2023年山東省泰安市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選的答案超過一個，均記零分）1．的倒數為（）A． B． C． D．2．下列運算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3?（﹣4a2）＝﹣12a53．2023年1月17日，國家航天局公布了我國嫦娥五號月球樣品的科研成果．科學家們通過對月球樣品的研究，精確測定了月球的年齡是20.3億年，數據20.3億年用科學記數法表示為（）A．2.03×108年 B．2.03×109年 C．2.03×1010年 D．20.3×109年4．小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對角線，得到如圖四種圖形，則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若∠1＝35°，則∠2的度數等于（）A．65° B．55° C．45° D．60°6．為了解學生的身體素質狀況，國家每年都會進行中小學生身體素質抽測．在今年的抽測中，某校九年級二班隨機抽取了10名男生進行引體向上測試，他們的成績（單位：個）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．根據這組數據判斷下列結論中錯誤的是（）A．這組數據的眾數是11 B．這組數據的中位數是10 C．這組數據的平均數是10 D．這組數據的方差是4.67．如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數是A．25° B．30° C．35° D．40°8．一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（）A． B． C．? D．9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，則陰影部分的面積是（）A．π B．π C．π D．π10．《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據題意得（）A． B． C． D．11．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當AC＝2時，AD＝﹣1．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標為（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM．將Rt△COD以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是（）A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2二、填空題（本大題共6小題，滿分24分。只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是．14．為了測量一個圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，則這張光盤的半徑是cm．（精確到0.1cm．參考數據：≈1.73）15．二次函數y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．16．在一次綜合實踐活動中，某學校數學興趣小組對一電視發射塔的高度進行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m（CD＝60m）到D處有一平臺，在高2m（DE＝2m）的平臺上的E處，測得B的仰角為26.6°．則該電視發射塔的高度AB為m．（精確到1m．參考數據：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）17．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點D在AB上，點E在BC上，點B關于直線DE的軸對稱點為點B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點，G點，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為．18．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19．（10分）（1）化簡：（2﹣）÷；（2）解不等式組：．20．（10分）2022年10月16日至10月22日，中國共產黨第二十次全國代表大會在北京召開．為激勵青少年爭做黨的事業接班人，某市團市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識競賽，依據得分情況將獲獎結果分為四個等級：A級為特等獎，B級為一等獎，C級為二等獎，D級為優秀獎．并將統計結果繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請根據相關信息解答下列問題：（1）本次競賽共有名選手獲獎，扇形統計圖中扇形C的圓心角度數是度；（2）補全條形統計圖；（3）若該黨史館有一個入口，三個出口．請用樹狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的概率．21．（10分）如圖，一次函數y1＝﹣2x+2的圖象與反比例函數y2＝的圖象分別交于點A，點B，與y軸，x軸分別交于點C，點D，作AE⊥y軸，垂足為點E，OE＝4．（1）求反比例函數的表達式；（2）在第二象限內，當y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；（3）點P在x軸負半軸上，連接PA，且PA⊥AB，求點P坐標．22．（10分）為進行某項數學綜合與實踐活動，小明到一個批發兼零售的商店購買所需工具．該商店規定一次性購買該工具達到一定數量后可以按批發價付款，否則按零售價付款．小明如果給學校九年級學生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發價付款，同樣需用3600元，若按批發價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學校九年級學生有多少人？23．（12分）如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點F是DC邊上的一點，連接AF，將△ADF沿直線AF折疊，點D落在點G處，連接AG并延長交DC于點H，連接FG并延長交BC于點M，交AB的延長線于點E，且AC＝AE．（1）求證：四邊形DBEF是平行四邊形；（2）求證：FH＝ME．24．（12分）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，點E在線段AC上，BC，DE相交于點F，連接BE，BD，作EH⊥BD，垂足為點H，交BC與點G．（1）若點H是BD的中點，求∠BED的度數；（2）求證：△EFG∽△BFD；（3）求證：＝．25．（14分）如圖，二次函數y＝ax2+bx+4的圖象經過點A（﹣4，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．?（1）求二次函數的表達式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△BCP面積為5，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，小明經過探究發現：位于x軸下方的拋物線上，存在一點D，使∠DAB與∠ACB互為余角；你認為他探究出的結論是否正確？若正確，求出點D的坐標；若不正確，請說明理由．

