專題L3有理數的加減法【八大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1根據有理數的加減法法則判斷不等關系】..................................................1

【題型2運用運算律簡化有理數的加減運算】......................................................3

【題型3巧用拆項法簡化有理數的加減運算】......................................................7

【題型4有理數加減法中的規律問題】.............................................................9

【題型5有理數的加減運算與相反數、絕對值等的綜合應用】......................................13

【題型6應用有理數的加減運算解決實際問題】...................................................15

【題型7有理數加減法中的新定義問題】..........................................................19

【題型8利用有理數的加減法解決數軸上兩點間的距離問題】......................................23

?舉一反三

【知識點有理數加減法的法則】

有理數加法法則：

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互

為相反數的兩個數相加得0：

③一個數同o相加，仍得這個數.

有理數減法法則：

減去一個數，等于加上這個數的杓反數.

【題型1根據有理數的加減法法則判斷不等關系】

【例1】（2023春?江蘇淮安?七年級統考期中）有理數〃、〃在數地上對應的位置如圖所示，則下列結論正確

的是（）

?」---------1?一

b-10a1

A.b-a>0B.|a|—|b|>0C.-b—a>0D.a+b>0

【答案】C

【分析】根據數軸可得b<—l<0vavl,結合絕對值的定義和有理數的運算法則即可求解.

【詳解】解：由圖可知：b<-l<O<a<l,\a\<|b|；

A、b-a<0,故A錯誤；

Bs\a\-\b\<0,故B錯誤;

C、V-b>a,

A—b—a>0,故C正確；

D、a+b<0,故D錯誤

故選：C.

【點睛】本題主要考行了根據數軸比較有理數的大小和有理數的溶算法則，解題的關鍵是掌握在數軸上左邊

的數小于右邊的數；兩數相乘（除），同號得正，異號得負；異號兩數相加，取絕對值較大數的符號，并

把絕對值相加.

【變式（2023春?萊西市期末）如圖,數軸上兩點M,N所對應的實數分別為〃，?〃，則n-m的值可能

是（）

NM

-2-1012

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】根據數軸確定相和九的范圍，再根據有理數的減法法則即可做出選擇.

【詳解】解：根據數軸可得—2V-<—1,0<m<1,則—mV—1.

n-ni的值可能是一2

故選：A.

【點睛】本題考查的知識點為數軸，有理數的減法，解決本題的關鍵是要根據數軸明確m和「的范圍，然后

再確定九一m的范圍即可.

【變式1-2]（2023?福建福州?校考模擬預測）實數a在數軸上對應點的位置如圖所示.若實數b滿足a+b<0,

則b的值可以是（）

1?1?1.11A

-3-2-101a23

A.-2B.-1C.0D.I

【答案】A

【分析】根據題意可得1VQV2,從而得到|a|>L再由a+b<0,可得力V0,且⑸>|a|>1,從而得

$tb<-a<-l,即可求解.

【詳解】解：根據題意得：1VQC2,

*.*a+b<0,

Ab<0,且|b|>|a|>1,

b<—ci<—1>

???b的值可以是一2.

故選：A

【點睛】木題考查了有理數加法的運算法則和數軸上的點和有理數的對應關系.解決本題的關鍵是根據加法

的符號規律確定匕的取值范圍.

【變式1-3](2023?江蘇常州?統考二模)如圖，將數軸上-4與8兩點間的線段六等分，五個等分點所對應的

aa

數依次為由,a2,a3?4?5?則%+4.0(填?'或"v").

?牛牛中平平)

-48

【答案】>

【分析】先計算兩點間的距離，再計算每段的長度，運用平移思想計算出由，。2,。3,。4,附分別表示的數，

計算內+1判斷即可.

【詳解】???數軸上-4與8的距離為8-(-4)=12,且軸上一4與8兩點間的線段六等分，，每段長度為12+6=

2,

=-4+2=-2,a2=—2+2=0.a3=0+2=2,a4=2+2=4,a5=4+2=6,

a1+。4=—2+4=2>0,

故答案為：>.

【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離，平移計算各點表示的數，熟練平移思想是解題的關鍵.

【題型2運用運算律簡化有理數的加減運算】

【例2】(2023?上海?七年級假期作業)計算：

(1)1+2+3+-+18+19+20

(2)4+6+8+10+…+32+34+36

(3)1+22+333+4444+5555+666+77+8

【答案】(1)210

(2)340

(3)11106

【詳解】解:(1)(-5|)-(-2.25)-(-2|)-(+5^)

-5-2\)+2.25+2-3-553

2313

"55+25；+(24~54.

