專題8.3簡單幾何體的表面積與體積【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1多面體的表面積與體積】 2【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】 5【題型3球的表面積與體積】 7【題型4組合體的表面積與體積】 8【題型5球的截面問題】 12【題型6幾何體與球的切、接問題】 15【題型7實際應用問題】 19【知識點1簡單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側面積、表面積和體積多面體圖形側面積與表面積體積棱柱直棱柱的側面展開圖是矩形，

S直棱柱側=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側=Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉體的側面積、表面積和體積旋轉體圖形側面積與表面積體積圓柱圓柱的側面展開圖是矩形，S圓柱側=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側面展開圖是扇形，S圓錐側=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側面展開圖是扇環，S圓臺側=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該怎樣求，然后根據公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【題型1多面體的表面積與體積】【例1】（2023上·黑龍江·高二統考學業考試）《九章算術》中記載，四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.現有一個“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA=3，AC=BC=2，則該四面體的體積為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【解題思路】根據錐體的體積公式運算求解.【解答過程】由題意可知：三棱錐P?ABC的高為PA=3，所以該四面體的體積為13故選：B.【變式11】（2023上·湖南岳陽·高二校考競賽）正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（

）．A．2 B．3 C．62 D．【解題思路】設正方體的棱長為a，可求出正四面體的棱長，繼而求得兩種幾何體的表面積即可.【解答過程】正方體的棱長為a，此時正四面體的棱長為2a則正方體的表面積為6a正四面體的表面積為4×1兩者之比為6a故選：B.【變式12】（2023上·陜西·高三校聯考階段練習）已知正三棱柱ABC?A1B1CA．3 B．33 C．6 D．【解題思路】利用正三棱柱外接球的性質得到a,?的關系式，從而利用二次函數的性質或基本不等式即可得解.【解答過程】解法一：設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a3，故又三棱柱的側面積S=3a?，所以S2當?=2時，等號成立，則三棱柱的側面積S=3a?最大值為3解法二：設正三棱柱底面邊長為a，高為h，底面外接圓的半徑為r，則2r=asin60°=2a因為a23+當且僅當a=62，?=2時，等號成立，則三棱柱的側面積S=3a?故選：B.【變式13】（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有某種溶液，AB=6,A1B1=2，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的34，若圖1和圖2中溶液體積分別為A．34 B．3839 C．1 【解題思路】根據棱臺的體積公式，求出V1【解答過程】設四棱臺的高度為?，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為4，在圖2中，中間液面四邊形的邊長為5，則V1所以V1故選：D.【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】【例2】（2023·全國·模擬預測）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側面展開圖扇形SAB的面積為3π，則此圓錐的體積為（

A．22π3 B．4π C．【解題思路】根據圓錐側面積公式求出母線長，再求出其高，最后利用體積公式即可.【解答過程】設圓錐的母線長為l，則圓錐的側面積S=12×2所以圓錐的高SO=3故圓錐的體積V=1故選：A.【變式21】（2023上·山東·高三校考期中）如圖，圓錐的母線長為2，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子繞圓錐的側面轉一周到達B點，這條繩子的長度最短值為5，則此圓錐的表面積為（

）

A．π B．54π C．32【解題思路】作出圓錐側面展開圖，根據給定條件求出展開圖扇形圓心角，再求出圓錐底面圓半徑即可作答.【解答過程】將圓錐側面沿母線AB剪開，其側面展開圖為扇形，如圖，

從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側面轉一周達到B點，最短距離即為線段BM長，則有BM=5而M是線段AB'中點，又母線長為2，于是得AM設圓錐底面圓半徑為r，從而有：2πr=2?π所以圓錐的表面積為S=π故選:B.【變式22】（2023·浙江溫州·高二統考學業考試）已知一個圓臺的上底面半徑為2，下底面的半徑為5，其側面積為35π，則該圓臺的體積為（