2023年山東省泰安市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選的答案超過一個，均記零分）1．的倒數為（）A． B． C． D．【分析】根據倒數的定義解答即可，倒數：乘積是1的兩數互為倒數．【解答】解：的倒數為．故選：A．【點評】本題考查了倒數，掌握倒數的定義是解答本題的關鍵．2．下列運算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（ab2）3＝a3b5 D．3a3?（﹣4a2）＝﹣12a5【分析】利用冪的運算，完全平方公式，單項式乘單項式的運算法則，容易選出D選項【解答】解：A、2a與3b不是同類項，沒法合并，故選項A不正確；B、由完全平方公式得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故選項B不正確；C、由積的乘方和冪的乘方得，（ab2）3＝a3（b2）3＝a3b6，故選項C不正確；D、單項式乘以單項式，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現的字母，則連同它的指數一起作為積的一個因式，故選項D正確．故選：D．【點評】此題考查完全平方公式，冪的運算，單項式乘以單項式，較為基礎．3．2023年1月17日，國家航天局公布了我國嫦娥五號月球樣品的科研成果．科學家們通過對月球樣品的研究，精確測定了月球的年齡是20.3億年，數據20.3億年用科學記數法表示為（）A．2.03×108年 B．2.03×109年 C．2.03×1010年 D．20.3×109年【分析】科學記數法的表現形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【解答】解：20.3億年＝2030000000年＝2.03×109年，故選：B．【點評】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．4．小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對角線，得到如圖四種圖形，則既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．【解答】解：A、原圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C、原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、原圖既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．5．把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若∠1＝35°，則∠2的度數等于（）A．65° B．55° C．45° D．60°【分析】先根據外角的性質求出∠EDF，再根據平行線的性質求出∠BEG，再根據三角形內角和求出∠2即可．【解答】解：∵∠A＝30°，∠1＝35°，∴∠EDF＝65°，∵DF∥EG，∴∠BEG＝65°，∵∠B＝60°，∴∠2＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣60°﹣65°＝55°．故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質以及三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練運用平行線的性質并靈活運用．6．為了解學生的身體素質狀況，國家每年都會進行中小學生身體素質抽測．在今年的抽測中，某校九年級二班隨機抽取了10名男生進行引體向上測試，他們的成績（單位：個）如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．根據這組數據判斷下列結論中錯誤的是（）A．這組數據的眾數是11 B．這組數據的中位數是10 C．這組數據的平均數是10 D．這組數據的方差是4.6【分析】分別根據眾數、中位數、平均數以及方差的定義解答即可．【解答】解：這組數據中11出現的次數最多，故眾數為11，故選項A不符合題意；把這組數據從小到大排列，排在中間的數分別為10和11，故中位數＝10.5，故選項B符合題意；這組數據的平均數是：（7+11+10+11+6+14+11+10+11+9）＝10，故選項C不符合題意；這組數據的方差為：[（7﹣10）2+4×（11﹣10）2+2×（10﹣10）2+（6﹣10）2+（14﹣10）2+（9﹣10）2]＝4.6，故選項D不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了眾數、中位數、平均數以及方差，掌握相關定義是解答本題的關鍵．7．如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】連接OC，利用圓周角定理及角的和差求得∠BOC的度數，進而求得∠BAC的度數．【解答】解：如圖，連接OC，∵∠ADC＝115°，∴優弧所對的圓心角為2×115°＝230°，∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，∴∠BAC＝∠BOC＝25°，故選：A．【點評】本題考查圓周角定理，結合已知條件求得∠BOC的度數是解題的關鍵．8．一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（）A． B． C．? D．【分析】根據一次函數圖象判定a、b的符號，根據ab的符號判定反比例函數圖象所在的象限．【解答】解：A、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、三象限，則a＞0，b＞0，所以ab＞0，則反比例y＝應該位于第一、三象限，故本選項不可能；B、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以ab＜0，則反比例y＝應該位于第二、四象限，故本選項不可能；C、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、三、四象限，則a＞0，b＜0，所以ab＜0，則反比例y＝應該位于第二、四象限，故本選項不可能；D、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以ab＜0，則反比例y＝應該位于第二、四象限，故本選項有可能；故選：D．