44.

41

"25~32

二一6五；

(2)(5-12)-(13-5)

=-7-8

=-15：

(3)0-(-2)+(-7)-(+1)+(-10)

=2-7-1-10

=-16；

(4)—0.5—5：—1+3;-4：+2：

7723

1

=(-0.5-1-+5+3+2

1)(-||)3

1

=-6-2+2—

1

=-8+2§

-5-

【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算，解本題的關鍵在熟練掌握有理數的加減混合運算的順序和法則.

【變式2-2］(2023春?七年級課時練習)計算:

1+2-3-4+5+6-7-8+...+2017+2018-2019-2020+2021

【答案】(1)1

【分析】原式除去第一項，以及后二項，兩兩結合，利用化為相反數兩數之和為0計算，即可得到結果.

［詳解］解：原式=1+(2-3)+(-4+5)+(6-7)+(-8+9)+…+(2014-2015)+(-2016+2017)+(2018-2019)-

2020+2021

=1-1-2020+2021

【點睹】本題考查了有理數的加減混合運算:，熟練掌握加法的交喚律和結合律是解答本題的關鍵.

【變式2-3］（2023?江蘇?七年級假期作業）計算:

(1)-9.2-(-7.4)+9：+(-6|)+(-4)+|-3|；

⑵一需+112一129-14+(一1琦；

⑶2-(-?(-)

【答案】(1)0

⑵一16

【分析】（1）先把減法統?為省略加號的和的形式，再結合加法的運算律進行計算即可;

（2）先把減法統一為省略加號的和的形式，再結合加法的運算律進行計算即可；

（3）先把減法統一為省略加號的和的形式，再結合加法的運算律進行計穿即可.

【洋解】（1）解：—9.2—（—7.4）+9,++（—4）4-|-3|

=-9.2+7.4+9,-6：-4+3

=-1.8+2.8-1

=0；

（2）-141+11|-（-12|）-144-

7777

=-14-+12-+11--11--14

3355

=-2-14

=-16；

=-H---------

3388

=1-T

二一.

2

【點睛】本題考杳的是有理數的加減運算，先把減法統一成加法，省略加號后，運用加法運算律，簡化運算,

求;II結果.其中互為相反數的兩數先結合；能湊成整數的各數先結合.另外，同號各數先結合：同分母或

易通分的各數先結合.方法總結：(1)為使運算簡便，可適當運用加法的結合律與交換律.在交換加數的

位置時，要連同前面的符號??起交換.(2)注意同分母分數相加，互為相反數相加，湊成整數的數相加，

這樣計算簡便.(3)當一-個算式中既有小數又有分數時，一般要統一，具體是統一成分數還是小數，要看

哪一種計算簡便.

【題型3巧用拆項法簡化有理數的加減運算】

【例3】(2023春?福建泉州?七年級校考階段練習)先閱讀下列解題過程，再解答問題：

(-5?+72(-5)+(-力1+(7+1)

=[(-5)+7]+[(-5+2]

OO

=2+-

6

=凈

上面這種方法叫拆項法，仿照上面的方法請你計算：(?2000|)+(-I999|)+4000|+(-1b.

【答案】

【分析】按示例的方法求解即可.

【詳解】解：(-2000^)+(-1999^)+40嗚+(-11)

=[(-2000)+(4)]+[(-1999)+(4)]+(4000+|)+[(-1)+]

6332

=[(-2000)+(-1999)+4000+(-1)]+[(-|)+(4)(])1

6332

4、

=0+(-；)

=—4

3,

【點睛】本題主要考查了有理數的加減混合運算，解題的關鍵是利用示例的拆項法求解.

【變式3-1](2023春?全國?七年級專題練習)計算：1；-2升31-4蔓+5n一6四十79一8三+9去一

2612203042567290

10—+11—.

110132

【答案】(I

【分析】將原式的分數進行適當的變形，利用互為相反數的和為0,進行計算即可.

【詳解】解：原式=(1+9-(3--)+(3+-)-(5-—)+(5+—)-(7--)+(7+-)-(9--)+

26122030425672

(9+--川-+)+川+囁)

=1+--3+-+3+——5+成+5+《-7+專+7+專一9+++9+*-11+擊+11+囁

212

=(1?3+3?5+5?7+7?9+971+11)+0+：+卷+4+4+*+專+/+表+*+囁)

=1+(1-鴻-_2+工-2+2__2_+三_2_)

3348991010111112/

_23

=3

【點睛】本題考杳了有理數的加減混合運算，熟練運用加法的交浜律和結合律是解答本題的關鍵.

