/重慶2024~2025學年高三數學第一學期開學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若是公比為的等比數列，記為的前項和，則下列說法正確的是（）A.若是遞增數列，則，B.若是遞減數列，則，C.若，則D.若，則是等比數列【答案】D【解析】【分析】選項A，B，C中，分別取特殊數列滿足條件，但得不出相應的結論，說明選項A，B，C都是錯誤的，選項D中，利用等比數列的定義可以證明結論正確.【詳解】A選項中，，滿足單調遞增，故A錯誤；B選項中，，滿足單調遞減，故B錯誤；C選項中，若，則，故C錯誤；D選項中，，所以是等比數列.故D正確.故選：D.2.已知公差不為零的等差數列中，成等比數列，則等差數列的前8項和為（）A.20 B.30 C.35 D.40【答案】B【解析】【分析】由題意設等差數列的公差為d，運用等比數列的中項的性質，結合等差數列的通項公式，解方程可得d，進而利用求和公式得到n=8的結果；【詳解】由題意設等差數列的公差為d，d≠0，由可得又成等比數列，可得a32＝a1a6，即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），結合解得d＝（0舍去），則數列{an}的通項公式an＝2+（n﹣1）＝n+；∴a8＝，∴故選：B．【點睛】本題考查等差數列通項公式及求和公式的應用，考查了等比數列中項的應用，屬基礎題．3.已知數列滿足，，關于數列有下述四個結論：①數列為等比數列；②；③；④若為數列的前項和，則.其中所有正確結論的編號是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】對于①，將條件進行變形即可構造數列；對于②，由①用累加法即可求數列的通項；對于③，由①得，即可判斷；對于④，由②利用分組求和即可得到.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以數列為等比數列,所以①正確;又因為，所以，因為，所以，所以,故③正確；由累加法得,所以②錯誤；由分組求和得,所以④正確.故選：C.4.已知數列是1為首項，2為公差的等差數列，是1為首項，2為公比的等比數列，設，，，則當時，的最大值為（）A.9 B.10 C.11 D.24【答案】A【解析】【分析】根據題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數列，∴,∵是以1為首項，2為公比的等比數列，∴,∴，∵，∴，解得，則當時，的最大值是9.故選：A.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列，分組求和法，意在考查學生對于數列公式方法的靈活運用.5.已知從1開始的連續奇數蛇形排列形成寶塔形數表，第一行為1，第二行為3，5，第三行為7，9，11，第四行為13，15，17，19，如圖所示，在寶塔形數表中位于第行，第列的數記為，比如，，，若，則（）A.64 B.65 C.71 D.72【答案】D【解析】【分析】先計算出是第幾個奇數，然后計算出在第幾行，根據行數是奇數行或者偶數行，確定的值，從而求得的值.【詳解】數列是首項為，公差為的等差數列，記其通項公式為，令，解得.寶塔形數自上而下，每行的項數是，即首項是，公差是的等差數列，記其通項公式為，其前項和，，所以是第行的數模糊.第行是奇數行，是從右邊開始向左邊遞增，也即從，即的第項，遞增到第項，也即從右往左第項.故從左往右是第項，所以.所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查新定義數列找規律，考查等差數列通項公式與前項和公式有關計算，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.6.近幾年，我國新能源汽車行業呈現一片生機勃勃的景象.電動汽車因其智能性與操控感越來越被人們接受與認可，尤其是其輔助駕駛功能.某品牌電動汽車公司為了更好地了解車主使用輔助駕駛功能的情況，進行了問卷調查，從中抽取了100位車主進行抽樣分析，分析100位車主在100次駕駛途中使用輔助駕駛功能的次數，得到如下頻率分布直方圖（60次以上的稱為經常使用輔助駕駛功能，則下列結論錯誤的是（）A.B.估計車主在100次駕駛途中使用輔助駕駛功能的次數的平均數低于70C.從這100位車主中隨機選取一位車主，則這位車主經常使用輔助駕駛功能的概率約為D.按照“經常使用輔助駕駛功能”的人與“不經常使用輔助駕駛功能”的人進行分層抽樣，從這100人中抽取12人，則在經常使用輔助駕駛功能的人中應抽取8人【答案】D【解析】【分析】根據頻率之和為1即可求解A，根據平均數的計算公式即可求解B，由頻率的計算即可求解C，利用抽樣比即可求解D.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可得，故，A正確，對于B，使用輔助駕駛功能的次數的平均數為，故B正確，對于C，使用輔助駕駛功能的次數不少于60的頻率為，故C正確，對于D，“經常使用輔助駕駛功能”的人與“不經常使用輔助駕駛功能”的頻率之比為，故從這100人中抽取12人，則在經常使用輔助駕駛功能的人中應抽人，故D錯誤，故選：D7.對某兩名高三學生在連續9次數學測試中的成績（單位：分）進行統計得到如下折線圖．下面關于這兩位同學的數學成績的分析中，正確的共有（）個．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，與正態曲線相近，故而平均成績為130分；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間內；③乙同學的數學成績與考試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學在這連續九次測驗中的最高分與最低分的差超過40分．A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】【詳解】試題分析：①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高分，平均成績為低于分，①錯誤；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間內，②正確；③乙同學的數學成績與考試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續九次測驗中的最高分大于分與最低分低于分，最高分與最低分的差超過分，故④正確.故選C．考點：1.折線圖的應用；2.線性相關及平均數和極差．8.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則A.P1?P2＝ B.P1＝P2＝ C.P1+P2＝ D.P1＜P2【答案】C【解析】【分析】將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數，屬于基礎題.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.在數列的相鄰兩項之間插入此兩項的和形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列．將數列1，2進行構造，第一次得到數列1，3，2；第二次得到數列1，4，3，5，2；…；第次得到數列，記，數列的前項和為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據數列的構造寫出前面幾次得到的新數列，尋找規律，構造等比數列，求出通項公式，再進行求和.【詳解】由題意，第一次得到數列：1，3，2，此時；第二次得到數列：1，4，3，5，2，此時；第三次得到數列：1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時；第四次得到數列：1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時.所以，故A對；因為.故，又，所以是以為首項，以3為公比的等比數列，所以，故C錯誤；所以，故D正確；設有個數相加，有個數相加，有個數相加，……，有個數相加，所以，，，……，，各式相加得：，所以，所以，故B正確.故選：ABD10.下列論述正確的是（）A.樣本相關系數時，表明成對樣本數據間沒有線性相關關系B.由樣本數據得到經驗回歸直線必過中心點C.用決定系數比較兩個回歸模型的擬合效果時，越大，表示殘差平方和越大，模型擬合效果越差D.研究某兩個屬性變量時，作出零假設并得到2×2列聯表，計算得，則有的把握能推斷不成立【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據相關系數的性質分析判斷；對于B：根據經驗回歸方程過樣本中心點分析判斷；對于C：根據決定系數的性質分析判斷；對于D：根據獨立性檢驗思想分析判斷.【詳解】對于選項A：樣本相關系數的絕對值越大，線性相關性越強，所以樣本相關系數時，表明成對樣本數據間沒有線性相關關系，故A正確；對于選項B：經驗回歸直線必過中心點，故B正確；對于選項C：在回歸分析中，越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，故C錯誤；對于選項D：因為，根據獨立性檢驗的思想可知有的把握能推斷不成立，故D正確；故選：ABD.11.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結論中正確的是（）A. B.C.事件B與事件相互獨立 D.，，是兩兩互斥的事件【答案】ABD【解析】【分析】直接利用條件概率公式求出，可以判斷A；利用貝葉斯公式求出，可以判斷B；利用可以判斷C；由題意直接分析出，，是兩兩互斥的事件，即可判斷D.【詳解】由題意分析可知：，，是兩兩互斥的事件.故D正確；，，.所以.故A正確；同理，可得，所以.，所以，故B正確；因為,而，所以,所以事件B與事件不是相互獨立事件，故C錯誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.現有甲、乙兩個盒子，甲盒有2個紅球和1個白球，乙盒有1個紅球和1個白球.先從甲盒中取出2個球放入乙盒，再從乙盒中取出2個球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個紅球”，事件B為“乙盒還剩1個紅球和1個白球”，則______，______.【答案】①.##②.【解析】【分析】利用條件概率與獨立事件的概率公式即可得解.【詳解】第一空：，第二空：從甲盒中取出的是一個紅球和一個白球，乙盒中還剩下兩個紅球或者兩個白球.則故答案為：；.13.某企業生產甲?乙兩種產品，現從一批產品中隨機抽取兩種產品各5件進行檢測，檢測量結果如下：甲779乙6由于表格被污損，數據a，b看不清，統計員只記得甲?乙兩種產品檢測數據的平均數和方差都相等，則__________.【答案】【解析】【分析】求出均值可得，再由方差相等可得，解方程組即可求解.【詳解】，可得①，，則，可得②，由①②可得，所以，故答案為：.14.已知數列滿足，，若表示不超過x的最大整數，則________．【答案】1【解析】【分析】根據迭代法可得利用裂項求和結合的定義即可求解.【詳解】由得時，，當時，也符合，所以，故，，故答案為：1四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某高校為調查學生喜歡“應用統計”課程是否與性別有關，隨機抽取了選修課程的55名學生，得到數據如下表：喜歡“應用統計”課程不喜歡“應用統計”課程總計男生20525女生102030總計302555（1）判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應用統計”課程與性別有關？（2）用分層抽樣的方法從喜歡統計課程的學生中抽取6名學生做進一步調查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．下面的臨界值表供參考：P(K2≥k0)0.150.100.050.2500100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：，其其中n＝a＋b＋c＋d)【答案】（1）有99.5%的把握認為喜歡“應用統計”課程與性別有關；（2）．【解析】【分析】（1）由題中列聯表計算卡方，根據數值計算做出判斷即可；（2）由分層抽樣確定抽取的6人中男生和女生的人數，再根據古典概型計算概率即可.【詳解】解：（1）由公式，所以有99.5%的把握認為喜歡“應用統計”課程與性別有關．（2）設所抽樣本中有m個男生，則，得，所以樣本中有4個男生，2個女生，分別記作B1，B2，B3，B4，G1，G2．從中任選2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，B4)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，(G1，G2)，共15個，其中恰有1個男生和1個女生的事件有(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(B3，G1)，(B3，G2)，(B4，G1)，(B4，G2)，共8個．所以恰有1個男生和1個女生的概率為．【點睛】方法點睛：古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.16.某次文化藝術展，以體現了中華文化的外圓內方經典的古錢幣造型作為該活動的舉辦標志，舉辦方計劃在入口處設立一個如下圖所示的造型現擬在圖中五個不同的區域栽種花卉，要求相鄰的兩個區域的花卉品種不一樣.現有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.（1）（i）共有多少種不同的栽種方法；（ⅱ）記“在③和⑤區域栽種不同的花卉”為事件A，“完成該標志花卉的栽種共用了4種不同的花卉”為事件，求；（2）設完成該標志的栽種所用的花卉品種數為，求的概率分布及期望.【答案】（1）（i）420種；（ⅱ）（2）分布列見解析，數學期望為【解析】【分析】（1）（i）規定涂色順序為：①→③→②→④→⑤，分類討論②和④是否同色，進而分析求解；（ⅱ）根據題意求，結合條件概率公式運算求解；（2）分析可知：可能的取值為3，4，5，結合（1）中結論求分布列和期望.【小問1詳解】（i）規定涂色順序為：①→③→②→④→⑤，若②和④同色，方法數為；若②和④不同色，方法數為；所以共有種不同的栽種方法；（ⅱ）由題意可知：，，所以.【小問2詳解】由題意可知：可能的取值為3，4，5，則有：，，，所以的概率分布列為345期望為.17.已知數列是公差不為0的等差數列，是和的等比中項.（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，求解即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法可求.【小問1詳解】設數列的公差為，則，又是和的等比