【點評】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，則陰影部分的面積是（）A．π B．π C．π D．π【分析】根據∠CAO＝40°，∠ACB＝70°和圓周角定理，得出圓心角BOC的度數即可得出陰影部分的面積．【解答】解：∵OA＝OC，∠CAO＝40°，∴∠CAO＝∠ACO＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠40°﹣40°＝100°，∵∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠BOC＝360°﹣100°﹣140°＝120°，∴陰影部分的面積是＝π．故選：C．【點評】本題主要考查三角形外接圓的知識，熟練掌握三角形內切圓的性質及扇形面積的計算是解題的關鍵．10．《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據題意得（）A． B． C． D．【分析】根據“甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等；兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩”，即可列出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：∵甲袋中裝有黃金9枚，乙袋中裝有白銀11枚，稱重兩袋相等，∴9x＝11y；∵兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩，∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．根據題意可列方程組．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．11．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當AC＝2時，AD＝﹣1．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，進而得出AD＝BD＝BC，再根據三角形內角和定理和等腰三角形的判定，進一步得出AE＝AD＝BD＝BC，對①作出判斷；在根據平行線的判定方法可得出DE∥BC，對①作出判斷；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位線，對③作出判斷，最后再根據相似三角形的判定和性質，得出△BCD∽△ABC，進而求出BC，即AD即可對④作出判斷．【解答】解：由題意可知，BD是∠ABC的平分線，MN是線段BD的中垂線，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴AD＝BD，在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵MN是BD的中垂線，∴EB＝ED，∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，因此①正確，∴AE＝AD＝BD＝BC，因此②正確；由于DE不是△ABC的中位線，因此③不正確；∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，∴△BCD∽△ABC，∴＝，即BC2＝AC?CD，設BC＝x，則CD＝2﹣x，∴x2＝2×（2﹣x），解得x＝﹣1﹣（舍去）或x＝﹣1，即BC＝﹣1＝AD，因此④正確，綜上所述，正確的結論有①②④，共有3個，故選：C．【點評】本題考查角平分線，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理以及相似三角形的判定和性質，掌握角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和是180°以及相似三角形的判定和性質是正確解答的前提．12．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標為（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM．將Rt△COD以點O為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段AM的最小值是（）A．3 B．6﹣4 C．2﹣2 D．2【分析】由點M是BC中點，想到構造中位線，取OB中點，再利用三角形兩邊之差的最值模型．【解答】解：取OB中點N，連接MN，AN．在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，∴OC＝4，∵M、N分別是BC、OB的中點，∴MN＝OC＝2，在△ABN中，AB＝4，BN＝3，∴AN＝5，在△AMN中，AM＞AN﹣MN；當M運動到AN上時，AM＝AN﹣MN，∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，∴線段AM的最小值是3，故選：A．【點評】此題方法較多，可以用三角形兩邊之差的最值模型，也可用瓜豆模型．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分。只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是a＞﹣4．【分析】根據判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根據題意得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣a）＞0，解得a＞﹣4．故答案為：a＞﹣4．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．14．為了測量一個圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，則這張光盤的半徑是6.9cm．（精確到0.1cm．參考數據：≈1.73）【分析】設光盤的圓心為O，連接OC，OA，OB，經過圓外一點A的兩條直線AC與AB都與圓O相切，根據切線長定理得到AO為兩切線的夾角平分線，由∠CAD的度數求出∠OAB的度數為60°，同時由切線的性質得到OB與AB垂直，在直角三角形AOB中，由tan60°等于對邊OB與鄰邊AB之比，將AB及tan60°的值代入，求出OB的長，即為圓的半徑．【解答】解：設光盤的圓心為O，由題意可知：AB，AC切⊙O于C、B，連接OC，OB，OA，如圖所示：∵AC，AB分別為圓O的切線，∴AO為∠CAB的平分線，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠OAB＝∠CAB＝60°，在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝4cm，∴tan∠OAB＝，∴OB＝tan∠OAB×AB＝＝4≈6.9（cm），∴這張光盤的半徑為6.9cm．故答案為：6.9．