【變式3-2］（2023春?陜西西安?七年級校考期中）計算：；+升尚+士+之+…+三

26129900

【答案】蓋

【分析】根據題目式子的特點，將式子變形，然后裂項作差即可求得所求式子的值.

【詳解】解：*+…+磊

11111

----+----+----+----+???+-------

1x22x33x44x599x100

1111111

一十一—一十一一一十…十―1

2233499100

1

=1--------

100

99

100

【點睛】本題考查了有理數的加減法的簡便運算，解答本題的關鍵是發現題目中式子的特點，裂項作差解答.

【變式3-3］（2023?上海?七年級假期作業）計算:

(1)298+396+495+691+799+21

(2)98-96-97-105+102+101

【答案】（1）2700

（2）3

【分析】根據有理數加減法則直接計算即可得到答案;

根據有理數加減法則直接計算即可得到答案：

【詳解】(1)解：原式=(300-2)4-(400-4)4-(500-5)4-(700-9)+(800-1)+21

=300+400+500+700+800-21+21

=2700；

(2)解：原式=(98+102)+101-(100-4)-(100-3)-(100+5)

=301-100-100-100+2

=3；

【點睛】本題考查有理數加減混合運算，解題的關鍵是熟練掌握法則及運用交換律結合律簡便計算.

【題型4有理數加減法中的規律問題】

【例4】(2023春?遼寧撫順?七年級階段練習)如圖，康康將-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5分別填入九個

空格內，使每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，其中〃、氏c.分別代表其中的一個數.

a50

31b

C-34

(1)求b,c的值各為多少：

(2)在第(1)間中，九個數的總和為多少？位于正方形表格最中間格子的數是多少？它們之間有怎樣的數量

關系？

(3)利用上面你發現的規律，將3,5,-7,1,7,-3,9,-5,1這九個數字分別填入如圖的九個方格中，使

得橫、豎、斜對角的三個數的和都相等，

【答案】(1)Q=-2,b=-l,c=2

(2)九個數的總和為9,表格中間的數字為1,九個數的總和是表格中間的數字的9倍

⑶見解析

【分析】(1)根據每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，先求出中間一豎列的和為3,再分別以母

一橫行的和為3,依次求。力”的值；

(2)每一豎列的和為3,九個數的總和為3x3,觀察表格中間的數字為1,可從倍數上回答數量關系；

(3)九方格題目先將數字按從小到大的順序填入方格后，將對角數字交換位置，再順時針旋轉?格即可.

(1)

解：???中間豎列的三個數的和為5+1+(-3)=3,

???每行、每列、每條對角線上的三個數之和相等，

???第一橫行三個數的和為3.

Aa=3-5-0=-2.

同樣的方法可得：d=3-3-l=-l.c=3-(-3)-4=2.

答：a=-2,d=-l,c=2.

(2)

每列上的三個數之和相等，

中間豎列的二個數的和為3,且共有二個豎列，

九個數的總和為：3x3=9.

觀察表格中間的數字為1，

???九個數的總和為表格中間的數字的9倍?.

答：在第(I)問中，九個數的總和為9,表格中間的數字為1,九個數的總和是表格中間的數字的9倍.

⑶

九個數填表如卜.：

-19-5

-315

7-73

【點睛】考查了有理數的加法，注重考查學生的思維能力.九方格題目趣味性較強，從小到大排列，對角交

換，旋轉一格，為九宮格通法.

【變式4-1](2023春?七年級課時練習)有一組數：一1,1,2,一3,5,8,-13,21,34.....請觀察這

組數的構成規律，用你發現的規律確定第11個數為，前個數的和首次超過100.

【答案】8912

【分析】觀察得到規律，利用有理數的加減運算法則計算即可.

【詳解】解：觀察得，規律是：從第三個數開始往后，每一個數的絕對值是前兩個數絕對值的和，數所站位

置數字被3除，余數為1的，此位置的數的符號為負，其余的數的符號為正，

則第11個數為89,

前12個數的和為-1+1+2-3+5+8-13+21+34-55+89+144

=-1+(1+2-3)+(5+8-13)+(21+34-55)+89+144

=89+144-1

=232.

則前11個數的和為232-144=88,

所以前12個數的和首次超過100.

故答案為：89,12.

【點睛】本題主要考查了數字的變化規律，找出數字之間的運算規律，利用規律，解決問題.

【變式4-2](2023春?七年級課時練習)(1)從圖①中找規律；

(2)按圖①中的規律在圖②中的空格里填上合適的數.

