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工程問題是小學數(shù)學應用題教學中的重點，是分數(shù)應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯思維能

力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。

在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵。

一.工程問題的基本概念

定義：工程問題是指用分數(shù)來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題。

工作總量：般抽象成單位“1”

工作效率：單位時間內完成的工作量

三個基本公式：工作總量=工作效率X工作時間，

工作效率=工作總量彳工作時間，

工作時間;工作總量?工作效率；

二、為了學好分數(shù)、百分數(shù)應用題，必須做到以下幾方面：

①具備整數(shù)應用題的解題能力，解決整數(shù)應用題的基本知識，如概念、性質、法則、公式等廣泛應

用于分數(shù)、百分數(shù)應用題；

②在理解、掌握分數(shù)的意義和性質的前提下靈活運用；

③學會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應關系，發(fā)現(xiàn)量與百

分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推

理；

④學會多角度、多側面思考問題的方法.分數(shù)、百分數(shù)應用題的條件與問題之間的關系變化多

端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法.因此，在解題過程中，要善于掌握對應、假設、轉

化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路.

三、利用常見的數(shù)學思想方法：

如代換法、比例法、列表法、方程法等

拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關系，轉化出與所求相關的工作

效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案.一般情況下，工程問題求的

是時間.

-S3冊標

JUr

（1）熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關系與--般解法；

（2）工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學會分段處理；

（3）根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉換；

工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術方法在其他類型題目中的應用.

廄初題溺窗

一、工程問題

【例1]一些工人做一項工程，如果能調來16人，那么10天可以完成；如果只調來4人，就要20天才

能完成，那么調走2人后，完成這項工程需要天.

【鞏固】工廠生產一批產品，原計劃15天完成，實際生產時改進了生產工藝，每天生產產品的數(shù)量比原

計劃每天生產產品數(shù)量的多10件，結果提前4天完成了生產任務，則這批產品有件。

【例2】有一項工程，甲單獨做需要36天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成.現(xiàn)

在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后

完成這項工程也用了整數(shù)天.那么丙休息了天.

【鞏固】一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后

由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2

倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？

【例3】甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時提高工，乙的工作效率比單獨

10

做時提高1甲、乙兩人合作6小時，完成全部工作的（2，第二天乙又單獨做了6小時，還留下

這件工作的?尚未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？

30

【鞏因】一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天.如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成

原來的士,乙只能完成原來的2.現(xiàn)在要8天完成這項工程，兩人合做天數(shù)盡可能少，那么兩

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人要合做多少天？

【例4】甲、乙兩人合作清理400米環(huán)形跑道上的枳雪，兩人同時從同一地點背向而行各自進行工作，

最初，甲清理的速度比乙快;，中途乙曾用10分鐘去換工具，而后工作效率比原來提高了一倍，

結果從開始算起，經(jīng)過1小時，就完成了清理積雪的工作，并且兩人清理的跑道一樣長，問乙

換了工具后又工作了多少分鐘？

【鞏固】甲、乙兩人同時加工同樣多的零件，甲每小時加工40個，當甲完成任務的,時，乙完成了任務

2

的?!?還差40個.這時乙開始提高工作效率，又用了7.5小時完成了全部加工任務.這時甲還剩

2

下20個零件沒完成.求乙提高工效后每小時加工零件多少個？

［例5］甲、乙、丙三隊要完成4,8兩項工程，8工程的工作量是4工程工作量再增加1,如果讓甲、

4

乙、丙三隊單獨做，完成月工程所需要的時間分別是20天，24天，30天.現(xiàn)在讓甲隊做力工

程，乙隊做6工程，為了同時完成這兩項工程，丙隊先與乙隊合做6工程若干又，然后再與甲

隊合做/工程若干天.問丙隊與乙隊合做了多少天？

【鞏固】甲、乙、丙三人同時分別在3個條件和工作量相同的倉庫工作，搬完貨物甲用10小時，乙用12

小時，丙用15小時.第二天三人又到兩個大倉庫工作，這兩個倉庫的工作量相同.甲在力倉庫，

乙在B倉庫，丙先幫甲后幫乙，用了16個小時將兩個倉庫同時搬完.丙在A倉庫搬了多長時間？

【例6】打印一份書稿，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成.如果甲、

乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內完成.甲、乙兩人合做需要幾天完成？

【鞏固】一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8

天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【例7］一項工程，甲、乙合作12之小時可以完成，若第1小時甲做，第2小時乙做，這樣交替輪流做，