【點評】此題考查了切線的性質，切線長定理，銳角三角函數定義，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．15．二次函數y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．【分析】將二次函數解析式變形為頂點式，利用二次函數的性質，即可解決最值問題．【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．∵a＝﹣1＜0，∴當x＝﹣時，y取得最大值，最大值＝．故答案為：．【點評】本題考查了二次函數的最值，牢記“當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標”是解題的關鍵．16．在一次綜合實踐活動中，某學校數學興趣小組對一電視發射塔的高度進行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為50°，后退60m（CD＝60m）到D處有一平臺，在高2m（DE＝2m）的平臺上的E處，測得B的仰角為26.6°．則該電視發射塔的高度AB為55m．（精確到1m．參考數據：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）【分析】過點E作EF⊥AB，垂足為F，根據題意可得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，然后設AC＝xm，則EF＝AD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數的定義求出AB的長，再在Rt△FBE中，利用銳角三角函數的定義求出BF的長，從而求出AB的長，最后列出關于x的方程，進行計算即可解答．【解答】解：過點E作EF⊥AB，垂足為F，由題意得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，設AC＝xm，∵CD＝60m，∴EF＝AD＝AC+CD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，∴AB＝AC?tan50°≈1.2x（m），在Rt△FBE中，∠BEF＝26.6°，∴BF＝EF?tan26.6°≈0.5（x+60）m，∴AB＝BF+AF＝[2+0.5（x+60）]m，∴1.2x＝2+0.5（x+60），解得：x＝，∴AB＝1.2x≈55（m），∴該電視發射塔的高度AB約為55m，故答案為：55．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．17．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點D在AB上，點E在BC上，點B關于直線DE的軸對稱點為點B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點，G點，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為．【分析】根據軸對稱可得∠B＝∠B′，進而得出△ADF∽△B′GF，根據相似三角形的性質可求出FG，進而求出CG．【解答】解：∵△BDE與△B′DE關于DE對稱，∴∠B＝∠B′，又∵∠AFD＝∠B′FG，∴△ADF∽△B′GF，∴＝，即＝，∴GF＝，∴CG＝AC﹣AF﹣GF＝16﹣8﹣＝，故答案為：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質以及軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質以及相似三角形的判定和性質是正確解答的前提．18．已知，△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，…都是邊長為2的等邊三角形，按如圖所示擺放．點A2，A3，A5，…都在x軸正半軸上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，則點A2023的坐標是（2023，）．【分析】根據正三角形的性質以及三角形的排列規律可得點A1橫坐標為1，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…因此點A2023橫坐標為2023，再根據這些正三角形的排列規律得出點A2023在第一象限，求出點A2023的縱坐標為，得出答案．【解答】解：如圖，過點A1，A4，A7，A10，A13，……A2023分別作x軸的垂線，∵△A1A2O是邊長為2正三角形，∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，∴點A1橫坐標為1，由題意可得，點A2橫坐標為2，點A3橫坐標為3，點A4橫坐標為4，…因此點A2023橫坐標為2023，∵2023÷3＝674……1，而674是偶數，∴點A2023在第一象限，∴點A2023的縱坐標為，即點A2023（2023，），故答案為：（2023，）．【點評】本題考查正三角形的性質以及點的坐標的規律性，掌握正三角形的性質和點的坐標的變化規律是解決問題的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，滿分78分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19．（10分）（1）化簡：（2﹣）÷；（2）解不等式組：．【分析】（1）直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算法則計算得出答案；（2）分別解不等式，進而得出不等式組的解集．【解答】解：（1）原式＝?＝?＝?＝；（2），解①得：x＞﹣2；解②得：x＜5，故不等式組的解集為：﹣2＜x＜5．【點評】此題主要考查了分式的混合運算以及一元一次不等式組的解法，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．20．（10分）2022年10月16日至10月22日，中國共產黨第二十次全國代表大會在北京召開．為激勵青少年爭做黨的事業接班人，某市團市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識競賽，依據得分情況將獲獎結果分為四個等級：A級為特等獎，B級為一等獎，C級為二等獎，D級為優秀獎．并將統計結果繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．請根據相關信息解答下列問題：（1）本次競賽共有200名選手獲獎，扇形統計圖中扇形C的圓心角度數是108度；（2）補全條形統計圖；（3）若該黨史館有一個入口，三個出口．請用樹狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的概率．