A．208π B．156π C．104π【解題思路】根據圓臺的側面積公式求出母線，再求圓臺的高結合圓臺體積公式求體積即可.【解答過程】設圓臺上下底面的半徑分別為r′,r，母線為由題意可得：S側則圓臺的高為?=l所以圓臺的體積為V=1故選：D.【變式23】（2023上·遼寧·高三校聯考期中）如圖，在圓錐PO中，用一個平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個圓錐PO1和一個圓臺O1O，若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18A．12 B．14 C．23【解題思路】根據體積之比可得半徑之比，即可根據圓錐和圓臺的側面積的公式即可求解.【解答過程】設圓錐PO1,PO的底面圓半徑分別為r,R因為VPO1VPO即R=2r，L=2l.所以SP故選：D.【題型3球的表面積與體積】【例3】（2023下·陜西西安·高一期中）兩個球表面積的比為1:4，則體積的比為（

）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不確定【解題思路】由表面積的比得到半徑之比，再得到體積之比.【解答過程】設兩球的半徑分別為r1，r∵表面積之比S1S2=4∴體積之比V1故選：C.【變式31】（2023上·上海·高二專題練習）若兩球的體積之和是12π，經過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為（A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】設兩球的半徑分別為R，r(R>r)，根據題意得到方程，解出即可.【解答過程】設兩球的半徑分別為R，r(R>r)，則由題意得4π解得R=2r=1，故R?r=1故選：A.【變式32】（2023·陜西商洛·統考一模）將一個底面半徑為3，高為4的圓柱形鐵塊熔化為鐵水，恰好制成一個實心鐵球，則該實心鐵球的半徑是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】根據題意，求得圓柱的體積，結合球的體積公式，列出方程，即可求解.【解答過程】由題意，可得圓柱的體積為V=π設該實心鐵球的半徑為R，則43πR故選：B.【變式33】（2023上·四川南充·高二校考階段練習）如圖所示是古希臘數學家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發現．我們來重溫這個偉大發現，圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A．65 B．54 C．32【解題思路】根據圓柱的表面積公式和球的表面積公式求解．【解答過程】設球半徑為r，則圓柱底面半徑為r，高為2r，所以圓柱的表面積S1與球的表面積S2之比為故選：C．【題型4組合體的表面積與體積】【例4】（2023上·山東濱州·高三校聯考階段練習）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，是過去官員或私人簽署文件時代表身份的信物。圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且正四棱錐的底面邊長為4，側棱長為23，則該幾何體的體積是（

A．32 B．643 C．1283【解題思路】根據正四棱錐的幾何性質，建立方程，求得其高，結合體積公式，可得答案.【解答過程】解：因為正四棱錐的底面邊長為4，所以底面的對角線長為42設正四棱柱和正四棱錐的高為?，因為正四棱錐的側棱長為23，所以?2+故該幾何體的體積為4×4×2+1故選：C.【變式41】（2023上·河南周口·高三校聯考階段練習）中國是瓷器的故鄉，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為18cm，底面直徑AB=12cm，CD=20cm，EF=14cm，中間圓臺的高為3cmA．375πcm2 B．377πcm2【解題思路】先計算兩個圓臺的母線長，根據圓柱和圓臺的側面積公式和可得該瓷器的側面積.【解答過程】由AC=32+可得該瓷器的側面積為12π故選：D.【變式42】（2023·陜西安康·校聯考模擬預測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐SO和圓柱OO1組合而成，點M,N在圓錐SO的底面圓周上，且△SMN的面積為7,sin∠MSN=74，圓錐SOA．40π3 B．44π3 C．【解題思路】該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱組成的，由S△SMN【解答過程】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則△SMN的面積為12SM×SNsin因為圓錐SO的側面積為πrl=22π故該幾何體的體積為V=V故選：B.【變式43】（2023上·湖北·高二荊州中學校考階段練習）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為3:3:5，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（

）

A．3:9:25 B．9:21:35 C．3:39:65 D．9:39:65【解題思路】設上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，根據棱柱和棱臺的體積公式直接計算，然后求比可得.【解答過程】設上面的六棱柱的底面面積為S，高為3m，由上到下的三個幾何體體積分別記為V1則V1V2V3所以V1故選：D.

