第1頁/共1頁2025北京清華附中朝陽學校高二（下）期中數學（清華附中朝陽學校望京學校）2025年5月一、單選題（每小題5分，共50分）1.已知函數，則的值為（）A. B. C. D.2.某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從甲、乙兩地區分別隨機調查了100個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，分別得到甲地區和乙地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖．若甲地區和乙地區用戶滿意度評分中位數分別為，，平均數分別為，，則（）A.， B.， C.， D.，3.五一放假，甲、乙、丙去廈門旅游的概率分別是，，，假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去廈門旅游的概率為（）A. B. C. D.4.已知函數的導函數，其圖象如圖所示，則以下選項中正確的是（）A.和是函數的兩個零點B.函數的單調遞增區間為C.函數在處取得極小值，在處取得極大值D.函數的最大值為，最小值為5.在的展開式中，若僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的項是第（）項.A. B. C.2或3 D.3或46.為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B.C. D.7.唐老師有語文，數學等6本不同學科的練習冊，平均分給3個同學，若甲同學不拿語文，則不同的分配方法數為（）A.360 B.180 C.90 D.608.已知函數，那么“”是“在上為增函數”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.設函數是R上可導的偶函數，且，當，滿足，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】C10.丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設函數在上的導函數為，在上的導函數為，若在上恒成立，則稱函數在上為“凸函數”，以下四個函數在上不是凸函數的是（）A. B.C. D.二、填空題（每小題5分，共30分）11.在的二項展開式中，常數項為________．（用數字作答）12.已知隨機變量服從標準正態分布，對實數，若，則___________.13.某同學參加門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優秀成績的概率為，第二?第三門課程取得優秀成績的概率分別為，且不同課程是否取得優秀成績相互獨立.記為該生取得優秀成績的課程數，其分布列為：0123則的值為___________；則的值為___________.14.某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規模的種植量是10萬千克，每種植1千克蓮藕，成本增加1元.種植x萬千克蓮藕的銷售額（單位：萬元）是，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕______萬千克.15.在電影《哪吒之魔童鬧海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人參加一場仙法比試，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必須相鄰，且太乙真人不能站在兩端，那么共有_______種不同的站法.16.對于偶函數，下列結論中正確的是______①函數在處的切線斜率為；②，使得；③若，則；④若，都有成立，則m的最大值為.三、解答題（共5個小題，滿分70分）17.在抗擊新冠肺炎疫情期間，很多人積極參與了疫情防控的志愿者活動.各社區志愿者服務類型有：現場值班值守，社區消毒，遠程教育宣傳，心理咨詢（每個志愿者僅參與一類服務）.參與A，B，C三個社區的志愿者服務情況如下表：社區社區服務總人數服務類型現場值班值守社區消毒遠程教育宣傳心理咨詢A10030302020B120403520251）從上表三個社區的志愿者中任取1人，求此人來自A社區，并且參與社區消毒工作的概率；（2）從上表三個社區的志愿者中各任取1人調查情況，以X表示負責現場值班值守的人數，求X的分布列；（3）已知A社區心理咨詢滿意率為0.85，B社區心理咨詢滿意率為0.95，C社區心理咨詢滿意率為0.9，“，，”分別表示A，B，C社區的人們對心理咨詢滿意，“，，”分別表示A，B，C社區的人們對心理咨詢不滿意，寫出方差，，的大小關系.（只需寫出結論）18.已知函數．（1）若函數在處取得極小值，求實數，的值；（2）求在上的值域；（3）已知，且函數的極大值是，討論函數的零點個數．19.在新冠病毒疫情防控期間，北京市中小學開展了“優化線上教育與學生線下學習相結合”的教育教學實踐活動.為了解某區教師對五類線上教育軟件的使用情況每位教師都使用這五類教育軟件中的某一類且每位教師只選擇一類教育軟件.，從該區教師中隨機抽取了人，統計數據如下表，其中，.教育軟件類型選用教師人數假設所有教師選擇使用哪類軟件相互獨立.（1）若某校共有名教師，試估計該校教師中使用教育軟件或的人數；（2）從該區教師中隨機抽取人，估計這人中至少有人使用教育軟件的概率；（3）設該區有名教師，從中隨機抽取人，記該教師使用教育軟件或的概率估計值為；該區學校有名教師，其中有人使用教育軟件，人使用教育軟件，從學校中隨機抽取人，該教師使用教育軟件或的概率值為；從該區其他教師除學校外.中隨機抽取人，該教師使用教育軟件或的概率估計值為.試比較，和之間的大小.結論不要求證明.20.已知函數．（1）若曲線在處的切線與軸平行，求的值；（2）討論函數的單調性；（3）若函數有兩個極值點，，證明：．21.已知數列滿足，，數列的前項和記為.（1）寫出的最大值和最小值；（2）若，求的值；（3）是否存在數列，使得？如果存在，寫出此時的值；如果不存在，說明理由.

