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小學五六年級奧數解題技巧

奧賽專題-抽屜原理

【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過

生日。為什么？

【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某

一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看

成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里

至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生日。

【例2】任意4個自然數，其中至少有兩個數的差是3的倍數。這是

為什么？

【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規律：如果兩個自然數除以3

的余數相同，那么這兩個自然數的差是3的倍數。而任何一個自然數

被3除的余數，或者是0,或者是1,或者是2,根據這三種情況，

可以把自然數分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜

我們把4個數看作“蘋果”，根據抽屜原理，必定有一個抽屜里至少

有2個數。換句話說，4個自然數分成3類，至少有兩個是同一類。

既然是同一類，那么這兩個數被3除的余數就一定相同。所以，任意

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4個自然數，至少有2個自然數的差是3的倍數。

【例3】有規格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試

問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無

左、右之分）？

【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪

子嗎？回答是否定的。

按5種顏色制作5個抽屜，根據抽屜原理1,只要取出6只襪子就總

有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，

如果再補進2只又成6只，再根據抽屜原理1,又可配成一雙拿走。

如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6+2+2=10只

襪子，就一定會配成3雙。

思考：1.能用抽屜原理2,直接得到結果嗎？

2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應取出多少只？

3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？

【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種

顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至

少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？

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【分析與解】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均

超過4個，所以，根據抽屜原理2,只要取出的球數多于（4?1）X3=9

個，即至少應取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一

抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應取出10+5=15個球，才能符合要求。

思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？

當我們遇到“判別具有某種事物的性質有沒有，至少有幾個”這樣的

問題時，想到它一一抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

奧賽專題-還原問題

【例1】某人去銀行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次

取了余下的一半多100元。這時他的存折上還剩1250元。他原有存

款多少元？

【分析】從上面那個“重新包裝”的事例中，我們應受到啟發：要想

還原，就得反過來做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”

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（減）幾，還原時應為減（加）幾，原來是乘（除）以幾，還原時應

為除（乘）以幾。

對于一些比較復雜的還原問題，要學會列表，借助表格倒推，既能理

清數量關系，又便于驗算。

奧賽專題-雞兔同籠問題

例1雞兔同籠，頭共46,足共128,雞兔各幾只？

［分析］：如果46只都是兔,一共應有4X46=184只腳,這和已知的

128只腳相比多了184-128=56只腳.如果用一只雞來置換一只兔，就

要減少4-2=2（只）腳.那么，46只兔里應該換進幾只雞才能使56只

腳的差數就沒有了呢？顯然，56^2=28,只要用28只雞去置換28

只兔就行了.所以，雞的只數就是28,兔的只數是46-28=18。

解：①雞有多少只？

（4X6-128）4-（4-2）

=（184-128）4-2

=564-2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答:雞有28只，免有18只。

例2雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少

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只？

［分析］:這個例題與前面例題是有區別的,沒有給出它們腳數的總和,

而是給出了它們腳數的差.這又如何解答呢？

假設100只全是雞，那么腳的總數是2X100=200（只）這時兔的腳

數為0,雞腳比兔腳多200只，而實際上雞腳比兔腳多80只.因此，

雞腳與兔腳的差數比已知多了（200-80）=120（只），這是因為把其

中的兔換成了雞.每把一只兔換成雞，雞的腳數將增加2只，兔的腳

數減少4只.那么，雞腳與兔腳的差數增加（2+4）=6（只），所以換

成雞的兔子有120+6=20（只）.有雞（100-20）=80（只）。

解：（2X100-80）4-（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：雞與兔分別有80只和20只。

例3紅英小學三年級有3個班共135人，二班比一班多5人，三班

比二班少7人，三個班各有多少人？

［分析1］我們設想，如果條件中三個班人數同樣多，那么，要求每班

有多少人就很容易了,由此得到啟示，是否可以通過假設三個班人數

同樣多來分析求解。

結合下圖可以想，假設二班、三班人數和一班人數相同，以一班為標

準，則二班人數要比實際人數少5人.三班人數要比實際人數多7-5=2

（人）.那么，請你算一算，假設二班、三班人數和一班人數同樣多,

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三個班總人數應該是多少？

解法1:

一班：［135-5+（7-5）］4-3=1324-3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

［分析2］假設一、三班人數和二班人數同樣多，那么，一班人數比實

際要多5人，而三班要比實際人數多7人.這時的總人數又該是多少？

解法2：（135+5+7）4-3=1474-3=49（人）

49-5=44（人）,49-7=42（人）

答：三年級一班、二班、三班分別有44人、49人和42人。

例4劉老師帶了41名同學去北海公園劃船，共租了10條船.每條大

船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？

［分析］我們分步來考慮：

①假設租的10條船都是大船，那么船上應該坐6X10=60（人）。

②假設后的總人數比實際人數多了60-（41+1）=18（人），多的原因

是把小船坐的4人都假設成坐6人。

③一條小船當成大船多出2人，多出的18人是把18?2=9（條）小

船當成大船。

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解：［6X10-（41+1）.（6-4）

=184-2=9（條）10-9=1（條）

答：有9條小船，1條大船。

例5有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20

對（蜘蛛8條腿；靖蜓6條腿，兩對翅膀：蟬6條腿，一對翅月旁），

求蜻蜓有多少只？

［分析］這是在雞兔同籠基礎上發展變化的問題.觀察數字特點，蜻蜓、

蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿.因此，可先從腿數入手，求出蜘蛛

的只數我們假設三種動物都是6條腿，則總腿數為6X18=108（條）,

所差118-108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數而造成的.所以,

應有（118-108）4-（8-6）=5（只）蜘蛛.這樣剩下的18-5=13（只）

便是蜻蜓和蟬的只數.再從翅膀數入手，假設13只都是蟬，則總翅膀

數1X13=13（對），比實際數少20-13=7（對），這是由于蜻蜓有兩

對翅膀，而我們只按一對翅膀計算所差，這樣蜻蜓只數可求7+（2-1）

=7（只）.

解：①假設蜘蛛也是6條腿，三種動物共有多少條腿？

6X18=108（條）

②有蜘蛛多少只？

（118-108）4-（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蟬共有多少只？

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