若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB=α弧度，則αtan練22.(2024·山東省青島市月考)某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示，O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan?∠ODC=35，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF考點三三角函數的定義及考點三三角函數的定義及應用【典例精講】例5.(2023·湖北省黃岡市月考)（多選）已知角α的終邊過點P(?4m,3m)，m≠0，則2sinα+cosα的值可能是(

)A.1 B.25 C.?25例6.(2024·河南省信陽市聯考)在直角坐標系xOy中，已知質點A從點(1,0)處出發以1rad/s沿著單位圓逆時針方向運動，π/4s后質點B也從點(1,0)處出發以2?rad/s沿著單位圓順時針運動.設在B運動ts后，質點A，B分別位于A0，B0處，若第二次出現OA0A.π12 B.5π12 C.3π4【方法儲備】1.三角函數的定義及應用=1\*GB2⑴利用定義求角的三角函數值：已知角α的終邊與單位圓交于點Px,y，則sinα=y，tanα==2\*GB2⑵已知角α終邊上的點（異于原點）求角的三角函數值：已知角α終邊上一點Px,y，則sinα==3\*GB2⑶已知角α的一個三角函數值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求角α的三角函數值：先求出點P到原點的距離(帶參數)，根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題；=4\*GB2⑷已知角α的終邊在直線上求三角函數值：角的終邊為直線，所以應分兩種情況來處理，取射線上任一點坐標(a，b)(a≠0)，則sinα=ba22.三角函數值符號及角所在象限的判斷:=1\*GB2⑴已知角或角的范圍確定三角函數式的符號；=2\*GB2⑵由三角函數式的符號去頂角的范圍或象限；三角函數的正負還要考慮終邊落在坐標軸上的角.【拓展提升】練31.(2023·山東省菏澤市期末)若角α的終邊落在直線y=3x上，角β的終邊與單位圓交于點(12,m)，且sinα?cos練32.(2023·山東省青島市模擬)（多選）已知函數y=loga(2x?1)+3(a>0且a≠1)過定點P，且α+π4的終邊過點Psin2α=45 B.sinα=?5練33.(2023·安徽省淮北市模擬)如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB，CD，EF，GH分別是單位圓上的四段弧，點P在其中一段弧上，角α以Ox為始邊，OP為終邊.若sinα<cosα<tanα，則點P所在的圓弧是(

)AB B.CD C.EF D.GH練1.(2024·湖南省長沙市高三模擬)“會圓術”是我國古代計算圓弧長度的方法，它是我國古代科技史上的杰作，如圖所示AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在AB上，CD⊥AB，則AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CD2OA.利用上述公式解決如下問題：現有一自動傘在空中受人的體重影響，自然緩慢下降，傘面與人體恰好可以抽象成傘面的曲線在以人體為圓心的圓上的一段圓弧，若傘打開后繩長為6米，該圓弧所對的圓心角為60°，則傘的弧長大約為A.5.3米 B.6.3米 C.8.3米 D.11.3米練2.(2024·河北省石家莊市月考)（多選）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日(πDay).歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統數學中的“割圓術”相似．數學家阿爾·卡西的方法是：當正整數n充分大時，計算單位圓的內接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長，將它們的算術平均數作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達式是(????)．A.3nsin30°n+tan30練3.(2024·湖北省十堰市月考)“萊洛三角形”是機械學家萊洛研究發現的一種曲邊三角形，轉子發動機的設計就是利用了萊洛三角形.轉子引擎只需轉一周，各轉子便有一次進氣、壓縮、點火與排氣過程，相當于往復式引擎運轉兩周，因此具有小排氣量就能成就高動力輸出的優點.另外，由于轉子引擎的軸向運轉特性，它不需要精密的曲軸平衡就可以達到非常高的運轉轉速.“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形(如圖所示).設“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為2，則該“萊洛三角形”的面積為