參考答案一、單選題（每小題5分，共50分）1.【答案】B【分析】由導數的四則運算即可求解.【詳解】，所以，故選：B2.【答案】C【分析】利用頻率分布直方圖分別求出甲地區和乙地區用戶滿意度評分的中位數和平均數，由此能求出結果．【詳解】由頻率分布直方圖得：甲地區，的頻率為：，，的頻率為，甲地區用戶滿意度評分的中位數，甲地區的平均數．乙地區，的頻率為：，，的頻率為：，乙地區用戶滿意度評分的中位數，乙地區的平均數．，．故選：C．3.【答案】B【分析】根據相互獨立事件、對立事件概率計算公式來求得正確答案.【詳解】記事件為“至少有1人去廈門旅游”，其對立事件為“三人都不去廈門旅游”，由獨立事件的概率公式可得，由對立事件的概率公式可得.故選：B4.【答案】C【分析】由的正負性可以確定函數的單調性以及極值點，可判斷BC；但因無具體的解析式，故無法確定具體的函數值，故AD無法確定.【詳解】由圖象可知，或時，，時，，則在和上單調遞減，在上單調遞增，則當時取極小值，當時取極大值，故B錯誤，C正確，由圖只能確定函數的單調性以及極值點，無法確定具體的函數值，故AD無法確定.故選：C5.在的展開式中，若僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最大的項是第（）項.A. B. C.2或3 D.3或4【答案】D【分析】首先根據二項式系數最大值問題求，再根據第項的系數大于前一項，也大于后一項，根據不等式，即可求解.【詳解】由的展開式中，僅第5項的二項式系數最大，得展開式共9項，則，的展開式的通項公式，設展開式中系數最大項是，則，即，解得，而，因此或，，，所以展開式中系數最大的項是第3或4項.故選：D.6.【答案】B【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結果.【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.7.【答案】D【分析】分三步，首先甲從除語文練習冊外的本書中任意拿兩本，再乙從剩下的四本書中拿兩本，最后丙拿，按照分步乘法計數原理計算可得.【詳解】不妨記三位同學分別為甲、乙、丙，首先甲從除語文練習冊外的本書中任意拿兩本，則有種；再乙從剩下的四本書中拿兩本，則有種；最后將剩下的兩本給丙即可，按照分步乘法計數原理可知一共有種不同的分配方法.故選：D8.【答案】A【分析】對函數進行求導得，進而得時，，在上為增函數，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因為的定義域是，所以，當時，，在上為增函數.所以在上為增函數，是充分條件；反之，在上為增函數或，不是必要條件.故選：A.9.【答案】C【分析】先構造函數，再利用函數單調性解不等式.【詳解】令，∵函數在上是可導的偶函數，∴在上也是偶函數又當時，，∴，∴，∴在上是增函數∵，由得即不等式轉化為，∴x不為0時有，而x為0時，不等式顯然成立，∴不等式的解集為.故選：C.10.【答案】D【分析】利用求導法則和基本函數的導數，再根據題設定義，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，則，，因為，所以在區間上恒成立，所以選項A不正確，對于選項B，因為，則，，易知在區間上恒成立，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，則，，易知易知在區間上恒成立，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，則，，則在上不是凸函數，所以選項D正確，故選：D.二、填空題（每小題5分，共30分）11.【答案】【分析】利用二項式定理求其通項，即可計算其常數項.【詳解】通項為，故當時，常數項為.故答案為：12.【答案】【分析】由正態分布的對稱性即可得出答案.【詳解】隨機變量服從標準正態分布，對實數，若，所以，則.故答案為：.13.【答案】①.##②.【分析】結合概率和為，可得的值，由列方程，從而求得.【詳解】由分布列的性質有，解得；依表中的可知，，解得.所以.故答案為：；14.【答案】5【分析】根據題設有利潤且，再應用導數求其最值，即可得.【詳解】由題意，利潤且，所以，則，當時，，即在上單調遞增，當時，，即在上單調遞減，所以萬千克，利潤最大.故答案為：515.【答案】24【分析】根據題意，結合哪吒和敖丙的站法，分類討論，確定太乙真人的站法，進而得到答案.