創新融合8解析幾何中的新定義問題1.(2024·綿陽模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和橢圓C2:y2b2+x2t2=1(b>t>0)組合成的曲線Γ如圖1所示,根據圖形特點,稱曲線Γ為“(1)已知“貓眼曲線”Γ滿足a,b,t成等比數列,公比為22,判斷此時曲線Γ是否為“優美貓眼曲線”.若曲線Γ經過點G(0,-2),求出組成這個曲線Γ的兩個橢圓的標準方程(2)對于(1)中所求的“貓眼曲線”Γ,作直線l(斜率為k,且k≠0).①若直線l不經過原點O,且與組成Γ的兩個橢圓都相交,交橢圓C1所得弦的中點為M,交橢圓C2所得弦的中點為N,如圖1所示,kOMkON是否為與k無關的定值?若是,求出該定值;若不是②若直線l的斜率k=2,l與橢圓C2相切,交橢圓C1于A,B兩點,Q為橢圓C1上與A,B不重合的任意一點,如圖2所示,求△ABQ面積的最大值.【解析】(1)由題意知,ba=tb=22.橢圓C1的離心率e1=1橢圓C2的離心率e2=1-(tb)

2=22所以此時曲線Γ是“優美貓眼曲線”.由曲線Γ過點G(0,-2),得b=2,所以a=2,t=1,所以兩橢圓方程分別為C1:x24+y22=1,C2:y2(2)①設斜率為k的直線l交橢圓C1于點C(x1,y1),D(x2,y2),線段CD的中點為M(x0,y0),則x0=x1+x22,y0=y1+y22,k由x124+y1因為k存在且k≠0,所以x1≠x2且x0≠0,所以y1-y2x1-x2·y0x0=-12,即k·kOM=-12②設直線l的方程為y=2x+m,由y2化簡得關于x的方程4x2+22mx+m2-2=0.由Δ1=(22m)2-16(m2由圖象的對稱性,m=-2與m=2時結果一樣,不妨取m=2,則y=2x+2.由x24+y22=1y=2x+2,設A(x3,y3),B(x4,y4),則x3+x4=-825,x3x4=45,AB=3x3-x4=設Q(2cosθ,2sinθ),由點到直線l的距離公式得點Q到直線l的距離d=22cosθ-2所以dmax=10+2所以△ABQ面積的最大值為12AB·dmax=12×125×2.曲線的曲率是描述幾何彎曲程度的量,曲率越大,曲線的彎曲程度越大.曲線在點M處的曲率K=y″(1+y'2)32(其中y'表示函數y=f(x)在點M處的導數,y″表示導函數f'(x)在點M處的導數).在曲線y=f(x)上點M處的法線(過該點且垂直于該點處的切線的直線為曲線在此處的法線)指向曲線凹的一側上取一點D,使得|MD|=1K=ρ,則稱以D為圓心,以ρ(1)求出曲線C1:y2-x2=2在點M(0,2)處的曲率,并在曲線C2:xy=1的圖象上找一個點E,使曲線C2在點E處的曲率與曲線C1在點M(0,2)處的曲率相同;(2)若要在曲線C1:y2-x2=2上支凹側放置圓C3,使其能在M(0,2)處與曲線C1相切且半徑最大,求圓C3的方程;(3)在(2)的條件下,在圓C3上任取一點P,曲線C1上任取關于原點對稱的兩點A,B,求·的最大值.【解析】(1)曲線C1:y2-x2=2在點M(0,2)附近滿足y=x2+2,進一步有y'=y″=x2+2-故其曲率K=y″(1+y'在x=0處,K=2232=22,所以曲線C1:y2-x2=2在點M(0,2考慮曲線C2:xy=1上的點E(1,1),曲線在該點附近滿足y=1x,進一步有y'=-1x2,y″故其曲率K=y″(1+y'在x=1處,K=2(1+11)

32=2232=22,所以曲線(2)設C3的方程為x2+(y-R-2)2=R2,R>0,由條件知,由x2+(y-R-2)2=R2和y將其聯立,得到y2-2+(y-R-2)2=R2,即y2-(R+2)y+2R=0,即(y-當R>2時,原方程組還有另一個解(R2-2,R當R=2時,(y-2)2=0,從而y=2,x2=y2-2=0,故x=0,這表明原方程組只有(x,y所以所求的半徑最大的圓C3的方程為x2+(y-(3)首先有·=(+)·(+)=(+)·(-)=OP2-OA2.設A(xA,y