【分析】（1）由A等級人數及其圓心角度數所占比例求出總人數，總人數乘以B等級人數求得其人數，根據各等級人數之和等于總人數求出C等級人數，最后用360°乘以C等級人數所占比例可得答案；（2）根據以上所求結果即可補全圖形；（3）列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次競賽獲獎選手共有80÷＝200（名），則B等級人數為200×25%＝50（名），∴C等級人數為200﹣（80+50+10）＝60（名），∴扇形統計圖中扇形C的圓心角度數是360°×＝108°，故答案為：200、108；（2）補全圖形如下：（3）將三個出口分別記作A、B、C，列表如下：ABCA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表知，共有9種等可能結果，其中小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的有3種結果，所以小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的概率為＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式計算事件A或事件B的概率．21．（10分）如圖，一次函數y1＝﹣2x+2的圖象與反比例函數y2＝的圖象分別交于點A，點B，與y軸，x軸分別交于點C，點D，作AE⊥y軸，垂足為點E，OE＝4．（1）求反比例函數的表達式；（2）在第二象限內，當y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；（3）點P在x軸負半軸上，連接PA，且PA⊥AB，求點P坐標．【分析】（1）根據一次函數的關系式可求出與x軸，y軸的交點D、點C的坐標，再利用全等三角形的判斷和性質得出AE＝OD＝1，進而確定點A的坐標，再由反比例函數圖象上點的坐標特征確定k的值即可；（2）求出兩個函數圖象的交點坐標，再根據圖象直觀得出答案；（3）求出直線PA的關系式，再根據關系式求出其與x軸的交點坐標即可．【解答】解：（1）∵一次函數y1＝﹣2x+2的圖象與y軸，x軸分別交于點C，點D，∴點C（0，2），點D（1，0），∵OE＝4，∴OC＝CE＝2，∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，∴△AEC≌△DCO（ASA），∴AE＝OD＝1，∴點A（﹣1，4），∵點A在反比例函數y2＝的圖象上，∴k＝﹣1×4＝﹣4，∴反比例函數的關系式為y2＝﹣；（2）方程組的解為，，∵點A（﹣1，4），∴點B（2，﹣2），由于是在第二象限，當y1＜y2時，x的取值范圍為﹣1＜x＜0；（3）由于直線PA⊥AB，可設直線PA的關系式為y＝x+b，把點A（﹣1，4）代入得，4＝﹣+b，解得b＝，∴直線PA的關系式為y＝x+，當y＝0時，x＝﹣9，∴點P的坐標為（﹣9，0）．【點評】本題考查反比例函數與一次函數的交點坐標，掌握反比例函數、一次函數的圖象和性質是正確解答的前提，確定點的坐標是解決問題的關鍵．22．（10分）為進行某項數學綜合與實踐活動，小明到一個批發兼零售的商店購買所需工具．該商店規定一次性購買該工具達到一定數量后可以按批發價付款，否則按零售價付款．小明如果給學校九年級學生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發價付款，同樣需用3600元，若按批發價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學校九年級學生有多少人？【分析】設這個學校九年級學生有x人，利用單價＝總價÷數量，結合按批發價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，即可得出結論．【解答】解：設這個學校九年級學生有x人，根據題意得：×50＝×60，解得：x＝300，經檢驗，x＝300是所列方程的解，且符合題意．答：這個學校九年級學生有300人．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．23．（12分）如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點F是DC邊上的一點，連接AF，將△ADF沿直線AF折疊，點D落在點G處，連接AG并延長交DC于點H，連接FG并延長交BC于點M，交AB的延長線于點E，且AC＝AE．（1）求證：四邊形DBEF是平行四邊形；（2）求證：FH＝ME．【分析】（1）要證四邊形DBEF是平行四邊形，因為DF∥BE，只要證DB∥FE，進而證明∠E＝∠ABD即可，需證明△ADC≌△AGE；（2）只要證明△FGH≌△EBM即可．【解答】證明：（1）∵△ADF沿直線AF折疊，點D落在點G處，∴△ADF≌△AGF，∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°，∴∠AGE＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC和Rt△AGE中：，∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），∴∠ACD＝∠E，在矩形ABCD中，對角線互相平分，∴OA＝OB，∴∠CAB＝∠ABD，又∵DC∥AB，∴∠ACD＝∠CAB，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＝∠E，∴DB∥FE，又∵DF∥BE，∴四邊形DBEF是平行四邊形．（2）∵四邊形DBEF是平行四邊形，∴DF＝EB，又∵DF＝FG，∴FG＝EB，∵DC∥AE，∴∠HFG＝∠E，在△FGH和△EBM中：，∴△FGH≌△EBM（ASA），∴FH＝ME．【點評】此題以矩形為載體，考查了平行四邊形的判斷，三角形全等的知識，比較綜合．24．（12分）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，點E在線段AC上，BC，DE相交于點F，連接BE，BD，作EH⊥BD，垂足為點H，交BC與點G．（1）若點H是BD的中點，求∠BED的度數；（2）求證：△EFG∽△BFD；（3）求證：＝．【分析】（1）可推出EG＝DG＝DE，DE＝AE，進一步得出結果；（2）可推出∠FAH＝∠GEH，∠AGD＝∠EGH＝90°，從而得出結論；（3）作BQ∥AC，交EH的延長線于點Q，可推出△BGQ∽△CGE，從而，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，從而得出，設∠AEG＝BDF＝α，可推出∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，從而推出∠AEB＝∠CEH，從而∠Q＝∠QBE，可推出BE＝EQ，從而推出＝．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是兩個等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，∵CE＝CD，∴EF＝DF＝DE，∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE，∴EF＝BE，∴cos∠BED＝，∴∠BED＝60°；（2）證明：由（1）得：∠CFE＝90°，∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠B