第=page11頁，共=sectionpages11頁廣東省深圳市福田外國語高級中學2024-2025學年高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在等比數列{an}中，a2=2，aA.?32 B.?23 C.2.(2x2?1A.第二項 B.第三項 C.第四項 D.第五項3.甲乙丙三名高一學生都已選擇物理、化學兩科作為自己的高考科目，三人獨自決定從政治、歷史、地理、生物、技術中任選一科作為自己的第三門高考選考科目，則不同的選法種數為(

)A.A53 B.3C51 4.已知隨機變量X的分布列如表，若E(X)=13，則D(X)=X?101Pab1A.13 B.23 C.59 5.已知數列{an}為等比數列，且a1=1，a9=16，設等差數列{bn}的前A.?36或36 B.?36 C.36 D.186.某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為(

)A.25 B.35 C.127.若函數f(x)=x2?ax+lnx在區間(1,e)上單調遞增，則a的取值范圍是A.[3,+∞) B.(?∞,3] C.[3,e2+1]8.函數y=f(x)的導數y=f′(x)仍是x的函數，通常把導函數y=f′(x)的導數叫做函數的二階導數，記作y=f′′(x)，類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三階導數的導數叫做四階導數….一般地，n?1階導數的導數叫做n階導數，函數y=f(x)的n階導數記為y=f(n)(x)，例如y=ex的n階導數(exA.49+249 B.49 C.50 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖，這是函數f(x)的導函數的圖象，則(

)A.f(x)在x=2處取得極大值

B.x=4是f(x)的極小值點

C.f(x)在(2,4)上單調遞減

D.f(3)是f(x)的極小值

10.已知(1+x)n的展開式中第3項與第7項的二項式系數相等，則(

)A.n=8

B.(1+x)n的展開式中x2項的系數為56

C.奇數項的二項式系數和為128

D.(1+x?y11.如圖，P1是一塊半徑為1的半圓形紙板，在P1的左下端剪去一個半徑為12的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓(其直徑為前一個剪掉半圓的半徑)得圖形P3，P4，…，Pn，…，記紙板Pn的周長為LA.L2=32π+1 B.S4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知某地市場上供應的一種電子產品中，甲廠產品占80%，乙廠產品占20%，甲廠產品的合格率是75%，乙廠產品的合格率是80%，則從該地市場上買到一個合格產品的概率是______．13.在等差數列{an}中，a1=2，公差為d，且a2，a3，14.已知函數f(x)的定義域為R，f(1)=?2，對任意x∈R，f′(x)>3恒成立，則f(x)>3x?5的解集為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數f(x)=x3?ax2?bx+10在x=2處取得極值?2．

(1)求a，b的值；

(2)求曲線16.(本小題12分)

已知數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3an?3(n∈N?).

(1)求數列{17.(本小題12分)

猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．規則如下：參賽選手按第一關，第二關，第三關的順序依次猜歌名闖關，若闖關成功則依次分別獲得公益基金1000元，2000元，3000元，當選手闖過一關后，可以選擇游戲結束，帶走相應公益基金；也可以繼續闖下一關，若有任何一關闖關失敗，則游戲結束，全部公益基金清零．假設某嘉賓第一關，第二關，第三關闖關成功的概率分別是34，23，12，該嘉賓選擇繼續闖第二關、第三關的概率分別為35,12．

(1)求該嘉賓獲得公益基金1000元的概率；18.(本小題12分)

已知函數f(x)=a(ex+a)?x．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)證明：當a>0時，19.(本小題12分)

如果數列{an}滿足：a1+a2+?+an=0且|a1|+|a2|+?+|an|=3(n≥2,n∈N?)，則稱數列為“n階萬物數列”．

(1)若某“答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵等比數列{an}中，a2=2，a5=?274，

