組合數學基本的試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.下列哪些是組合數C(n,k)的性質？

（A）C(n,k)=C(n,n-k)

（B）C(n,0)=1

（C）C(n,k)>C(n,k-1)

（D）C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

2.在一個5位數的排列中，要求第一位和最后一位不能相同，這樣的排列共有多少種？

（A）5!（B）4!（C）5!-4!（D）5!-5

3.某班級有20名學生，從中任選5名學生參加比賽，不考慮順序，有多少種不同的選法？

（A）C(20,5)（B）P(20,5)（C）5!（D）20!

4.在一個3x3的拉丁方陣中，每個數字從1到9各出現一次，不同的拉丁方陣共有多少種？

（A）9!（B）9!/(3!)^2（C）9!/3!（D）9!/(3!*2!)

5.某班級有5名男生和5名女生，要從中選出2名男生和3名女生參加活動，不同的選法共有多少種？

（A）C(5,2)*C(5,3)（B）P(5,2)*P(5,3)（C）C(10,5)（D）P(10,5)

6.在一個4位數的組合中，第一位和最后一位不能為0，這樣的組合共有多少種？

（A）4!（B）4!-3!（C）9*9*8*8（D）9*9*8*7

7.下列哪些是排列數P(n,k)的性質？

（A）P(n,k)=P(n,n-k)

（B）P(n,0)=1

（C）P(n,k)>P(n,k-1)

（D）P(n,k)=C(n,k)*k

8.從10本書中任選3本，不同的選法共有多少種？

（A）C(10,3)（B）P(10,3)（C）10*9*8（D）C(10,3)*3!

9.在一個4位數的排列中，要求第一位和最后一位不能相同，這樣的排列共有多少種？

（A）5!（B）4!（C）5!-4!（D）5!-5

10.某班級有5名男生和5名女生，要從中選出2名男生和3名女生參加活動，不同的選法共有多少種？

（A）C(5,2)*C(5,3)（B）P(5,2)*P(5,3)（C）C(10,5)（D）P(10,5)

姓名：____________________

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.組合數C(n,k)表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數，其值等于排列數P(n,k)除以k!。（×）

2.當n=k時，組合數C(n,k)等于排列數P(n,k)。（√）

3.從n個不同元素中取出k個元素的組合數C(n,k)等于從n個不同元素中取出k個元素的排列數P(n,k)。（×）

4.當k=0時，組合數C(n,k)恒等于1。（√）

5.任何兩個不同的組合數C(n,k)和C(n,k+1)都互不相同。（×）

6.在一個n×n的拉丁方陣中，每個數字從1到n各出現一次，不同的拉丁方陣共有n!種。（×）

7.在一個4位數的排列中，如果第一位和最后一位相同，那么這樣的排列數是4!。（×）

8.從n個不同元素中取出k個元素的組合數C(n,k)等于從n個不同元素中取出k個元素的排列數P(n,k)除以k!。（√）

9.任何兩個不同的組合數C(n,k)和C(n,k-1)都互不相同。（×）

10.從n個不同元素中取出k個元素的組合數C(n,k)等于從n個不同元素中取出k個元素的排列數P(n,k)除以k!，這個性質也稱為組合數的對稱性質。（√）

姓名：____________________

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述組合數C(n,k)的計算公式，并解釋其含義。

2.舉例說明什么是拉丁方陣，并解釋其特點。

3.如何判斷一個排列是否是拉丁方陣？

4.簡述排列數P(n,k)和組合數C(n,k)之間的關系。

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四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述組合數學中“鴿巢原理”的應用及其解題步驟。

2.論述組合數學在現實生活中的應用，并結合具體實例進行分析。

姓名：____________________

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.從5個不同的城市中選擇3個城市進行旅游，不考慮順序，共有多少種不同的選擇方法？

（A）C(5,3)（B）P(5,3)（C）5!/(3!*2!)（D）5!/3!

2.在一個4位的二進制數中，至少有1個0的數的個數是多少？

（A）2^4（B）2^4-1（C）2^4-2^3（D）2^4-2^4

3.一個班級有10名學生，從中隨機選擇3名學生參加比賽，不考慮順序，有多少種不同的選法？

（A）C(10,3)（B）P(10,3)（C）10*9*8（D）10!

4.在一個5位數的排列中，第一位和最后一位不能為0，這樣的排列共有多少種？

（A）5!（B）4!（C）5!-4!（D）9*9*8*8

5.下列哪個數是組合數C(5,3)的值？

（A）5（B）10（C）15（D）20

6.從一個由A、B、C、D四個字母組成的字符串中，選取2個字母作為密碼，不考慮順序，共有多少種不同的密碼？

（A）C(4,2)（B）P(4,2)（C）4!/(2!*2!)（D）4!