圖①圖②

【答案】(1)下面兩個數的和等于上面的一個數字：(2)見解析

【分析】(1)仔細觀察數字的分布，找到規律即可；

(2)根據第一個圖形的規律，寫出答案即可.

【詳解】解：⑴觀察圖①發現：-5+(-6)=-11；

-6+(-2)=-8；

-11+(-8)=-19,

規律為：下面兩個數的和等于上面的一個數字；

(2)根據規律得到：

圖①圖②

【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是能夠仔細觀察第一個圖形并找到數字變化的規律，難

度不大.

【變式4-3］(2023春?湖北省直轄縣級單位?七年級校聯考期中)下面是按?定規律得到的一列數.

第I個數：乂1+3=?1,第2個數:N-；

第3個數：+第4個數：：

第5個數：1-(1+1)=-1；第6個數：.(1彳)=：

(1)洛上述內容進行填空；

(2)按照以上規律，用算式表示出第7,第8和第10個數；

(3)洛(2)中的三個數用“V”連接起來.

【答案】⑴］，?*

⑵第7個數是?(1+以=-1，第8個數是9(14)=［，第10個數是/(14)=』

79

【分析】(1)根據所給的式子依次計算即可得解；

(2)根據所給的式子，發現括號中的運算第奇數個數是加法，第偶數個數是減法，由此規律跳可求解;

(3)根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，比較即可得解.

【詳解】(1)解：1-(1-0

14

=-----

55

3

=一二,

16

=_?一

77

5

「

故答案為：-|，等

(2)解：第7個數是9(1+!)=54=-1,

O\O/OO

第8個數是/(IJ)

第10個數是/(1々)=今次*

???第7個數是?(1+以=1第8個數是第10個數是2-(14)=』

⑶解：,??［國，9I981…Y9977)81)99

"I————9I~1I-1=~-9""",

11111991199999999

【點睛】本題考查數字的變化規律以及比較兩個負數的大小，通過所給的式子，探索出式子的一般規律是解

題的關鍵.

【題型5有理數的加減運算與相反數、絕對值等的綜合應用】

【例5】（2023春?陜西西安?七年級校考期末）若|。|=4,網=2,且a+8的絕對值與相反數相等，則a-b的

值是（）

A.-2B.-6C.-2或一6D.2或6

【答案】C

【分析】求出a、b的值，進行計算即可.

【詳解】解：???同=4,網=2,

:=±4,b=±2,

TG+b的絕對俏與相反數相等，

Ac+b<0,

，G=-4,b=±2,

a-b=-4—2=-6或a—b=-4+2=—2,

故選:C.

【點睛】本題考查了絕對值的意義和有理數的計算，解題關鍵是理解絕對值的意義，確定a、b的值.

【變式5-1］（2023春?浙江?七年級專題練習）（1）求3：的相反數與-2軟勺絕對值的和；

（2）若佃一2|與？+5|互為相反數,求a+b的值.

【答案】⑴一|；（2）a+b=-3

【分析】（I）把3：的相反數和-2：的絕對值相加計算即可；

（2）根據相反數的定義可得|a-2|+|b+5|=0,再根據非負數的性質求出。和力的值，然后代入a+b計

算即可.

【詳解】(1)—3：+|—2；|

JO

108

=------1——

33

108

二七-P

2

-.......

3

(2)因為佃-2|與仍+5|互為相反數,

所以|a-2|+|b+5|=O

所以|a-2|=0,|b+5|=0,

所以Q=2,b=—5,

所以a+b=2+(-5)=-3.

【點睛】本題考查了相反數、絕對值的意義，絕對值的非負性，以及有理數的加法，綜合運用各知識點是解

答本題的關鍵.

【變式5-2](2023春?陜西榆林?七年級統考期末)若a—2的絕對值為5,b的絕對值為9,且a+b<0,求

Q-b的值.

【答案】16或6

【分析】根據絕對值的意義分別求出的值，然后根據Q+bV0確定出其范圍，即可得出答案.

【詳解】解：的絕對值為5,b的絕對值為9,

-2=±5，b=±9,

解得a=7或a=-3,

??"+/?<0,

???a=7或-3時,b=-9,

.\a-b=7—(—9)=16,或a—b=-3—(—9)=6,

即a-b的值為16或6.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，有理數的加減運算等知識點，熟練掌握絕對值的意義以及有理數的加減

運算法則是解本題的關鍵.