【知識點2球的截面、幾何體與球的切、接問題】1．球的截面(1)球的截面形狀

①當截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關系如圖所示.若設球的半徑為R，以O'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.2．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關的組合體問題有兩種：一種是內切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型5球的截面問題】【例5】（2023·全國·高三專題練習）某同學在參加《通用技術》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為43的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的體積是（A．256π3 B．64π C．16【解題思路】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球的體積公式即可求得結果.【解答過程】由題意可得，球心到截面圓所在的平面的距離d=4設截面圓的半徑為r，球的半徑為R，則2πr=4π所以R=r所以該球的體積為43故選：A.【變式51】（2023上·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）三棱錐A?BCD的四個頂點都在表面積為20π的球O上，點A在平面BCD的射影是線段BC的中點，AB=BC=23，則平面BCD被球O截得的截面面積為（A．23π C．4π D．【解題思路】分別找出△BCD和△ABC的外接圓圓心F和H，通過過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A?BCD外接球球心O，再通過幾何關系求出△BCD外接圓半徑，即可求其被球O截得的圓的面積．【解答過程】設BC中點為E，∵點A在平面BCD的射影是線段BC的中點E，∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形．取AC中點為G，連接BG交AE于H，則H是△ABC外心．連接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，則F為△BCD外心．過F作平面BCD的垂線，過H作平面ABC的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐A?BCD外接球球心O，則四邊形OHEF是矩形，OF=HE=1連接OB，BF，設△BCD外接圓半徑FD=BF=r，設球O半徑為OB=R．∵球O的表面積為20π，∴4∴在Rt△OBF中，r=BF=R∴平面BCD被球O截得的截面面積πr故選：C.【變式52】（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐P?ABC滿足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點，且AD=3DC，球O為三棱錐P?ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π，則球O的表面積為（

A．72π B．86π C．112π D．128π【解題思路】先找到外接球球心，過BC的中點M作OM//PA，則OM⊥平面ABC，取OM=12PA，則O為P?ABC外接球球心，過點D作球O的截面，最大的截面過球心，最小的截面是過D且與OD【解答過程】如圖，M是BC邊中點，E是AC邊中點，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，

作OM//PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，AM,MD?平面ABC，∴OM⊥AM,OM⊥MD，取OM=12PA∴O是三棱錐P?ABC的外接球的球心.E是AC中點，則ME//AB，ME=12AB=3∵AD=3DC，∴ED=14AC=2設PA=2a，則OM=a，OD2=O∴OA過D且與OD垂直的截面圓半徑為r，則r=O這是最小的截面圓半徑，最大的截面圓半徑等于球半徑OA，∴πOA2OA2=故選：D.【變式53】（2023下·浙江·高二校聯考階段練習）在三棱錐A?BCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，半徑為1的球O在該三棱錐內部且與面ABC?面ABD?面BCD均相切.若平面α與球O相切，則三棱錐A?BCD的外接球被平面α所截得的截面面積的最小值為（

）A．8+23π B．6+23π C．【解題思路】先推出球的截面面積與球心距離的關系，再根據條件將三棱錐A?BCD看作正方體的一部分，求出外接球的球心和半徑，運用前面推出的關系求解.【解答過程】設截面圓與球心O1的距離為h，球O1的半徑為R，截面圓的半徑為r，則即h越大，截面的面積越小；由題意三棱錐A?BCD是正方體AEGF?BCHD的一部分，其外接球的球心為正方體對角線AH的中點O1外接球的半徑R，則R=4