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恰好整數(shù)小時做完；若第1小時乙做，第2小時甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多g小

時，那么這項工作由甲單獨做，要用多少小時才能完成？

【鞏固】甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做完，

若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則也比

原計劃多用半天.己知甲單獨做完這件工作要10天，且三個人的工作效率各不相同，那么這項

工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？

【例8】一個水箱，用甲、乙、丙三個水管往里注水.若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時，水箱已

滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時，水箱才滿.又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分

鐘注水量的2倍.則該水箱最多可容納多少噸水？

【鞏固】一個水箱內甲、乙、丙二根進水管，如果只打開甲、丙兩管，甲管注入30噸水時，水箱已滿；

如果只打開乙、丙兩管，乙管注入4()噸水時，水箱才滿.已知乙管每分鐘注水量是甲管的1.5倍，

則該水箱注滿時可容納噸水.

【例9］有甲、乙兩個相同的空立方體水箱，高均為60厘米，在側面上分別有排水孔力和6.力孔和4

孔距底面50厘米和30厘米，且兩孔排水速度相同.現(xiàn)在以相同速度一起給兩水箱注水，并通

過管道使力孔排出的水直接流入乙箱.70分鐘后兩水箱同時注滿.如果關閉兩孔，直接將空水

箱注滿需要分鐘.

【鞏固】如圖，有一個正方體水箱，在某一個側面相同高度的地方有三個大小相同的出水孔.用一個進水

管給空水箱灌水，若三個出水孔全關閉，則需要用1個小時將水箱灌滿；若打開一個出水孔，則

需要用1小時5分鐘將水箱灌滿：若打開兩個出水孔，則需要用72分鐘將水箱灌滿.那么，若三

個出水孔全打開，則需要用多少分鐘才能將水箱灌滿？

【例10】有一個敞口的立方體水箱，在其側面一條高線的三等分處開兩個排水孔力和8,已知兩孔的排

水速度相同且保持不變，現(xiàn)在從水箱上面勻速注水，如果打開力孔，關閉8孔，那么經(jīng)過20分

鐘可將水箱注滿，如果關閉力孔，打開4孔，則需要22分鐘才能將水箱注滿，那么兩孔都打開,

經(jīng)過分鐘才能將水箱注滿.

【鞏固】一個沒有蓋的水箱，在其側面［高和2高的位置各有一個排水孔，它們排水時的速度相同且保持

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不變.現(xiàn)在以一定的速度從上面給水箱注水.如果打開力關閉8,那么35分鐘可將水箱注滿；

如果關閉力打開那么40分鐘可將水箱注滿.如果兩個孔都打開，那么需要多少分鐘才能將

水箱注滿？

夕愣菖腌蒯

【隨練1】甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成.在晴天，一隊完成甲工作要12天，二隊完成乙工

程要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40%,二隊的工作效率要下降10%.結果兩隊同時

完成工作，問工作時間內下了多少天雨？

【隨練2】一份文件，如果甲抄10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄8小時，乙抄13小時也可

以抄完.現(xiàn)在甲先抄2小時，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時才能完成？

【隨練3】甲、乙、丙三人完成一件工作，原計劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天，正好整數(shù)天完

成，若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天，則比原計劃多用1天；若按丙、甲、乙的順序

2

每人輪流工作一天，則比原計劃多用;天.已知甲單獨完成這件工作需10.75天.問：甲、乙、

丙一起做這件工作，完成工作要用多少天？

I

【作業(yè)1】一項挖土萬工程，如果甲隊單獨做，16天可以完成，乙隊單獨做要20天能完成.現(xiàn)在兩隊

同時施工，工作效率提高20%.當工程完成,時，突然遇到了地下水，影響了施工進度，使得

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每天少挖了方土，結果共用了10天完成工程.問整工程要挖多少方土？

【作業(yè)2】一件工程甲單獨做5()小時完成，乙單獨做30小時完成.現(xiàn)在甲先做1小時，然后乙做2小時，

再由甲做3小時，接著乙做4小時……兩人如此交替工作，完成任務共需多少小時？

【作業(yè)3】一項工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成,時前米幫忙，待工程完成2時離去，

結果恰按計劃完成任務，其中乙做了工程總量的一半.如果沒有丙的參與，僅由乙接替甲后一

直做下去，將比計劃推遲3』天完成；如果全由甲單獨做，則可比計劃提前6天完成.還知道乙

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的工作效率是丙的3倍，問：計劃規(guī)定的工期是多少天？

【作業(yè)4】甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做

完，若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，