【變式5-3](2023春?福建龍巖?七年級統考期中)已知a與4互為相反數，b的絕對值是最小的正整數，己

知|m+a\+\b-n\=0,則m4-n的值為()

A.3B.4C.5D.3或5

【答案】D

【分析】根據相反數的定義以及絕對值的定義可得。=-4,b=l,再根據非負數的性質解答即可.

【詳解】解：la與4互為相反數，。的絕對值是最小的正整數，

?'?a=-4,b=±1,

V\m+a\+\b-n\=0,

|rn-4|4-11-n|=0?或|m—4|+|-1—n|=0,

又一川NO,或—4|20,|一1一川NO,

—4=0,1—n=0,或m—4=0,—1—n=0

/.m=4,n=1,或77i=4,n=—1,

/.m+n=4+1=5,或m4-n=4—1=3,

Am+7i的值為3或5.

故選：D.

【點睛】本題考查了相反數，絕對值的非負數性質，解題的關鍵是由條件求得Q=-4,b=±l.

【題型6應用有理數的加減運算解決實際問題】

【例6】(2023春?廣東肇慶?七年級校考期中)足球訓練中，為了訓練球員快速搶斷轉身，教練設計了折返

跑訓練.教練在東西方向的足球場上畫了一條直線插上不同的折返旗幟，如果約定向西為正，向東為負，

練習一組的行駛記錄如下(單位：米)：+20,-10,+30,-15,+10,-15,+15,-8,+16,

-8.

(1)球員最后到達的地方在出發點的哪個方向？距出發點多遠？

(2)球員在一組練習過程中，跑了多少米？

【答案】(1)球員最后到達的地方在出發點的正西方向，距出發點27米：

⑵球員在一組練習過程中，跑了147米.

【分析】(1)根據加法法則，將正數與正數相加，負數與負數相加，進而得出計算得結果；

(2)利用絕對值的性質以及有理數加法法則求出即可.

【詳解】(I)解：(+20)+(-10)+(+30)+(-15)+(4-10)+(-15)+(+15)+(-8)+(+16)4-(-8)=+35

(米).

答：球員最后到達的地方在出發點的正西方向，距出發點35米.

(2)解:|+20|+|-10|4-1+30|+|-15|+|+10|+|-15|+|+15|+|-8|+|+16|+|-8|=147(米).

答：球員在一組練習過程中，跑了147米.

【點睛】本題主要考查了有理數的加減混合運算、絕對值的應用等知識點，熟練利用加法的運算法則進行運

算是解題的關鍵.

【變式6-1］（2023春?山東濟南?七年級統考期中）今年的“十?一”黃金周是7天的長假，某公園在7天假期

中每天旅游人數變化如表（正號表示人數比前一天多，負號表示比前一天少）

日期1日2日3日4日5日6日7日

人數變化

+1.7-0.5+0.3-0.7-0.3+0.5-0.7

單位：萬人

若9月30日的游客人數為0.3萬人，問：

（1）10月5日的旅客人數為萬人；

（2）七天中旅客人數最多的一天比最少的一天多萬人？

（3）如果每萬人帶來的經濟收入約為120萬元，則黃金周七天的旅游總收入約為多少萬元？

【答案】⑴0.8

（2）1.4

（3）1092萬元

【分析】（1）根據題意列得算式，計算即可得到結果；

（2）根據表格找出旅客人數最多的與最少的，相減計算即可得到結果；

（3）根據表格得出1日到7日每天的人數，相加后再乘以120即可得到結果.

【詳解】（1）解：根據題意列得：0.3+（+1.7-0.5+0.3-0.7-0.3）=0.8：

故答案為：0.8；

（2）根據表格得：7天中旅客最多的是1FI為2萬人，最少的是7FI為0.7萬人,

則七大中旅客人數最多的一大比最少的一大多2-0.6=1.4（力人）；

故答案為：1.4；

（3）10月1日有游客：0.3+1.7=2（萬）；

10R2日有游客：2-0.5=1.5〔萬）

10月3日有游客：1.5+03=1.8（萬）；

10月4日有游客：1.8—0.7=1.1（萬）

10月5日有游客：1.1一0.3=0￡（萬）；

10月6日有游客：0.8+0.5=1.3（萬）

10月7日有游客：1.3-0.7=0.6（萬）：

黃金周七天游客：2+1.5+1.8+1.1+0.8+1.3+0.6=9.1（萬）

120x9.1=1092（萬元）

答：黃金周七天的旅游總收入約為1092萬元.

【點睛】此題考查了有理數的混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵.