∴q3=a2.【答案】C

【解析】解：因為展開共有7項，且二項式系數對稱分布且先增后減，

故(2x2?1x)6的展開式中，(2x2?1x)6的展開式中，Tk+1項的二項式系數為C6k3.【答案】D

【解析】解：根據題意，甲乙丙三名高一學生需要在5門科目中任選一科作為自己的第三門高考選考科目，

即每人有5種選法，則3人有5×5×5=53種不同的選法；

故選：D．

根據題意，分析可得每人有3種選法，由分步計數原理計算可得答案．4.【答案】C

【解析】解：由題意可得：a+b+12=1，E(X)=?a+0+12×1=13，

解得a=16，b=13，

D(X)=16×(?1?5.【答案】C

【解析】解：{an}為等比數列，設其公比為q，a9=a1q8，q8=16，q4=4，則a5=a1q4=4，6.【答案】A

【解析】解：設事件A表示“男生甲被選中”，事件B表示“女生乙被選中”，

則P(A)=C11C52C63=12，P(AB)=C22C41C67.【答案】B

【解析】解：依題意f′(x)=2x?a+1x≥0在區間(1,e)上恒成立，

即a≤2x+1x在區間(1,e)上恒成立，

令g(x)=2x+1x(1<x<e)，g′(x)=2?1x2=2x2?1x2=(2x+1)(2x?1)x2>0，

g(x)8.【答案】D

【解析】解：f′(x)=ex+xex?2sin2x=(x+1)ex?2sin2x，f″(x)=ex+(x+1)ex?4cos2x=(x+2)ex?4cos2x，9.【答案】ABC

【解析】解：根據f′(x)的圖象可知，當x<?1時，導函數f′(x)<0，

當?1<x<2時，f′(x)>0，當x>4時，f′(x)>0，當2<x<4時，f′(x)<0，

因此函數f(x)在區間[?1,2]上單調遞增，在區間(?∞,?1]上單調遞減，

在區間[4,+∞)上單調遞增，[2,4]上單調遞減，

因此函數f(x)在x=2處取得極大值，在x=?1和x=4處取得極小值，因此A、B、C正確；

因為3∈[2,4]，且f(x)在[2,4]上單調遞減，x=3處導函數未變號，不是極值點，

所以f(3)不是f(x)的極小值，故D錯誤．

故選：ABC．

由導函數f′(x)的圖象，可判斷f(x)在對應區間上的單調性與極值，對四個選項逐一判斷可得答案．

本題考查導數的綜合應用，屬于中檔題．10.【答案】AC

【解析】解：因為(1+x)n的展開式通項為Tk+1=Cnkxk=Cnkxk，

所以(1+x)n的展開式的第k+1項的二項式系數為Cnk，

所以Cn2=Cn6，解得n=8，A正確；x2的系數為C82=28，B錯誤；

奇數項的二項式系數和為2n?1=27=128，C正確；

根據二項式定理，(1+x?y2)8表示8個(1+x?y2)相乘，

所以(1+x?y2)中有11.【答案】AC

【解析】解：根據題意，結合圖形分析可得：紙板Pn?1相較于紙板Pn，剪掉了半徑為12n?1的半圓，

對于數列{Ln}，則有Ln?Ln?1=12π×22n?1?12n?1×2=π2n?1?12n?2，則C正確；

由于L1=π+2，則L2=L1?1+12×2π×12=12.【答案】0.76

【解析】解：設“買到的產品是甲廠產品”為事件A，“買到的產品是乙廠產品”為事件B，

所以P(A)=0.8，P(B)=0.2，

記“從該地市場上買到一個合格產品”為事件C，

因為甲廠產品的合格率是75%，所以在買到甲廠產品的條件下，產品合格的概率P(C|A)=0.75，

又因為乙廠產品的合格率是80%，所以在買到乙廠產品的條件下，產品合格的概率P(C|B)=0.8，

根據全概率公式P(C)=P(AC)+P(BC)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)，

所以P(C)=0.8×0.75+0.2×0.8=0.6+0.16=0.76．

故答案為：0.76．

利用全概率公式求解從該地市場上買到一個合格產品的概率，需要先確定不同廠家產品的概率以及在各廠家產品條件下買到合格產品的概率，再根據全概率公式計算最終結果．

本題考查全概率公式，屬于基礎題．13.【答案】2

【解析】解：等差數列{an}中，a1=2，公差為d，且a2，a3，a4+1成等比數列，

可得a32=a2(a4+1)，

即為(2+2d)2=(2+d)(2+3d+1)，

化為d2?d?2=0，

解得d=2或?1，

若d=2，即有4，6，9成等比數列；

若d=?114.【答案】(1,+∞)

