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相似模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

/、、ADAEDEAF

\1/---=---=---=---;

ABACBCAG

（2）S&ADE：S1BC=AF~：AG：

所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們

都相似），與相似三角形相關的常用的性質及定理如F：

（1）相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比：

（2）相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；

（3）連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.

相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具.

在小學奧數里，出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形.

任初題潟窗

一、沙漏模型

【例1】四邊形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4個三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,問：丙、

丁兩個三角形之和是甲乙兩個三角形面積之和的多少倍？

【鞏固】梯形ABCD的上底長為3厘米，下底長為9厘米，而三角形ABO的面積為12平方厘米。則整

個梯形的面積為多少?

【例2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=16,AD=1（）,BE=4,那么FC的長度是多少？

【鞏固】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,F是BC邊的中點，E是DC邊上的點，且DE：EC=1:3,

AF與BE相交于點G,求Sg冊.

［例3］如圖ABCD是梯形，BD是對角線，E為BD上一點，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE

的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面積分別為6和10平方厘米，EF：EG=7:4,那么求梯形

ABCD的面積。

【鞏固】如圖，ZXABC中AE=」AB,AD=-AC,ED與BC平行，AEOD的面積是1平方厘米。那么△

44

AED的面枳是平方厘米。

［例4］如圖，平行四邊形48CZ）的面積是12,DE=-AD,/C與8E的交點為尸，那么圖中陰影部分

3

面積是;

【鞏固】長方形488的面積是12平方厘米，2AF=FD,2CE=ED,G是8c的中點.陰影部分的面積是

平方厘米；

［例5］（2008年“華杯賽”決賽）右圖中，48CO和CGEE是兩個正方形，4G和C尸相交于“，已知。"等

于C廠的三分之一，三角形C//G的面積等于6平方厘米，求五邊形44GE廠的面艱.

【鞏固】已知：如圖，四邊形ABCD是直角梯形，/人=/8=90。/口=3刀?=43=由0口=1,求四邊形ABCD

的面積。

二、金字塔模型

【例6】如圖，中，DE,FG,8。互相平行，AD=DF=FB,

貝US△ADE:S四邊形DEG/：$四邊形尸GC8=*

【鞏固】如圖，QE平行8C,且4。=2,AB=5,AE=4,求4c的長.

［例7］如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120亳米，高AD=80亳米，要把它加工成正

方形零件，使正方形的一邊在BC上，具余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長

是多少？

【鞏固】如圖，在△力比中，有長方形DEFG,G、F在BC上,D、E分別在AB、AC±,AH是AABC邊

BC的高，交DE于M,DG:DE=1:2,BC=12厘米，AH=8厘米，求長方形的長和寬。

【例8】如圖，將一邊長為2的正方形兩邊長分別延長1和3,割出圖中的陰影部分，求陽影部分的面積

是多少？

【鞏固】下圖中正方形的面積為1,E、F分別為AB、BD的中點,GC=gFC.求陰影部分阿面積.

三、相似模型之綜合應用

［例9］如圖，長方形ABCD中，E、F分別為CD、AB邊上的點，DE=EC,FB=2AF。求PM：MN：NQ。

【鞏固】如圖，長方形ABCD中，EF=16,FG=9,求AG的長。

［例10］正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F是BC的中點，四邊形BGHF的

面枳是平方厘米。

【鞏固】如圖，已知正方形4BCQ的邊長為4,廠是8C邊的中點，￡是OC邊上的點，且OE:EC=1:3,

力/與8E相交于點G,求

歹S3菖觸瀏

【隨練1】如圖，△4%中，DE、FG、MN、PQ、BC互相平行,AD=DF=FM=MP=PB,則

犯：5四邊形出女.：5四邊形pg啾：$四邊影的磔，：邊形/必5=。

【隨練2】如圖長方形ABCD中，E為AD的中點，AF與BE、BD分別交于G、H,OE垂直AD于E,

交AF于O,已知AH=5cm,HFicm,求AG.

【隨練3】如圖，在梯形ABCD中，AB與CD平行，且CD=2AB,點E、F分別是AD和BC的中點，

已知四邊形ENFM的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是多少'上方厘米。

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【作業1］測量小玻璃管口徑的量具AB長為15厘米，AC被分為60等份。如果小玻璃管口DE正好對著

量具上20等份處：DE平行AB),那么小玻璃管I1徑DE是多大？

【作業2】如圖，MN平行BC,:S”=4:9,AM=4cm,求BM的長度。

【作業3】如圖，DE平行BC,若AD:DB=2:3,那么S”3：S