【變式6-2]（2023春?江蘇蘇州?七年級蘇州市第一初級中學校校考期末）2028年洛杉磯夏季奧運會將于7

月14口開幕，這是洛杉磯歷史第三次舉辦奧運會，假設開幕時間為2028年7月14口晚21時（洛杉磯當地

時間）開幕，5個城市的國標標準時間（單位：時）在數軸上表示如圖所示，那么洛杉磯時間2028年7月

27日21時應是（）

洛杉倫敦巴黎北京漢城

"^80iS9~

A.北京時間2028年7月15日13時B.巴黎時間2028年7月14日12時

C.倫敦時間2028年7月14日13時D.漢城時間2028年7月15日6時

【答案】A

【分析】根據數軸以及一天有24小時，分別求出北京，巴黎，倫敦，漢城的時間，然后利用排除法求解即

可.

【詳解】解：A、北京時間:21+[8-（-8）]=37,

?.一天有24小時，

37-24=13,

???北京時間2012年7月15R13時，故本選項正確；

B、巴黎時間：21+[1-（-8）]=30,

天有24小時，

30-24=6,

巴黎時間為2012年7月15日6時，故本選項錯誤；

C、倫敦時間：21+[0-（-8）]=29,

,??一天有24小時，

.-.29-24=5,

倫敦時間為2012年7月15日5時，故本選項錯誤;

D、漢城時間：21+[9-(-8)]=38,

?.一天有24小時，

???38-24=14,

二漢城時間2012年7月15H14時，故本選項錯誤.

故選：A.

【點睛】本題考查了數軸，根據數軸判斷出各地與倫敦的時差是解題的關鍵，要注意一天24小時的限制.

【變式6-3](2023春?全國?七年級期末)我國股市交易中，每買賣一次需付交易款的千分之七點五作為交易

費用，某投資者以每股50元的價格買入某股票1000股，下表為第一周內每日股票的漲跌情況(單位：元):

星期--二三四五

每股漲跌+2+1.5—0.5-4.5+2.5

(1)星期三收盤時，每股是多少元？

(2)本周內每股最高價為多少元？最低價是多少元？

(3)若該投資者在星期五收盤前將股票全部賣出，他的收益情況如何？

【答案】(1)53元；

(2)每股最高價是53.5元,最低價是48.5元；

(3)收益為242.5元.

【分析】(1)由題意可知：星期一比剛買的時候漲了2元，星期二比星期一漲了1.5元，星期三比星期二跌

了0.5元，則周三收盤價表示為50+(+2)+(+1.5)+(-0.5),然后計算即可；

(2)周一每股的價格是：50+(+2)=52元，周二每股的價格是：52+(+1.5)=53.5元，周三每股的價格是：

53.5+(-0.5)=53元，周四每股的價格是:53+(-4.5)=48.5%,周五每股的價格是:48.5+(+2.5)=51元;

則星期二的收盤價為最高價，星期四的收盤價為最低價；

(3)計算出以50兀買進時的價錢，再計算本周五賣出時的價錢，用賣出時的價錢-買進時的價錢即為收益.

【詳解】(1)解：星期三收盤時，每股的價格是50+(+2)+(+1.5)+(-0.5)=53(元).

(2)解:本周內每股最高價是50+(+2)+(+1.5)=53.5(元)，最低價是50+(+2)+(+1.5)+(-0.5)+(—4.5)

=48.5(元).

(3)解：星期五每股賣出價為:5。+(+2)+(+1.5)+(-0.5)+(-4.5)+(+2.5)=51(元)，

其收益：51x1000x(1--)-50x1000-50x1000x—=242.5(元).

【點睛】本題考杳了有理數的運算的應用，解題時根據圖表找出它們之間的關系，列出算式計算比較即可，

計算時i定要細心，認真，避免出錯.

【題型7有理數加減法中的新定義問題】

【例7】(2023春?全國?七年級期末)新定義：符號，了'表示一種新運算，它對一些數的運算結果如下：

運算(一)：/(—2)=-2—1=-3?/(—1)=-1—1=-2,/(0)=0—1=-1,/(1)=1—1=

0,f(2)=2-1=1,...

運算(-)：/(-1)=-3,/(—；)=—2,/(1)=2,展)=3,……

利用以上規律計算：

(?)/(10)=----------，f<-10)=-----------,/舄)=------------,/(一卷)=-----------，

(2)/(-2015)-/(-^)=----------；

(3)計算:/(-5)+f(-4)4-/(-3)+/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+

/(-7)+/(-；)+/(-；)

【答案】⑴9,-mio,-io

(2)0

(3)35

【分析】(1)根據運算(一)和運算(二)的新運算計算即可；

(2)結合運算(一)和運算(二)的新運算將原式化簡，然后根據有理數減法進行運算即可;

(3)根據運算(一)和運算(二)的新運算結合有理數加法運算法則進行計算即可.

