PageSeq第19講基本不等式16類【題型一】基礎(chǔ)型【典例分析】在下列函數(shù)中,最小值是2的是A.B.C. D.【答案】D【解析】A.,當(dāng)時(shí),不符合題意;B.===,當(dāng)時(shí)取等號(hào),不符合題意;C.==,∵,∴,∴,∴不符合題意;D.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),符合題意.故選D．【變式演練】1.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值是______．【答案】【詳解】由于，故一元二次方程的判別式：，由韋達(dá)定理有：，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上可得：的最小值是.2.若都是正數(shù)，則的最小值為().A.5 B.7 C.9 D.13【答案】C【詳解】因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故本題選C.3.在區(qū)間[﹣2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，使恒成立的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】恒成立，即，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以問題轉(zhuǎn)化為，即，所以在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)時(shí)，使恒成立的概率是，故選擇A.【題型二】“1”的代換型【典例分析】已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且，則x+3y的最小值為__________【詳解】x，y均為正實(shí)數(shù),,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：2.【變式演練】1.已知，，，則的最小值為（）A．20 B．24 C．25 D．28【答案】C【分析】湊配出積為定值后用基本不等式求最小值．【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．2.已知，，，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，b＝6時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為27。故選：D3.已知正實(shí)數(shù)，b滿足＋b＝1，則的最小值為_____【詳解】因?yàn)椋叶际钦龑?shí)數(shù).所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為【題型三】“和”與“積”互消型【典例分析】已知x、y都是正數(shù)，且滿足，則的最大值為_________．【答案】18.【分析】根據(jù)基本不等式，得到關(guān)于的不等式，解得的范圍，從而得到的范圍，求出答案.【詳解】因?yàn)椋遥裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）即，解得，所以得，所以的最大值是.此時(shí)，.故答案為：18.【變式演練】1.已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，，再根據(jù)基本不等式乘“”法即可得最小值.【詳解】由題可知，乘“”得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，則的最小值為.故選：A2.已知，且，則的最小值為___________．【答案】6【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【詳解】由，得，又，，，即，解得：或，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為：6．3.已知，，，則（多選題）A．的最大值為2 B．的最小值為4C．的最小值為3 D．的最小值為【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：由均值不等式得，則，令，，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由均值不等式得，又，∴，解得，（舍），當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，D選項(xiàng)：令，，則，則可化為，整理，∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.【題型四】以分母為主元構(gòu)造型【典例分析】已知非負(fù)數(shù)滿足，則的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合“1”的妙用即可得解.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故選：B【變式演練】1.已知，且，則的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【詳解】，，又，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9．故選：A．2.已知正數(shù)、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】已知正數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：C.3.設(shè)，則的最小值為（）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】原式可變形為，然后根據(jù)基本不等式即可求解【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故選：A【題型五】構(gòu)造分母：待定系數(shù)【典例分析】已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將4x+3y=4變形為含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再將式子換元,由基本不等式換“1”法求解即可【詳解】由正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.所求當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以答案為.故選:A.【變式演練】1.知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用待定系數(shù)法可得出，與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)，可得，解得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.2.已知，，，則取到最小值為．【答案】．【解析】試題分析：令，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是．【題型六】分子含參型：分離分子型【典例分析】若，則的最小值為___________.【答案】【詳解】因?yàn)椋瑒t，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.【變式演練】1.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕虼耍驗(yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)），故選：A2.若，且，則的最小值為_________【答案】【分析】令，可得，化簡(jiǎn)可得，再結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】令，則，則，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.3.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則的最小值是_____．【答案】【題型七】反解代入型:消元法【典例分析】已知正數(shù)，滿足，則的最大值為______．【答案】【詳解】由，得，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，、所以的最大值為.故答案為：.【變式演練】1.已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，記，可得，然后利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕茫裕洠裕裕遥裕?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.2.若正數(shù)，滿足，則的最小值是______，此時(shí)______.【答案】22【分析】先由求出，再根據(jù)基本不等式求解即可．解：，，，因?yàn)椤ⅲ裕矗矗?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：2；2．3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【詳解】由且知：，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【題型八】因式分解型【典例分析】非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得,結(jié)合基本不等式求得，即可求得的最小值.【詳解】由題意，非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，可得,又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以或，所以，即時(shí)，的最小值為.故答案為：.【變式演練】1.已知，且，則的最小值等于_______．【答案】【詳解】，且，即有，

即，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得等號(hào)，即有的最小值為.故答案為：2.已知，且，則的最小值是___．【答案】【解析】原式可變形為，兩邊同時(shí)乘以2，得，所以，即x+2y，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。填3.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，則3a+4b的最小值等于【答案】6【詳解】a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，即有（a+b）（a+2b+1）=9，

