第08講二面角（核心考點講與練）考點考點考向二面角(1)定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].方法技巧方法技巧找二面角的平面角的常用方法（1）由定義做出二面角的平面角（2）用三垂線定理找二面角的平面角（3）找公垂面（4）劃歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角能力拓展能力拓展題型一：二面角的概念及辨析一、單選題1．（2021·上海交大附中閔行分校高二階段練習）設α﹣l﹣β是直二面角，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且a?b與l均不垂直，則（

）A．a與b可能垂直，但不可能平行B．a與b可能垂直也可能平行C．a與b不可能垂直，但可能平行D．a與b不可能垂直，也不可能平行【答案】C【分析】利用空間中線面間的位置關系求解.【詳解】∵α﹣l﹣β是直二面角，直線a在平面α內，直線b在平面β內，且a?b與l均不垂直，∴當，且時，由平行公理得，即a，b可能平行，故A與D錯誤；當a，b垂直時，若二面角是直二面角，則，與已知矛盾，∴a與b不可能垂直，也有可能平行.故選：C.2．（2021·上?！偷└街懈叨谥校┰诰匦沃?，，，E、F分別為邊、上的點，且，現將沿直線折成，使得點在平面上的射影在四邊形內（不含邊界），設二面角的大小為，直線與平面所成的角為，直線與直線所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意作出相應的二面角，線面角，線線角，結合點在平面上的射影求解.【詳解】過A作的垂線，分別交，，于M，G，N，如圖，顯然.因為，所以直線與所成角即為.當在平面上的射影為G時，平面，此時.于是當在平面上的射影在線段上時，，所以.由于，，進而得，.因為是在平面上的射影，所以由線面角最小性知，即.再由二面角的最大性知.故選：D【點睛】關鍵點點睛：根據二面角平面角、線面角、異面直線所成的的角的定義，分別在圖形中作出或找到是解題的關鍵，再根據位置分析角的變化范圍即可比較大小.3．（2021·上海市行知中學高二階段練習）已知兩個平面和三條直線,若,且,設和所成的一個二面角的大小為,直線和平面所成的角的大小為,直線所成的角的大小為,則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在一個平行六面體中,對三個角進行比較,即可選出正確答案.【詳解】如圖,在平行六面體中,不妨設面為,面為,.則,此時,由圖可知,.只有C選項符合.故選:D.【點睛】本題考查了線面角,考查了面面角的概念.一般情況下,涉及到線面角和面面角問題時可借助空間向量進行求解.但在本題中,沒有具體的幾何體,因此,我們可以采取舉實例的方法,在一個具體地幾何體中探究角的大小關系.二、填空題4．（2021·上海市七寶中學高二階段練習）若兩個相交平面，所成的銳二面角的大小為.則稱平面，成角，已知平面，成70°角.則過空間一點且與，都成55°角的平面的個數為______個【答案】3【分析】過作平面的垂線，作平面的垂線，原問題等價于：相交于點的直線所成的角為，過點能且只能作幾條直線與所成的角都是，然后通過夾角的平分線進行分析（繞點旋轉運動）可得．【詳解】過作平面的垂線，作平面的垂線，原問題等價于：相交于點的直線所成的角為，過點能且只能作幾條直線與所成的角都是，設直線確定的平面為，則在平面上的射影必是所夾角（一個是，另一個是）的平分線，這樣的直線有3條：一條是大小為的那個角的平分線，另2條是大小為的那個角的平分線繞點在的垂直平面內旋轉所得．故答案為：3．5．（2021·上海市南洋模范中學高二期中）若兩個半平面所成二面角的大小為.則的取值范圍是______【答案】【分析】根據二面角的定義即可得出答案.【詳解】因為兩個半平面所成二面角的大小為，所以的取值范圍是.故答案為：.6．（2021·上海·高二專題練習）已知為銳二面角內一點，且到兩個半平面及棱的距離之比為，則此二面角的度數為________．【答案】【分析】畫圖，設銳二面角為，作，，，連接，再分別計算正弦值可得，，進而求得此二面角的度數.【詳解】設銳二面角為，作，，，連接.易得為二面角的平面角，又，故,，且銳二面角.故，.故，即此二面角的度數為.故答案為：【點睛】本題考查了三角函數的運用、二面角的計算等，需要根據題意作出對應的角度求解.屬于基礎題.題型二：求二面角一、填空題1．