以BC為x軸，BD為y軸，BA為z軸建立坐標系，則O1,1,1,OO1到球O球面上最遠的點距離為?=此時以最遠點為切點的平面α截外接球O1截面圓的半徑為r=即截面面積的最小值為S=r故選：C.【題型6幾何體與球的切、接問題】【例6】（2023上·上海閔行·高二校考期末）我國古代數學名著《九章算術》，將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C(1)求證：四棱錐D1(2)求該“陽馬”D1【解題思路】（1）根據DD1⊥平面ABCD（2）根據長方體的外接球即為四棱錐的外接球，長方體的對角線就是外接球的直徑，結合球體的表面積公式求解.【解答過程】（1）因為長方體ABCD?A1B1C1D所以四棱錐D1?ABCD中，底面ABCD是矩形，且側棱DD所以四棱錐D1體積V=1（2）長方體的外接球即為四棱錐的外接球，因為AB=BC=2，AA∴長方體的對角線長為22則長方體的外接球的半徑R=17∴該“陽馬”外接球的表面積為S=4πR【變式61】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且分別與正方體內切，求兩球半徑之和.【解題思路】作正方體的對角面,設出兩球半徑，根據正方體的對角線長列出等式，即可求得答案.【解答過程】作正方體的對角面，得如圖所示的截面圖:其中AB,CD為正方體的棱，AD,BC為正方體的面對角線，AC為體對角線，球心O1和O2在AC上，過O1,O2分別作設小球半徑為r，大球半徑為R,則由題意知AB=1,∴AC=3得AO∴r+R+3∴R+r=33+1【變式62】（2023上·江西景德鎮·高二校考期中）已知圓錐的頂點為P，母線PA,PB所成角的余弦值為14，軸截面等腰三角形的頂角為90°，若△PAB的面積為(1)求該圓錐的側面積；(2)求圓錐的內切球體積．【解題思路】（1）先由已知得出l=2r，sin∠APB=154（2）畫出截面圖形，先由相似三角形知識求出內切球半徑，再由體積公式即可求解.【解答過程】（1）如圖所示：令圓錐母線長、底面半徑分別為l、r，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90°知，l=又cos∠APB=又因為△PAB的面積為215∴S△PAB又l=2r，所以∴側面積為S=1（2）如圖所示：設內切球半徑為CO=CD=R，球心C在PO上面，則△POA～△PDC，所以CDAO由（1）可知，圓錐的高PO=AO=?=r=2則有R22=所以圓錐的內切球體積為V=4【變式63】（2023下·遼寧·高一校聯考階段練習）《九章算術.商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑；在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1，求

(1)四面體ABCD的表面積；(2)四面體ABCD內切球半徑；(3)四面體ABCD外接球的表面積．【解題思路】（1）根據四個面均為直角三角形，求出各個面的面積再相加即可；（2）根據等體積法即可求解；（3）根據直角三角形的性質找出外接球球心，再得到外接球半徑，根據球的表面積公式計算即可得到答案.【解答過程】（1）因為AB⊥面BCD，BC,BD,CD?面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,AB⊥CD，又因為BC⊥CD，AB,BC?面ABC，AB∩BC=B，所以CD⊥面ABC，因為AC?面ABC，所以CD⊥AC.所以∠ABC=∠ABD=∠ACD=∠BCD=90°.由題意得，AB=BC=CD=1則S△ABC=1因為在Rt△ABC中，AC=所以S△ACD=1所以四面體ABCD的表面積S=S（2）設內切球球心為O，半徑為r，顯然VA?BCD由體積相等得VA?BCD得到r=3（3）由題意得，∠ABD=∠ACD=90所以取AD中點為P，則PA=PB=PC=PD所以P為四面體外接球的球心，AD為直徑，在Rt△ABD中，AD=所以四面體外接球的半徑為r=AD所以四面體外接球面積為S=4π【題型7實際應用問題】【例7】（2023上·上海·高二期中）某種“籠具”由內，外兩層組成，無下底面，內層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為24πcm，高為30cm，圓錐的母線長為20cm

(1)求這種“籠具”的體積（結果精確到0.1cm(2)現要使用一種紗網材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？【解題思路】（1）根據題意，結合圓錐和圓柱的體積公式，即可求解；（2）根據題意，求得該組合體的表面積，結合題意，即可求解.【解答過程】（1）設圓柱的底面半徑為r，高為?，圓錐的母線長為l，高為?1則2πr=24π，可得r=12所以籠具的體積V=π（2）圓柱的側面積S1圓柱的底面積S2圓錐的側面積為S3故籠具的表面積S=S故制造50個這樣的籠具總造價為：1104π答：這種籠具的體積約為11158.9cm2，生產50個籠具需要【變式71】（2023·全國·高一隨堂練習）用鐵皮裁剪成兩個圓和一個長方形，焊成一個體積固定的圓柱體容器(1)為使用料最省，應如何設計這個圓柱體？(2)為使接縫線最短，應如何設計這個圓柱體？【解題思路】由體積固定，將圓柱表面積和接縫總長用體積和底面半徑表示，求出取最值的條件.【解答過程】（1