即（2a+2b）（a+2b+1）=18，可得3a+4b+1=（【題型九】均值用兩次【典例分析】是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且取等，即取等號(hào)，即則的最大值為，故選：A．【變式演練】1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【詳解】．A設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A2.已知，，則的最小值為___________.【答案】2【分析】由可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為2.故答案為：2.3.已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為______.【答案】【詳解】因?yàn)椋矗裕鲜鰞蓚€(gè)不等式均是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：．【題型十】換元型【典例分析】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為A.2 B.4 C. D.【答案】B詳解：將化為，令，則，又，所以，即．【變式演練】1.若a,b∈R，且a2+2ab-3b【詳解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，則xy＝1且a=x+3所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x-y4）2=x2+5y22.已知x2-23xy+5y2【答案】3-【詳解】因?yàn)閤2-23解得x=62=32+62sin2θ-13.已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_________.【答案】【詳解】原式，令，則上式變?yōu)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為.【題型十一】“和”與所求和系數(shù)不一致型【典例分析】1、已知，，且，則的最小值為A． B． C．5 D．9【詳解】由得，解得.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故本小題選A.【變式演練】1.若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________．【答案】【解析】根據(jù)題意，若，則；又由，則有，則；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值是，故答案為.2.3.【題型十二】“均值裂項(xiàng)”湊配型【典例分析】已知實(shí)數(shù)，，不全為，則的最小值是___，最大值是___．【答案】

【分析】根據(jù)不等式求最值.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；又，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：，.【變式演練】1.不等式對(duì)任意正數(shù)x，y，z恒成立，則a的最大值是__________．【答案】1【分析】由條件轉(zhuǎn)化為求的最大值，再解不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案為：2.已知實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【分析】由題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，，再利用，得到不等式，即可求解．【詳解】由題意，實(shí)數(shù)滿足，可得，由，可得，所以，又由，得，即，解得．故答案為：．3.已知，，，且，則的最小值為___________．【答案】由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因?yàn)椋遥砸驗(yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以。令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【題型十三】整體化同乘方程型【典例分析】已知實(shí)數(shù)，滿足，且.則的最大值為_____．【答案】9【分析】將已知等式變形為，對(duì)等式兩邊同乘，構(gòu)造關(guān)于所求式子的不等式，進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，令，則有，解得，故的最大值為.故答案為9.【變式演練】1.已知正數(shù)滿足，則的最大值為________．【答案】【詳解】試題分析：由已知得，，變形為，因?yàn)椋苫静坏仁降茫剩獾?2.已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【答案】試題分析：因?yàn)椋裕裕矗睿瑒t，而，所以，即，故應(yīng)填．【題型十四】三元最值型【典例分析】已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：即，由，，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的取值范圍是.故答案選【變式演練】1.若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋裕?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查均值不等式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)已知等式分解為.2.已知，且，則的最大值是_______，的最大值是________．【答案】

10

【分析】直接利用均值不等式得到答案；變換得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)均值不等式：，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；又因?yàn)椋睿矗蚀藭r(shí)有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為：10；.3.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】由題設(shè)，由結(jié)合基本不等式可得，從而可得的最大值.【詳解】因?yàn)椋裕剩裕?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最大值為.故答案為：.【題型十五】恒成立求參數(shù)型【典例分析】對(duì)任意正實(shí)數(shù)不等式恒成立，則（

）A．實(shí)數(shù)有最小值1 B．實(shí)數(shù)有最大值1C．實(shí)數(shù)有最小值 D．實(shí)數(shù)有最大值【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得到，考慮和兩種情況得到，根據(jù)均值不等式得到最值得到答案.【詳解】，故，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，，時(shí)等號(hào)成立，，故，故.故選：C.【變式演練】1.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求出的值，代入中化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值是，則的最大值為.故選A2.正數(shù)滿足若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)因此不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，即，故選：C3.設(shè)都是正數(shù)，且使，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】.【詳解】由題意得．，．，，．．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，k的最大值為.【題型十六】超難壓軸小題【典例分析】設(shè)為正實(shí)數(shù)，若則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)，可得，進(jìn)而，有，而，令，得到，再用導(dǎo)數(shù)法求解，【詳解】因?yàn)椋裕裕裕裕睿裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以取值范圍是，故答案為：【變式演練】1.若，均為正實(shí)數(shù)，則的最小值為_______.【答案】【分析】將所求式子變?yōu)椋没静坏仁娇汕蟮茫瑒t可知當(dāng)時(shí)，可求得最小值.【詳解】當(dāng)，即時(shí)取得最小值為：本題正確結(jié)果：成立的條件.2.已知a,b∈[0,1]，則S(a,b)=a1+b+【答案】13-5【詳解】試題分析：∵a,b∈[0,1]，∴S(a,b)=a令T=ab(1-ab)(1+a)(1+b),x=ab，則T=ab(1-ab)1+a+b+ab≤ab(1-ab)1+2ab+ab=x2(1-x23.已知，則的最小值為__________．【答案】【詳解】設(shè)，則原式，以上兩個(gè)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)同時(shí)成立．所以所求的最小值為6．答案：6【課后練習(xí)】1.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．4 B．6 C．9 D．10【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取“”.2.已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將變形為，再用基本不等式和解不等式即可.【詳解】因?yàn)椋遥裕裕裕串?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值．故選：B.3.已知，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．7 D．6【答案】D【分析】根據(jù)條件利用均值不等式構(gòu)造不等式，解二次不等式即可求解.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，解得或（舍去），的最小值為6故選：D4.、設(shè)，且，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【詳解】D因?yàn)椋啵钟桑裕?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選D.5.若實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且＋＝1，則x＋y的最小值為______．【答案】25/36.已知的最小值為。【答案】3【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于則根據(jù)均值不等式可知，故可知答案為.7.已知正數(shù)滿足，則的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】已知等式把代數(shù)式進(jìn)行變形為，再結(jié)合已知等式，利