【詳解】若哪吒和敖丙站第2、3位置，則太乙真人再第4位置，余下的兩人站余下的位置，此時有種站法；同理，若哪吒和敖丙再第3、4位置，此時有種站法；若哪吒和敖丙站在第1、2位置，則太乙真人再第3或第4位置，余下的兩人站余下的位置，此時有種站法；同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此時也有種站法，綜上可得，共有種站法.故答案為：24.16.【答案】①④【分析】根據奇偶性得出的值，再求導即可判斷①；構造，研究其最值即可判斷②；構造，判斷在上的單調性即可判斷③④.【詳解】因為奇函數，為偶函數，則為奇函數，得，經檢驗成立，故，，得，故①正確；令，則，則在上單調遞減，則，即，即，故②錯誤；令，則，則在上單調遞減，則，，即在上單調遞減，故③錯誤；因在上單調遞減，則，因，都有成立，則，故④正確.故答案為：①④三、解答題（共5個小題，滿分70分）17.【答案】（1）（2）詳見解析（3）【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先求出A，B，C三個社區負責現場值班值守的概率，得出X的所有可能取值，并計算出相應的概率，即可得出分布列；（3）根據方差的意義進行判斷即可.【詳解】解：（1）記“從上表三個社區的志愿者中任取1人，此人來自A社區，并且參與社區消毒工作”為事件D，.所以從上表三個社區的志愿者中任取1人，此人來自A社區，并且參與社區消毒工作的概率為.（2）從上表三個社區的志愿者中各任取1人，由表可知：A，B，C三個社區負責現場值班值守的概率分別為，，.X的所有可能取值為0，1，2，3.，，，.X的分布列為：X0123P（3）18.【答案】（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【分析】（1）求導，由題意可知，解得a，b，并驗證即可；（2）求導，分，，三種情況討論，分別求出的單調區間，作出圖象，數形結合討論即可求解；（3）由（2）可求出函數的極值，通過討論極值即可判斷零點個數.【小問1詳解】因為，所以，因為函數在處取得極小值，所以，解得，此時，由，得到或，當或時，，當時，，則在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取到極小值，符合題意.所以.【小問2詳解】，令，則或，若時，恒成立，此時在上單調遞增，則在上單調遞增，又，，此時在上的值域為，因為當時，，由，得到或，當時，，由，得到，即，解得或，若，當或時，，當時，，所以的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，不妨假設，其圖象如圖1，當，此時；當-13≤-在上的最小值為，最大值為；當-13>-又，所以在上的最小值為，最大值為，當-13>-a6a3≤43≤當-13>-a643>a2，即時，在若，當或時，，當時，，單調遞減.所以的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，不妨假設，其圖象如圖2，當，此時；當-13≤a2在上的最小值為，最大值為，當，此時；當a2<-13≤a343>-a6，即當-13>a3所以在上的最小值為，最大值為，當-13>a343>-a6，即綜上，當時，在上的值域為；當時，在上的值域為；當時，在上的值域為；當時，在上的值域為；當時，在上的值域為；當時，在上的值域為；當時，在上的值域為.【小問3詳解】由（2）可知，當，的單調遞增區間為，；單調遞減區間為，當時，函數取到極大值，即，所以，當時，函數取到極小值，即，又當時，，當時，，所以當，即時，有1個零點；當，即時，有2個零點；當，即時，有3個零點.19.【答案】（1）人；（2）；（3）．【分析】（1）用樣本頻率估計總體頻率計算；（2）用樣本頻率估計概率，求出抽取一名教師，使用的概率為，記被抽取的人中使用軟件的人數為，則.所求概率為，由二項分布概率計算；（3）由已知得，設該區有名教師中，使用教育軟件或的人數為，則，，比較的大小后再與比較．【詳解】解：（1）從表格數據可知，，則，所以樣本中教師使用教育軟件或的人數為人，故估計該校教師中使用教育軟件或的人數為人.（2）設事件為“從該區教師中隨機抽取人，至少有人使用教育軟件”.由題意，樣本中的名教師使用軟件的頻率為.用頻率估計概率，從該區教師中隨機抽取一名教師，估計該教師使用教育軟件的概率為.記被抽取的人中使用軟件的人數為，則.所以，，所以.（3）由已知得，設該區有名教師中，使用教育軟件或的人數為，則，，，由，，所以，，所以，，，所以.20.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據條件，利用導數的幾何意義，即可求解；（2）對求導，得，令，再對討論，利用導數與函數單調性間的關系，即可求解；（3）根據條件，利用