．

【答案解析】1.【人教A版必修一5.2.1練習4P181】解：由題意可知，角速度為15°/s，即π12rad/s，

所以在第11s時點P(2,0)轉過的角度為11π12，

所以x=|OP|cos11π12=2cos11π2.【人教A版必修一5.2.1練習2P182】解：正十七邊形的內角和為(17?2)×180°=2700°，

因此正十七邊形的每一個內角為2700°17≈159°，而90°<135°<159°<180°，

∴sinα<22，cosα<?22，∴sinα+cosα<0，故A錯誤；

∵2α≈2×159°=318°∈(270°,360°)，

例1.解：對于A選項，因為17π9=?π9+2π，所以?π9與17π9的終邊相同，A對;

對于B選項，?15°的角不是銳角，B錯;

對于C選項，取θ=500°，則θ為第二象限角，但θ2為第三象限角，C錯故選AD．例2.解：A.若角α=2rad，2∈(π2,π)，則角α為第二象限角，正確；

B.將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是?30°，故錯誤；

C.若角α為第一象限角，則2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，則kπ<α2<練11.解：因為α是第三象限角，所以2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，

所以kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，

當練12.解：對于A，終邊經過點(a,a)(a≠0)的角正切等于aa=1，

所以終邊經過點(a,a)(a≠0)的角的集合是{α|α=π4+kπ,k∈Z}，所以A正確;

對于B，將表的分針撥慢10分鐘，則分針逆時針旋轉60°，

即分針轉過的角的弧度數是π3，所以B正確;

對于C，若α是第三象限角，則π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，則π2+kπ<α2<3π4+kπ,k∈Z，

若k為偶數，設k=2n，n∈Z，則π2+2nπ<α2<N={x|x=90°+k·45°,k∈Z}={x|x=(k+2)45°,k∈Z}，

所以M中的元素是45°的奇數倍的角，N中元素是45°的整數倍的角，

所以M?N，所以D正確．

故選ABD．例3.解：由題可得AB?的長度為2，則陰影部分的面積是12×2×1=1例4.解：如圖所示，設外堤岸圓心

O2，內堤岸圓心

O1，連接AB，O1O2，

∵AB=302米，且AB為外堤岸所在圓的直徑，所以AO2=O2B=152，

因為內堤岸半徑為30米

∴

AO1=O1B=30米，sin∠AO1O2故答案為450．練21.解：設扇形的半徑為r，則扇形的面積為12αr2，直角三角形POB中，PB=rtanα，

△POB的面積為12r×rtanα，由題意得12r×rtanα=2×12練22.解：設上面的大圓弧的半徑為x

，由題意中的長度關系易知∠AGD=45°

，同理∠AHO=45°，可得?AOH為等腰直角三角形，可得OJ=AJ=其中tan∠ODC=OLDL=35S陰影故答案為52例5.解：∵角α的終邊過點P?4m,3m，(m≠0)，∴r=?4m2+3m2=5m，

∴sinα=yr=3m5|m|，cosα=xr=?4m5|m|，

①當m>0時，sinα=3m5m=故選BC．例6.解：由已知得，B運動ts后A0，B0的坐標分別為(cos(t+π4),sin(t+π4))，(cos(?2t),sin(?2t))，

因為OA0⊥OB0，所以cos(t+π4)?cos(?2t)+sin(t+π練31.解：由角β的終邊與單位圓交于點(12,m)，得cosβ=12因為角α的終邊落在直線y=3x記P為角α的終邊與單位圓的交點，設P(x,y)(x<0,y<0)，則|OP|=1(O為坐標原點)，即x2又由y=3x得x=?12因為點(12,m)在單位圓上，所以(所以sinβ=±32，cosα?sinβ=±3練32.解：因為函數y=loga(2x?1)+3(a>0且a≠1)過定點P1,3，

又角α+π4的終邊過點所以?π4+2kπ<

α<π4+2kπ,k∈Z，并且tanα+π4=31=3，

由tanα+11?tanα=3知，t