7.在一個4位數的排列中，第一位和最后一位相同，這樣的排列共有多少種？

（A）4!（B）4!-3!（C）4!-4!（D）4!-5

8.一個班級有20名學生，從中任選5名學生參加比賽，不考慮順序，有多少種不同的選法？

（A）C(20,5)（B）P(20,5)（C）20!/(5!*15!)（D）20!

9.下列哪個數是排列數P(5,3)的值？

（A）5（B）10（C）15（D）20

10.從一個由A、B、C、D四個字母組成的字符串中，選取2個字母作為密碼，不考慮順序，共有多少種不同的密碼？

（A）C(4,2)（B）P(4,2)（C）4!/(2!*2!)（D）4!

試卷答案如下：

一、多項選擇題

1.ABD

解析思路：選項A是組合數的對稱性質，選項B是組合數的基本性質，選項C是錯誤的，因為C(n,k)≤C(n,k-1)，選項D是組合數和排列數的關系。

2.C

解析思路：這是一個排列問題，但由于第一位和最后一位不能相同，所以實際上是4個位置選擇2個位置放置相同的數字，然后剩下的3個位置放置不同的數字。

3.A

解析思路：這是一個組合問題，從20個學生中選出5個，不考慮順序，所以使用組合數C(20,5)。

4.B

解析思路：拉丁方陣中每個數字只出現一次，所以是9!除以每個數字重復的次數，即(3!)^2。

5.A

解析思路：這是一個組合問題，先從5名男生中選2名，再從5名女生中選3名，所以是C(5,2)乘以C(5,3)。

6.D

解析思路：第一位和最后一位不能為0，所以第一位有9種選擇（1-9），最后一位也有9種選擇，中間兩位有8種選擇，所以是9*9*8*8。

7.ABD

解析思路：選項A是組合數的基本性質，選項B是組合數的基本性質，選項C是錯誤的，因為C(n,k)≤C(n,k-1)，選項D是組合數和排列數的關系。

8.A

解析思路：這是一個組合問題，從10本書中任選3本，不考慮順序，所以使用組合數C(10,3)。

9.C

解析思路：這是一個排列問題，由于第一位和最后一位不能相同，所以實際上是4個位置選擇2個位置放置相同的數字，然后剩下的3個位置放置不同的數字。

10.A

解析思路：這是一個組合問題，先從5名男生中選2名，再從5名女生中選3名，所以是C(5,2)乘以C(5,3)。

二、判斷題

1.×

解析思路：組合數C(n,k)等于排列數P(n,k)除以k!，而不是等于P(n,k)。

2.√

解析思路：當n=k時，C(n,k)=C(n,n-k)=1，因為從n個元素中取出k個元素（等于n-k個元素）只有一種方法。

3.×

解析思路：組合數C(n,k)和C(n,k+1)可能相同，例如C(5,2)=C(5,3)=10。

4.√

解析思路：當k=0時，C(n,0)=1，因為從n個元素中不取任何元素只有一種方法。

5.×

解析思路：組合數C(n,k)和C(n,k-1)可能相同，例如C(5,2)=C(5,3)=10。

6.×

解析思路：拉丁方陣的特點是每個數字只出現一次，所以不是n!。

7.×

解析思路：如果第一位和最后一位相同，那么剩下的3個位置可以任意排列，所以是4!。

8.√

解析思路：組合數C(n,k)等于排列數P(n,k)除以k!，這是組合數的定義。

9.×

解析思路：組合數C(n,k)和C(n,k-1)可能相同，例如C(5,2)=C(5,3)=10。

10.√

解析思路：組合數C(n,k)等于排列數P(n,k)除以k!，這是組合數的對稱性質。

三、簡答題

1.組合數C(n,k)的計算公式是C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)，它表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數。其含義是從n個不同元素中選擇k個元素的不同組合方式的總數。

2.拉丁方陣是一個n×n的方陣，其中包含從1到n的n個不同的數字，每個數字在每個行和列中只出現一次。特點是對角線上的數字相同，且每個數字在每一行和每一列中只出現一次。

3.判斷一個排列是否是拉丁方陣的方法是檢查每一行和每一列是否都包含從1到n的數字，并且每個數字只出現一次。

4.排列數P(n,k)和組合數C(n,k)之間的關系是P(n,k)=C(n,k)*k!，這意味著在組合數的基礎上，還需要考慮元素的排列順序。

四、論述題

1.鴿巢原理的應用及其解題步驟：

-鴿巢原理：如果要把n+1個或更多物體放入n個容器中，那么至少有一個容器中包含兩個或更多的物體。

-應用步驟：

1.確定物體和容器的數量。

2.如果物體的數量大于或等于容器的數量，那么根據鴿巢原理，至少有一個容器中包含兩個或更多的物體。

3.如果物體的數量小于容器的數量，那么可能沒有容器中包含兩個或更多的物體。

2.組合數學在現實生活中的應用