【解析】解：令函數g(x)=f(x)?(3x?5)，因此導函數g′(x)=f′(x)?3>0，

因此函數g(x)在R上單調遞增，

又根據g(1)=f(1)+2=0，因此當x>1時，函數g(x)>0，所以f(x)>3x?5，

因此函數f(x)>3x?5的解集為(1,+∞)．

故答案為：(1,+∞)．

令g(x)=f(x)?(3x?5)，得到g′(x)>0，得出g(x)在R上單調遞增，再由g(1)=0，進而求得不等式的解集，得到答案．

本題考查導數的綜合應用，屬于中檔題．15.【答案】a=1，b=8；

7x+y?9=0．

【解析】解：(1)由函數f(x)=x3?ax2?bx+10，可得f′(x)=3x2?2ax?b，

因為函數f(x)在x=2處取得極值?2，

可得f′(2)=3×4?4a?b=0f(2)=8?4a?2b+10=?2，解得a=1，b=8，

當a=1，b=8時，f′(x)=3x2?2x?8=(x?2)(3x+4)，

當x<?43時，f′(x)>0；當?43<x<2時，f′(x)<0；當x>2時，f′(x)>0，

所以f(x)在(?∞,?43),(2,+∞)上單調遞增，在(?43,2)上單調遞減，

當x=2時，f(x)在x=2處取得極小值?2，符合題意，所以a=1，b=8；

(2)由(1)知：f(x)=x3?x2?8x+10，且f′(x)=3x2?2x?8，

可得f′(1)=3?2?8=?7且f(1)=2，

此時切線方程為y?2=?7×(x?1)，即7x+y?9=0；

綜上，曲線y=f(x)在(1,f(1))16.【答案】解：(1)當n=1時，2S1=2a1=3a1?3，解得a1=3，

當n≥2時，2Sn?1=3an?1?3，

則2Sn?2Sn?1=2an=(3an?3)?(3an?1?3)，即an=3an?1，

又a1≠0，則an≠0，

∴anan?1=3，故{a【解析】(1)利用an、Sn的關系可得an=3an?1，即可知{an}為等比數列，寫出等比數列通項公式即可．

(2)由(1)17.【答案】解：(1)由題設，嘉賓獲得公益基金1000元的事件為第一關成功并放棄第二關，

所以P(X=1000)=34×(1?35)=310；

(2)記A=“第一關成功且獲得公益基金為零”，A1=“第一關成功第二關失敗”，A2=“前兩關成功第三關失敗”，

則A1，A2互斥，且A=A1+A2，

又P(A1)=

X

0

1000

3000

6000

P

19

3

3

3所以E(X)=0×1940【解析】(1)由嘉賓獲得公益基金1000元的事件為第一關成功并放棄第二關，應用獨立事件乘法公式求概率即可．

(2)由題設確定基本事件，進而應用獨立事件乘法公式、互斥事件加法求概率．

(3)由嘉賓獲得的公益基金總金額X可能值為{0,1000,3000,6000}，并求出對應概率，即可得分布列，進而求期望．

本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)因為f(x)=a(ex+a)?x，定義域為R，f′(x)=aex?1，

當a≤0時，f′(x)=aex?1<0恒成立，所以f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，令f′(x)=aex?1=0，解得x=?lna，

當x<?lna時，f′(x)<0，則f(x)在(?∞,?lna)上單調遞減；

當x>?lna時，f′(x)>0，則f(x)在(?lna,+∞)上單調遞增；

綜上：當a≤0時，f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，f(x)在(?∞,?lna)上單調遞減，f(x)在(?lna,+∞)上單調遞增．

證明：(2)由(1)得，f(x)min=f(?lna)=a(e?lna+a)+lna=1+a2+lna，

要證f(x)>2lna+32，即證1+a2+lna>2lna+32，即證a2?12?lna>0恒成立，

令g(a)=a【解析】(1)先求導，再分類討論a≤0與a>0兩種情況，結合導數與函數單調性的關系即可得解；

(2)結合(1)中結論，將問題轉化為a2?12?lna>0的恒成立問題，構造函數g(a)=19.【答案】34，?34，34，?34，或?34，34，?34，3【解析】解：(1)設等比數列{an}的公比為q，顯然q≠1．

由a1+a2+a3+a4=0，可得a1(1?q4)1?q=0，解得q=?1．

由|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=3，