【詳解】(1)解：根據題意可知：f(10)=10-1=9；

f(-10)=-10-1=-11；

故答案為：9,—11?10,—10；

(2)/(-2015)-/(一短)=-2015-1-(-2016)=-2016+2016=0,

故答案為：0；

(3)/(-5)+/(-4)+/(-3)+/(-2)+/(-1)+f(0)+/(1)+/1)+/1)+

/(一”/(一》

=(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)

=-35.

【點睛】本題考查了定義新運算，理解題意中的新運算，結合有理數加減運算法則進行計算是解本題的關鍵.

【變式7-1](2023春?山東棗莊?七年級統考期中)現定義一種新的運算：。助=(a/)-(a+b),例如

203=(2-3)-(2+3)=-1-5=-6,你按以上方法計算5圖[(-3)02]=.

【答案】8

【分析】根據新定義列出算式，先算出括號內的，再算括號外的，即可求得.

【詳解】解：50[(-3)02]

=5卯(-3)-2-(-3+2)]

=53(-54-1)

=53(-4)

=(5+4)-(5-4)

=9-1

=8,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了新定義運算，有理數的加減運算，理解新定義運算是解決本題的關鍵

【變式7-2](2023春?全國?七年級期末)定義“十”運算，例如：

(+2)十(+13)=15,(-17)十(-23)=40；

(-2)十(+10)=-12,(+10)十(-2)=-12；

0e(+15)=-15,(-12)?0=12.

觀察上述運算，解答下列問題；

⑴根據上述運算，歸納“十”運算的法則：

兩數進行“十”運算時，同號,異號,并把絕對值;

特別地，0與任何數進行"十''運算或任何數與0進行“十”運算都得這個數的;

(2)計算：(-8)十(-12)=：

(3)計算：(-6)十[(一10)十0]；

(4)通過(-2)十(+10)=-12,(+10)十(-2)=-12發現“十”運算滿足加法交換律，請舉例說明“十”運算是

否滿足加法結合律.

【答案】(1)得正，得負，相加，相反數

⑵20

⑶T6

(4)見解析

【分析】(1)根據上述計算，歸納“十”運算的法則即可；

(2)根據(1)中的法則進行計算即可；

(3)根據(1)中的法則進行計算即可；

(4)根據題意，舉例說明即可.

【詳解】(1)根據上述運算，歸納“十”運算的法則：

兩數進行“十”運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加；

特別地，0與任何數進行"十''運算或任何數與0進行“十''運算都得這個數的相反數；

故答案為：得正，得負，相加，相反數；

(2)計算：(-8)十(-12)=8+12=20.

故答案為：20；

(3)計算：(-6)十[(一10)十0]

=(-6)十10

=-(6+10)

=-16；

(4)[(-2)十(+10)]十3

=(-12)03

=-15

所以K-2)十(+10)]?3=(-2)e[(+10)十3],

所以滿足結合律.

【點睛】本題考杳了有理數的加減混合運算，正確理解新定義的溶算法則是解題的關鍵.

【變式7-3](2023春?福建漳州?七年級統考期中)借助有理數的運算，對任意有理數a,b,定義一種新運

算“十”，規則如下：a十b=|a+b|例如，2十(-1)=[2+(-1)|=1.

(1)填空：①5十(-2)=；②3十x=4,則T=：

(2)我們知道有理數加法運算具有結合律，即：(a+%)+c=a+(b+c),請你探究這種新運算“十”是否也

具有結合律？若具有，請說明理由；若不具有，請舉一個反例說明.

【答案】(1)①3；②1或?7；(2)新運算“十”不具有結合律，理由見解析.

【分析】(1)①②根據"十方=|a+目，可以求得所求式子的值；

(2)先判斷新運算“缶”是否也具有結合律，然后說明理由或者舉出反例即可.

【詳解】解：(1)①十ga+〃|,

，5十(-2)

=|5+(-2)|

=3；

②a十b=\a+b\,

?工3十;v=|3+x\—4

.\34-x=±4

=1,x2=-7

的值為1或-7

故答案為：3,1或-7

(2)新運算“缶”不具有結合律，

反例:V(49-5)十-5

=|4+(-5)|6-5

=1?-5

=|1+(-5)|

=4,

4十(-5?-5)

=4?|(-5)+(-5)|

=4?10

=|4+10|

=14,

:.(4十?5)舟-5玄舟(-56-5),

???新運算“十”不具有結合律.

