2025屆吉林省延邊朝朝鮮族自治州延吉市高三下學期數學模擬試題（二模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知（i為虛數單位），則（

）A．1 B． C．2 D．42．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．若，則（

）A． B． C． D．4．已知等比數列的前n項和為，且，，成等差數列，則（

）A．1 B．2 C．4 D．95．已知雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線夾角為，且點在上，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．或26．在數字通信中，信號是由數字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1：發送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發送信號0和1是等可能的，已知接收的信號為0，則發送的信號是1的概率為（

）A． B． C． D．7．已知圓臺的母線與下底面所成角的正弦值為，則此圓臺的表面積與其內切球（與圓臺的上下底面及每條母線都相切的球）的表面積之比為（

）A． B． C． D．8．已知函數的圖像與直線有3個不同的交點，則實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．在上單調遞減D．在上有2個零點10．藥物臨床試驗是驗證新藥有效性和安全性必不可少的步驟．在某新藥的臨床實驗中，志愿者攝入一定量藥物后，在較短時間內，血液中藥物濃度將達到峰值，當血液中藥物濃度下降至峰值濃度的20%時，需要立刻補充藥物．已知血液中該藥物的峰值濃度為120mg/L，為探究該藥物在人體中的代謝情況，研究人員統計了血液中藥物濃度y（mg/L）與代謝時間x（h）的相關數據，如下表所示：x012345678y120110103938268594738根據表中數據可得到經驗回歸方程，則（）A． B．變量y與x的相關系數C．當時，殘差為-1.5 D．代謝約10小時后才需要補充藥物11．已知定義在上的偶函數滿足，設在上的導函數為，則（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知二項式，則．13．若直線為曲線的一條切線，則的最大值為.14．三角形是常見的幾何圖形，除了我們已經學習的性質外，三角形還有很多性質，如：性質1：的面積；性質2：對于內任意一點P，有；性質3：內存在唯一一點P，使得．這個點P稱為的“勃羅卡點”，角α稱為的“勃羅卡角”．若的三邊長分別為1，1，，根據以上性質，可以計算出的“勃羅卡角”的正切值為．四、解答題（本大題共5小題）15．某學校舉行運動會，為了解學生參加跳繩比賽與學生的性別是否有關，對學生進行簡單隨機抽樣，得到如下數據：女男未參加跳繩比賽參加跳繩比賽(1)能否有的把握認為學生參加跳繩比賽與學生的性別有關(2)為了進一步了解女生的平時運動情況，利用分層抽樣的方法從這人中抽取人進行研究，老師甲從這人中隨機選取人，求至少有人參加跳繩比賽的概率．附：其中．16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面是的中點，作交于點．(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求平面與平面的夾角的大小．17．已知．(1)若在定義域上單調遞增，求a的取值范圍；(2)若有極大值m，求證：18．已知橢圓的一個焦點短軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)連線與軸交于點，過焦點的直線與橢圓交于兩點.（i）證明：點在以為直徑的圓外：（ii）在上是否存在點使得是等邊三角形.若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.19．如果數列滿足：存在實數，，使得對任意，有，則稱數列有界，其中為的下界，為的上界．(1)寫出數列無界的定義；(2)已知，，數列，的前項和分別為，，討論數列，的有界性：(3)兩個整數數列，滿足方程：，，證明：存在，使得．

答案1．【正確答案】A【詳解】依題意，，所以.故選A.2．【正確答案】B【詳解】由題意得，，，∴.故選B.3．【正確答案】D【分析】根據三角函數同角關系結合誘導公式求得，然后結合二倍角余弦公式，利用1的代換化弦為切代入計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選D.4．【正確答案】C【詳解】由，，成等差數列，得，則，即，因此等比數列的公比，所以.故選C.5．【正確答案】C【詳解】由雙曲線的兩條漸近線夾角為，可知的漸近線方程為或，由（其中為漸近線的斜率），解得或，若，如圖，令，點不可能在雙曲線上；或設雙曲線方程為：，則無解；若，設雙曲線方程為：，則，此時雙曲線方程為.故選C．6．【正確答案】B【詳解】設“發送的信號為0”，“接收到的信號為0”，則“發送的信號為1”，“接收到的信號為1”．由題意得，，，，，，．故選B.7．【正確答案】D【詳解】設上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為，設內切球與梯形兩腰分別切于點，可知，，由題意可知：母線與底面所成角為，則，可得，即，，可得，可知內切球的半徑，可得，，所以.故選D.8．【正確答案】D【詳解】如圖，作函數的大致圖像（實線），平移直線，由可得，，，故當時，直線與曲線相切；當時，直線經過點，且與曲線有2個不同的交點；當時，直線經過點，且與的圖像有3個不同的交點．由圖分析可知，當時，的圖像與直線有3個不同的交點．故選D.9．【正確答案】ACD【詳解】對于A，函數的最小正周期為，A正確；對于B，因，即的圖象關于直線不對稱，B錯誤；對于C，當時，，因正弦函數在上單調遞減，故在上單調遞減，C正確；對于D，當時，，由，得或，解得或，即在上有2個零點，D正確.故選ACD.10．【正確答案】AC【詳解】因為樣本中心點在直線上，所以，A選項正確；血液中藥物濃度y（mg/L）隨代謝時間x（h）的增大而減小，所以變量y與x的相關系數，B選項錯誤；當時，，殘差為，C選項正確；令，解得，D選項錯誤；綜上所述，應選AC．故選AC.11．【正確答案】ACD【詳解】由題得，所以即，所以是奇函數，故，又由得函數關于點對稱，，所以，故，所以，即函數是周期為6的函數，所以也是周期為6的函數，即，由求導得即，所以，對于A，，故A正確；對于B，由無法確定的值，故B錯誤；對于C，由上也是周期為6的函數，即，C正確；對于D，由得，且即，且即，且即，所以，所以，所以，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】解：令得，①，令得，②①②得，．13．【正確答案】/【詳解】設，則，設切點為，則，則切線方程為，整理可得，所以，解得，所以，所以，設，則，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以當時，取得最大值，所以的最大值為.14．【正確答案】【詳解】因為的三邊長分別為1，1，，不妨設,如上圖，由余弦定理得,得，故,在中,,用正弦定理得,得到，在中，,用正弦定理得,得到，用差角的正弦公式得：，得，故答案為.15．【正確答案】(1)有(2)【詳解】（1）由表格中的數據，得，所以有的把握認為學生參加跳繩比賽與學生的性別有關．（2）利用分層抽樣的方法從女生這人中抽取人，則未參加跳繩比賽的有人，參加跳繩比賽的有人，老師甲從這人中隨機選取人，記“至少有人參加跳繩比賽”為事件，則，所以至少有人參加跳繩比賽的概率是.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設，則，，設平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面.（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）由（1）知，，且，設平面的法向量為，則，取，得，，而，則，即，則的一個法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為.17．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1）函數的定義域為，可得，令，所以，因為時，，所以單調遞減，時，，所以單調遞增，所以，因為在定義域上單調遞增，所以恒成立，所以，即；（2）由（1）可知，當有兩個不同的零點時，，此時，且時，時，所以，則，，其中，因為時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以為的極大值點，則，且，設，則，所以在單調遞增，所以，即.18．【正確答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）存在，或【詳解】（1）由題意得，所以，則橢圓的標準方程為，（2）（i）由題意得，，當直線斜率為0時，此時以為直徑的圓的方程為，顯然在此圓外；當直線斜率不為0時，設直線的方程為，由可得，，恒成立，設，則故在以為直徑的圓外.（ii）當斜率不存在時，，此時到距離為1，故不存在等邊三角形，當斜率為0時，易得不存在等邊三角形，當斜率存在且不為0時，設直線的方程為，設中點為，又，由（i）得，，由于在直線上，所以直線的斜率為，所以.，因為是等邊三角形，所以，則解得，即，故直線的方程為或.19．【正確答案】(1)見解析(2)有界；無界(3)證明見解析【詳解】（1）；（2