（2021·上海大學附屬南翔高級中學高二期中）如果二面角的平面角是銳角，空間一點Р到平面、和棱的距離分別為、4和，則二面角的大小為_______________.【答案】或【分析】分點P在二面角的內部和外部，利用二面角的定義求解.【詳解】當點P在二面角的內部，如圖所示：，A，C，B，P四點共面，是二面角的平面角，因為Р到平面、和棱的距離分別為、4和，所以，所以，則；當點P在二面角的外部，如圖所示：，A，C，B，P四點共面，是二面角的平面角，因為Р到平面、和棱的距離分別為、4和，所以所以，所以，，則.故答案為：或2．（2021·上海浦東新·高二期中）在正方體中，平面與平面所成的銳二面角的大小是___________.【答案】【分析】利用正方體的幾何性質以及二面角的定義找到對應的平面角，在三角形中求解即可．【詳解】正方體中，平面，又平面，所以，又，所以是平面與平面所成的銳二面角的平面角，在直角中，，所以平面與平面所成的銳二面角的大小是．故答案為：．二、解答題3．（2021·上海南匯中學高二階段練習）如圖所示，正四棱錐中，為底面正方形的中心，側棱與底面所成的角的正切值為.(1)求側面與底面所成的二面角的大?。?2)若是的中點，求異面直線與所成角的正切值；(3)在（2）的條件下，問在棱上是否存在一點，使側面，若存在，試確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，是的等分點，靠近點的位置【分析】（1）取中點，連接、，由正四棱錐的性質知為所求二面角的平面角，為側棱與底面所成的角，設，求出的值，即可得解；（2）依題意連接、，可知為異面直線與所成的角，證明出，計算出、的長，即可求得結果；（3）延長交于，取的中點，連接、，易得平面，可得平面平面，分析出為正三角形，易證平面，取的中點，連接，可得四邊形為平行四邊形，從而，可得平面，即可得出結論.(1)解：取的中點，連接、，由正四棱錐的性質可知平面，平面，則，依條件可知，則為所求二面角的平面角.面，則為側棱與底面所成的角，則，設，則，所以，，則，因為，故.(2)解：連接、，、分別為、的中點，則，所以，為異面直線與所成的角.平面，平面，則，，，平面，又平面，.，所以，.(3)解：延長交于，則為的中點，取的中點，連接、.因為，為的中點，則，同理可得，，故平面，平面，平面平面，又，，所以，為正三角形，為的中點，則，又因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，因為且，、分別為、的中點，則且，為的中點，則且，故且，所以，四邊形為平行四邊形，則，故平面.因此，是的等分點，靠近點的位置.題型三：由二面角大小求線段長度或距離一、單選題1．（2021·上海市奉賢中學高二階段練習）二面角的大小是60°，在該二面角內有一點P到的距離是3，到的距離是5，又動點A和B，，，則△PAB的周長的最小值是（

）A． B． C．12 D．14【答案】D【分析】作出關于兩個平面，對稱點、，連接，線段與兩個平面的交點坐標分別為，，連接，，由已知條件推導出周長，當與重合，與重合時，由兩點之間線段最短可以得出，即為周長的最小值．【詳解】解：如圖，作出關于兩個平面，的對稱點、，交平面，分別為，，過點，分別作，垂直直線，連接，線段與兩個平面的交點坐標分別為，，連接，，，，則的周長，當與重合，與重合時，由兩點之間線段最短可以得出即為周長的最小值，根據題意可知：到二面角兩個面的距離分別為3、5，，，面角的大小是60°，，，根據余弦定理有：，，周長的最小值等于．故選：D．2．（2020·上海奉賢區致遠高級中學高二階段練習）在直角坐標系中，設，沿著軸將直角坐標平面折成的二面角后，長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖（1），設，則可證在圖（2）中為二面角的平面角，結合線面垂直的性質可得為直角三角形，從而可求的長度.【詳解】如圖（1），設，則，則在圖（2）中，為二面角的平面角，由題設可得，所以，，因為，故平面，而，所以平面，又平面，故，故.故選：C.二、填空題3．（2021·上?！偷└街懈叨谥校┒娼鞘?，其內一點P到的距離分別為和，則點P到棱l的距離為_________．【答案】【分析】過分別作，設點P到棱l的垂足為，可得在以為直徑的圓上，利用余弦定理求出，再由正弦定理即可求出.【詳解】如圖，過分別作，則，設點P到棱l的垂足為，則可得平面，則，所以，則，在中由余弦定理可得，所以，由題意可得在以為直徑的圓上，所以由正弦定理可得.故答案為：.4．