【點睛】本題考杳有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

【題型8利用有理數的加減法解決數軸上兩點間的距離問題】

【例8】(2023春?河南南陽?七年級統考期末)如圖，在?條不完整的數軸上從左到右依次有三個點A、B、

C：其中AB=2BC,設點A、B、。所對應數的和為〃?.

~4BC

(I)若點。為原點，HC=1,則點A對應的數為，點”對應的數為，m的值為;

(2)若點B為原點，AC=9,求小的值；

(3)若原點。到點C的距離為6,且直接寫出〃?的值.

【答案】(1)一3、一1、-4

(2)-3

(3)6或-30

【分析】(1)根據點。為原點，BC=1,AB=2BC,可求的AC的長度，從而確定點A,B,。所對應的數

及加的值即可；

(2)當點B為原點時，由==AB=lAC=6f且點C位于8點右側，點A位于8點左側，從

而確定點4,B,。所對應的數及根的值即可；

(3)分原點在。點左側或右側兩種情況，根據=AB=2BC,確定點八，R,C所對應的數及小的

值即可.

【詳解】(1)解.：當點C為原點時，則點C對應的數為0,

???BC=1,且8點位于C點左側，

???點B對應的數為一1,

又；AB=2BC=2,

AC=AB+BC=3,且點A位于點C?的左側，

工點A對應的數為一3,

:.m=-3+(―1)+0=-4,

故答案為:—3、—1、—4；

(2)解：當點8為原點時，點8對應的數為0,

???"=9,AB=2BC,

ABC=；/1C=3,AB=1AC=6,且點C位于8點右側，點A位于8點左側，

???點A對應的數為-6,點C對應的數為3,

???m=-64-0+3=—3：

(3)解：???原點。到點C的距離為6,

:.0C=6,

①當O點位于C'點左側，此時點C對應的數為6,

~AO~HC

???OC=AB,且48=2BC,

AB=6,BC=3?

：,OB=OC-BC=6-3=3,即點3對應的數為3,

?，.0月=48-08=6—3=3,即點A對應的數為一3,

???m=-3+3+6=6；

②當。點位于。點右側，此時點C對應的數為-6,

~AB_CO

-OC=AB,RAB=2BC,

:.AB=6,BC=3?

08=。。+=6+3=9,即點8對應的數為一9,

??.0力=48+08=6+9=15,即點A對應的數為一15,

:.m=—15—9—6=-30；

綜上，〃的值為6或一30.

【點睛】本題考查有理數的混合運算，線段的和差，利用數形結合和分類討論思想解題是關鍵.

【變式8-1](2023春?四川綿陽?七年級校考階段練習)如圖所示：如果數軸上點A在原點右邊且到原點的距

離為3,點8到原點的距離為5

A*iiiiiiiii、

-5-4-3-2-I012345

(1)請你在數軸上標出這個兩點，并寫出點A、點8所表示的數；

(2)直接寫出點A與點3之間的距離

【答案】(1)圖見解析?，點4表示的數為3,點8表示的數為：5或-5；

(2)2或8

【分析】(1)點A在原點右邊且到原點的距離為3,得到點力表示的數為3,點8到原點的距離為5,得到

點8表示的數為:5或-5：

(2)分點8表示的數為：5或-5兩種情況求出點A與點8之間的距離，即可.

【詳解】(1)解：由題意，得：點A、點B在數軸上的位置，如圖所示：

AR

_?_?_1_?_?_?_?_?_?__i_?—?

-5-4-3-2-IOI2345

AB.1Q1AliA.

或：-5-4-3-2-1012345

點力表示的數為3,點3表示的數為：5或-5：

(2)解：當點4表示的數為3,點3表示的數為：5時：48=5-3=2；

當點A表示的數為3,點〃表示的數為：—5時：AB=3—(—5)—8；

【點睛】本題考查用數軸上的點表示有理數，以及數軸上兩點間的距離.根據題意，正確的表示出點在數軸

上的位置，是解題的關鍵.

【變式8-2](2023春?吉林長春?七年級統考期中)如圖所示，在一條不完整的數軸上從左到右有點A、B、

C,其中點A到點B的距離為4,點B到點C的距離為8,設點A、B、C所對應的數的和是機，點小B、C

所對應的數的絕時值的和是〃.

(1)若以A為原點，則數軸上點3所表示的數是」

(2)若以8為原點,則/〃=_,〃=_；

(3)若原點。在圖中數軸上，且點8到原點。的距離為3,求機的值.

_j-----------------------1--------