（2021·上海外國語大學閔行外國語中學高二期中）如圖，二面角等于，A?B是棱l上兩點，分別在半平面內，，，且，則的長等于___________.【答案】【分析】過D作于E，連結CE.延長AC到F，使CF=BE，連結BF.分別求出DE和CE，利用勾股定理即可求出CD.【詳解】如圖示，過D作于E，連結CE.延長AC到F，使CF=BE，連結BF.因為二面角等于，，由三垂線定理得，所以且,所以.在平面內，因為，，所以,即，又，所以BECF為平形四邊形，所以,所以.故答案為：.5．（2021·上海市市西中學高二期中）正方形的邊長是2，分別是和的中點，將正方形沿折成直面角（如圖所示），為矩形內的一點，如果，和平面所成角的正切值為，那么點到直線的距離為_________．【答案】【分析】過點作，交于，過點作，交于，證明，進而得，設，再根據幾何關系得，解得.【詳解】過點作，交于，因為是直二面角，所以平面，所以過點作，交于，，所以平面，所以，即為直角三角形，因為，是直二面角，所以平面，所以，即為直角三角形，因為，所以，所以設，則和平面所成角的正切值為，由于是和平面所成角，即，所以所以在中，，在中，，在中，，所以，解得.所以點到直線的距離為故答案為：.【點睛】本題考查直線與平面所成的角，考查空間想象能力，運算求解能力，邏輯推理能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意，構造輔助線將轉化為，進而根據幾何關系列式求解.6．（2021·上海市進才中學高二期中）如圖，一斜坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數）是，斜坡上有一直道，它和坡腳水平線成角，沿這條直道向上行走100米后升高______米．【答案】【分析】設直道中在二面角的棱上，過作與水平面垂直，垂足為，再作與棱垂直，垂足為，連接，可得為已知二面角的平面角．然后在直角三角形中計算可得．【詳解】如圖，設直道中在二面角的棱上，過作與水平面垂直，垂足為，再作與棱垂直，垂足為，連接，與水平面垂直，則與水平線垂直，也與水平面上的直線垂直，而，平面，所以平面，又平面，所以，為已知二面角的平面角．由已知，，則，，．故答案為：．三、解答題7．（2021··高二期中）如圖1，平面四邊形關于直線對稱，，，．把沿折起（如圖2），使二面角的余弦值等于．對于圖2，完成以下各小題：（1）求、兩點間的距離；（2）證明：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）根據題意取BD的中點E，容易證明是二面角的平面角，進而求出結果；（2）通過勾股定理證明，進而通過線面垂直的判定定理得到結論；（3）先通過等體積法求出點到平面的距離，進而根據線面角的定義求出線面角的正弦值.【詳解】（1）由題意，是以C為直角，直角邊邊長為2的等腰三角形，是邊長為的正三角形.如圖，取的中點，連接，由，得：就是二面角的平面角，.在中，易得，由余弦定理：，.（2）由，,，,,,又平面．（3）設點到平面的距離為，∵,.于是與平面所成角的正弦為．8．（2021·上海·華師大二附中高二開學考試）如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1和CC1的中點.（1）求異面直線EF與AB所成角的余弦值；（2）求異面直線EF與AB之間的距離（3）在棱BB1上是否存在一點P，使得二面角PACB的大小為30°?若存在，求出BP的長，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）作出異面直線所成的角，解三角形求解；（2）轉化異面直線間距離為線面距離，再轉化為點面距離，計算即可；（3）假設存在，利用二面角PACB的大小為30求解即可.【詳解】（1）取中點，連結，如圖，又為中點，，連結，則或其補角即為異面直線與所成角，為中點，正方體邊長為2，，，，異面直線與所成角的余弦值為．（2）因為，所以異面直線EF與AB之間的距離即為直線與平面間的距離，即點B與平面的距離，連接，交于,因為,所以，又,所以平面,即為點B到平面的距離.因為,所以，即異面直線EF與AB之間的距離為.（3）假設棱BB1上存在一點P滿足題意，連接交于，連接,所以為二面角的平面角，設，，即，所以，故當存在長為時，二面角的大小為．題型四：由二面角大小求異面直線所成的角一、填空題1．（2021·上?！らh行中學高二階段練習）已知二面角的大小為，直線分別在平面內且都垂直于棱，則與所成角的大小為__________.【答案】【分析】根據二面角的定義可得答案.【詳解】因為二面角的大小為，直線分別在平面內且都垂直于棱，所以與所成角的大小為故答案為：二、解答題2．（2021·上海·華東師范大學第三附屬中學高二期中）如圖所示，圓錐的底面圓半徑，母線.(1)求此圓錐的體積和側面展開圖扇形的面積；(2)如圖，半平面與半平面所成二面角大小為，設線段中點為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】(1)體積為，側面展開圖扇形的面積為.(2)【分析】（1）利用錐體的體積公式以及扇形的面積公式可求得結果；（2）取的中點，連接、，分析可知異面直線與所成的角為或其補角，計算出三邊邊長，利用余弦定理可求得結果.(1)解：由題意可知，，圓錐的體積為，該圓錐的側面展開圖扇形的面積為.(2)解：在圓錐中，平面，、平面，，，所以，二面角的平面角為，取的中點，連接、，、分別為、的中點，則且，所以，異面直線與所成的角為或其補角，，，則，，在中，，，，由余弦定理可得，由余弦定理可得.因此，異面直線與所成角的余弦值為.鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·上海市進才中學高二期中）正三棱臺側面與底面所成角為，側棱與底面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長側棱交于一點,三棱錐為正三棱錐，作底面，根據即為側面與底面所成角，即為側棱與底面所成角，利用邊長計算即可.【詳解】如圖所示，三棱臺為,延長側棱交于一點,則三棱錐為正三棱錐，設底面邊長為，作底面，則為底面中心，所以，易知即為側面與底面所成角，所以，所以，由底面，可知即為側棱與底面所成角，所以，所以.故選：B.2．（2021·上海奉賢區致遠高級中學高二期中）已知四棱錐S?ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S?AB?C的平面角為θ3，則（

）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1【答案】D【分析】設O為正方形ABCD的中心，M為AB中點，過E作BC的平行線EF，交CD于F，過O作ON垂直EF于N，由SO垂直于底面ABCD，得到求解.【詳解】如圖所示：設O為正方形ABCD的中心，M為AB中點，過E作BC的平行線EF，交CD于F，過O作ON垂直EF于N，連接SO，SN，SE，SM，OM，OE，則SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此從而因為，所以即，故選：D.3．（2021·上海市寶山中學高二期中）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側面上有一個小孔，點到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當水恰好流出時，側面與桌面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2【答案】D【解析】根據題意，當水恰好流出時，即由水的等體積可求出正方體傾斜后，水面N到底面B的距離，再由邊長關系可得四邊形是平行四邊形，從而側面與桌面所轉化成側面與平面所成的角,進而在直角三角形中求出其正切值.【詳解】由題意知，水的體積為，如圖所示，設正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內，過點作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側面與桌面所成的角即側面與水面所成的角，即側面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.故選：D.【點睛】本題考查了利用定義法求二面角，在棱上任取一點，過這點在兩個平面內分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.4．（2021·上海·高二專題練習）等腰直角斜邊CB上一點P滿足，將沿AP翻折至，使二面角為，記直線、、CP與平面所成角分別為、、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立坐標系，找出在平面ABC上的射影N，判斷N到A，B，P三點的距離大小得出結論．【詳解】以A為原點建立平面直角坐標系如圖所示：過C作，垂足為H，使得，設MH的中點為N，二面角為，在平面ABC上的射影為連接NP，NA，顯然．設，則，，到直線AC的距離，，．，即N在直線下方，．設到平面ABC的距離為h，則，，，，，即．故選：C．【點睛】本題主要考查了空間角的大小比較，轉化的思想，屬于中檔題．二、填空題5．（2020·上海市金山中學高二期末）在北緯45°的線圈上有兩地，它們的經度差為90°，若地球半徑為，則兩地的球面距離為______.【答案】【分析】因為在北緯45°上且經度差為90°，所以，從而的球心角為:，再用弧長公式求解.【詳解】地球的半徑為，在北緯45°，經度差為90°所以，所以的球心角為:，所以兩點間的球面距離是:；故答案為:.【點睛】本題主要考查了線線角，線面角以及弧長公式，還考查了空間想象的能力，屬于基礎題.6．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期末）已知一個正四棱錐的底面邊長為2，側面與底面所成角的大小為，則該四棱錐的側面積為______．【答案】8【分析】過V作平面ABC的垂線VO,交平面ABC于O點,過作OE⊥AB,交AB于E.連結VE,則∠VEO是二面角VABC的平面角，在直角三角形VEO中，利用余弦的定義，即可求出側高，即可求出四棱錐的側面積.【詳解】如圖,在正四棱錐VABCD中,底面正方形ABCD邊長為2.側面VAB與底面ABCD所成二面角的大小為60°,過V作平面ABC的垂線VO,交平面ABC于O點,過作OE⊥AB,交AB于E.連結VE,則∠VEO是二面角VABC的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1,∴，∴cos∠VEO=,∴該四棱錐的側面積.故答案為：87．（2021·上海市洋涇中學高二階段練習）已知二面角的大小為，A為平面上的一點，且的面積為2，過A點的直線交平面于B點，，且與成角，當變化時，的面積最大為___________.【答案】【分析】當于點A時，的面積取得最大值，然后把二面角的平面角轉化為面積之比進行求解即可【詳解】過點A作，連接BO平面是二面角的平面角，是與所成的角，設，在中有正弦定理可知：，當，即時的最大值為，的最大值為故答案為：8．（2021·上海市控江中學高二期中）已知，矩形中，，，，分別為邊，上的定點，且，，分別將，沿著，向矩形所在平面的同一側翻折至與處，且滿足，分別將銳二面角與銳二面角記為與，則的最小值為______．【答案】【解析】根據題意，作在底面的射影，在底面的射影，找到兩個銳二面角的平面角，從而得到，由，得到，進一步得到，并設，并所求式子表示成關于的二次函數，求二次函數的最小值，即可得到答案.【詳解】如圖所示，作在底面的射影，在底面的射影，垂直于，垂直于，則，因為，所以，則，因為，所以，同理，所以，作，，則設，則，所以，所以，當時，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、二面角的概念、函數的最值，考查轉化與化歸思想、函數與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解的關鍵是利用平行條件進行問題的轉化.9．（2021·上海市西南位育中學高二期中）已知正三棱柱的各棱長都是4，點是棱的中點，動點在側棱上，且不與點重合，設二面角的大小為，則的最小值為_________.【答案】【分析】過作于，利用直棱柱性質知⊥側面，連接，過作于，連接，根據三垂線定理得，且，設，在直角中，求出；在直角中，求出，進而可得的最小值．【詳解】（Ⅰ）過作于，連接，由直棱柱的性質可知，底面⊥側面，∴⊥側面連接，過作于，連接，根據三垂線定理得∴是二面角的平面角即設，則，在直角中，，在直角中，故，又，∴故當時，達到最小值，此時與重合故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查了空間直線與平面的位置關系和二面角等基礎知識，解題時要利用二面角的定義找到是二面角的平面角，再構造的函數，進而求得最小值，考查學生的空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，屬于較難題.三、解答題10．（2021·上海市甘泉外國語中學高二期中）在四面體ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，點M為AD上動點，連結BM，CM，如圖.(1)求證：BM⊥CD；(2)若AM＝2MD，求二面角M﹣BC﹣D的余弦值；(3)是否存在一個球，使得四面體ABCD的頂點都在此球的球面上？若存在，確定球心的位置并證明；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見詳解；(2)；(3)存在，球心為中點，理由見詳解.【分析】（1）要證線線垂直，只要證線面垂直，利用線面垂直的性質即可得證；（2）利用幾何法，先確定二面角的平面角，即可得解.（3）連接，由棱兩兩垂直，以為棱可補全為如圖正方體，由球心為體對角線中點，即可得解.(1)證明：由AB⊥平面BCD，且平面BCD，所以，又CD⊥BD且，所以平面，又平面，所以.(2)在上取點，使得，由AM＝2MD可得，所以平面，作于，連接，則角為二面角M﹣BC﹣D的平面角，由，在中，取中點，由條件知，所以，所以，所以二面角M﹣BC﹣D的余弦值為.(3)如圖，連接，存在一個球使得四面體ABCD的頂點都在此球的球面上，且球心為中點，由AB⊥平面BCD，CD⊥BD所以棱兩兩垂直，以為棱可補全為如圖正方體，而為體對角線，故球心為中點.11．（2021·上海市大同中學高二階段練習）如圖，已知、分別是正方形邊、的中點，與交于點，、都垂直于平面，且，，是線段上一動點.（1）求證：平面；（2）若平面，試求的值；（3）當是中點時，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）連接，易得，由正方形的性質有，再由線面垂直的性質及判定可證結論.（2）若是的四等分點靠近的位置，連接，結合題設易得，再應用線面平行的判定可得平面，即可得的值.（3）連接，由題設易知二面角為，進而求的正余弦值，應用誘導公式及兩角和余弦公式求二面角的余弦值.【詳解】（1）連接，由、分別是、的中點，則，由為正方形，則，故，∵面，面，∴，，則平面；（2）若是的四等分點靠近的位置，連接，由題設及（1），易知：是的四等分點靠近的位置，∴在△中，即，又面，面，∴平面，符合題設.故面時，.（3）連接，由（1）結論易知：二面角、的平面角分別為，則二面角為，由，，結合（2）知：，∴，，則，，由二面角的余弦值知：.12．（2021·上海師范大學第二附屬中學高二期中）如圖，已知點在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據等體積法，由即可求出點到平面的距離；（2）先證明，，由線面垂直的判定定理可得面，進而可得即為所求二面角的平面角，在中，計算即可求解.【詳解】（1）因為，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，，在中，由余弦定理可得，所，所以，設點到平面的距離為，由，得，即，解得：，所以點到平面的距離為；（2）二面角即二面角，因為是圓的直徑，點在圓柱的底面圓上，所以，因為面，面，可得，因為，所以面，因為面，面，所以，，所以即為二面角的平面角，在中，，，所以，所以二面角的余弦值為.13．（2021·上海市七寶中學高二階段練習）在120°的二面角的面，內分別有，兩點，且，到棱距離，分別是2，4，，如圖所示，求：（1）直線與棱所成角的余弦值：（2）直線與平面所成角的正弦值：（3）二面角的平面角的正切值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）過點D作DE∥AC，且DE=AC，∠BAE為直線與棱所成角，結合條件在Rt△ABE中即求；（2）過A作AH⊥于H，連HC，則HC⊥l，∠ABH為直線與平面所成角，在△AHB中即求；（3）過H作HM⊥BC交BC延長線于M，則AMH即為二面角的平面角在直角三角形HMC中可求.【詳解】（1）在內過點D作DE∥AC，且DE=AC，連接AE，又AC⊥l,所以DE⊥l，∴四邊形ACDE為矩形，∴AE=CD，AE∥l，又DE⊥l，BD⊥l，，∴∠BDE為二面角的平面角，即∠BDE=120°，在△BDE中，，又DE⊥l，BD⊥l，，∴AE⊥平面BDE，∴AE⊥BE，在Rt△ABE中由AE∥l，知∠BAE為直線與棱所成角，即直線與棱所成角的余弦值.（2）過A作AH⊥于H，連HC，則HC⊥l，∠ABH為直線與平面所成角∴∠ACH=，∴，在直角三角形AHB中，，即直線與平面所成角的正弦值為.（3）過H作HM⊥BC交BC延長線于M，連接AM，則BC⊥AM，∴∠AMH即為二面角的平面角，在直角三角形HMC中HC=1，HM=HCsin∠HCM=HCcos∠DCB，又在直角三角形BCD中，，∴，∴，即二面角的平面角的正切值為.14．（2021·上海·華東師大附屬楓涇中學高二期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，且．（1）若，直線與所成的角為，求二面角的大?。唬?）若E為線段上一點，試確定點E的位置，使得平面平面，并說明理由．【答案】（1）；（2）當點E在線段上且滿足時，面面，理由見解析.【分析】（1）由已知有，線面垂直的性質得，再根據線面垂直的判定及性質有，即知是二面角的平面角，進而求其大小即可.（2）若，連接交于點O，連接，由三角形相似及其相似比得，即有底面，由面面垂直的判定可得面面，即可知E的位置.【詳解】（1）∵，∴，∵面，面，∴，又，∴面，又平面，∴，∴是二面角的平面角，又直線與所成的角為，∴，即．在中，有，即二面角的大小為．（2）當點E在線段上，且滿足時，面面．理由如下：連接交于點O，連接．由且，得，∴，則，又面，∴底面，又面，面面，∴面面．15．（2021·上海交大附中高二期中）如圖，正四棱柱的底面是邊長為的正方形，側棱長為1．（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）求二面角平面角大小的余弦值；（3）在直線上是否存在一個動點，使得在平面的投影恰好為的重心，若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在；理由見解析．【分析】（1）由題知，正四棱柱為長方體，連結，交于O點，取AB的中點E，連結OE，則，直線與直線所成角即直線與直線所成角或其補角，分別求得各邊長，由余弦定理求得夾角的余弦值；（2）由，證得平面，從而，即為二面角的平面角的補角，分別求得各邊長，從而求得夾角的余弦值；（3）假設在直線上存在點，使得在平面的投影恰好為的重心N，由線面垂直的性質與判定可得，與題設矛盾，即可得解.【詳解】（1）由題知，正四棱柱為長方體，連結，交于O點，取AB的中點E，連結OE，則，直線與直線所成角即直線與直線所成角或其補角，在中，，，，則即直線與直線所成角的余弦值為.（2）連結，交于F點，則，又在長方體中平面，平面，則又，則平面，故作于M點，又，則平面，，即為二面角的平面角的補角，在中，，，則則二面角的平面角的余弦值為.（3）連結，交于H，則的重心N在CH上，若在直線上存在點，使得在平面的投影恰好為的重心N，則平面，則，又平面，則,因為平面，相交，所以平面，,而在平面內作于Q點，Q點顯然不與H點重合故不存在點P滿足條件.16．（2021·上海市第三女子中學高二期末）如圖，在多面體中，均垂直于平面ABC，，．（1）求點A到平面的距離；（2）求平面ABC與平面所成銳二面角的大小；（3）求這個多面體的體積．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）延長、交于，延長、交于，連接、、、、，利用等體積法有，即可求A到平面的距離；（2）由（1）易得、，根據線面垂直的判定有面，進而可知為平面ABC與平面所成銳二面角，即可求角的大小；（3）將幾何體補全為直棱柱，則有，利用棱柱、棱錐的體積公式即可求幾何體的體積.【詳解】（1）延長、交于，延長、交于，連接、、、、，∵均垂直于平面ABC，，，∴，，解得，，∴在△中，、，，則，∵，，，∴，即，故，∵，若A到平面的距離為，∴，故.（2）由（1）知：且，即，∵，∴面，則平面ABC與平面所成銳二面角為，又，故.（3）將幾何體補全為如下圖示的直棱柱，∴，而，，∴.17．（2021·上海市松江二中高二期中）在三棱柱中，點為棱的中點，點是線段上的一動點，（1）證明：；（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值；（3）設直線與平面?平面?平面所成角分別為求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）通過證平面來證；（2）先找出平面與平面所成二面角的一個平面角為，然后證明為直角三角形，在中求二面角的正弦值；（3）首先分別找出，然后把和都用來表示，借助輔助角公式把式子表示成一個角的一個三角函數的形式，利用三角函數來求最值.【詳解】（1）因為，，所以.連接，因為，，所有是正三角形，又點為棱的中點，所以又平面又平面，所以平面又平面，所以.（2）由（1）知，所有即為所求的二面角的平面角或其補角.在正中，于是因為，于是又且，所