2023年山東省濟寧市中考數學試卷一、選擇題。本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．（3分）實數，1.5中無理數是（）A．π B．0 C．﹣ D．1.52．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列各式運算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x12÷x2＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（x2y）3＝x6y34．（3分）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠25．（3分）如圖，a，b是直尺的兩邊，a∥b，把三角板的直角頂點放在直尺的b邊上，若∠1＝35°，則∠2的度數是（）A．65° B．55° C．45° D．35°6．（3分）為檢測學生體育鍛煉效果，從某班隨機抽取10名學生進行籃球定時定點投籃檢測，投籃進球數統計如圖所示，對于這10名學生的定時定點投籃進球數，下列說法中錯誤的是（）A．中位數是5 B．眾數是5 C．平均數是5.2 D．方差是27．（3分）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）8．（3分）一個幾何體的三視圖如圖，則這個幾何體的表面積是?（）A．39π B．45π C．48π D．54π9．（3分）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α10．（3分）已知一列均不為1的數a1，a2，a3，…，an滿足如下關系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，則a2023的值是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．2二、填空題。本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）一個函數過點（1，3），且y隨x增大而增大，請寫出一個符合上述條件的函數解析式．12．（3分）一個多邊形的內角和是540°，則這個多邊形是邊形．13．（3分）某數學活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點A，在點A和建筑物之間選擇一點B，測得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的測角儀在A處測得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測得仰角為60°，則該建筑物的高是．14．（3分）已知實數m滿足m2﹣m﹣1＝0，則2m3﹣3m2﹣m+9＝．15．（3分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，，則BD＝．?三、解答題。本大題共7小題，共55分。16．（6分）計算：．17．（7分）某學校為扎實推進勞動教育，把學生參與勞動教育情況納人積分考核．學校抽取了部分學生的勞動積分（積分用x表示）進行調查，整理得到如下不完整的統計表和扇形統計圖．等級勞動積分?人數Ax≥90?4B80≤x＜90mC70≤x＜8020D60≤x＜708Ex＜603?請根據圖表信息，解答下列問題：（1）統計表中m＝，C等級對應扇形的圓心角的度數為；（2）學校規定勞動積分大于等于80的學生為“勞動之星”．若該學校共有學生2000人，請估計該學校“勞動之星”大約有多少人；（3）A等級中有兩名男同學和兩名女同學，學校從A等級中隨機選取2人進行經驗分享，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率．18．（7分）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接BE，DF．①判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長．19．（8分）如圖，正比例函數和反比例函數的圖象交于點A（m，2）．（1）求反比例函數的解析式；（2）將直線OA向上平移3個單位后，與y軸交于點B，與的圖象交于點C，連接AB，AC，求△ABC的面積．?20．（8分）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等．（1）A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？（2）該停車場計劃共購買25個A，B型充電樁，購買總費用不超過26萬元，且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的．問：共有哪幾種購買方案？哪種方案所需購買總費用最少？21．（9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD＝CB，BE切⊙O于點B，過點C作CF⊥OE交BE于點F，EF＝2BF．（1）如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；（2）如圖2，N是AD上一點，在AB上取一點M，使∠MCN＝60°，連接MN．請問：三條線段MN，BM，DN有怎樣的數量關系？并證明你的結論．?22．（10分）如圖，直線y＝﹣x+4交x軸于點B，交y軸于點C，對稱軸為的拋物線經過B，C兩點，交x軸負半軸于點A，P為拋物線上一動點，點P的橫坐標為m，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）若，當m為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？（3）若，設直線MN交直線BC于點E，是否存在這樣的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．?

2023年山東省濟寧市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題。本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．（3分）實數，1.5中無理數是（）A．π B．0 C．﹣ D．1.5【分析】根據無理數定義進行判斷．【解答】解：根據無限不循環小數是無理數可得：π是無理數．故選：A．【點評】本題主要考查了無理數的知識、有理數的知識，難度不大，掌握無理數定義是解答的關鍵．2．（3分）下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的定義對四個選項進行分析．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意；B、是中心對稱圖形，所以符合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，難度不大，認真分析即可．3．（3分）下列各式運算正確的是（）A．x2?x3＝x6 B．x12÷x2＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2 D．（x2y）3＝x6y3【分析】本題考查整式的乘法，同底數冪的乘除法，冪的乘方，積的乘方和完全平方公式等知識．【解答】解：A：x2?x3＝x2+3＝x5，故選項A錯誤，B：x12÷x2＝x12﹣2＝x10，故選項B錯誤，C：（x+y）2＝x2+y2+2xy，故選項C錯誤，D：（x2y）3＝x2×3y3＝x6y3．故選：D．【點評】本題考查整式的乘法，同底數冪的乘除法，冪的乘方，積的乘方和完全平方公式等知識．解題的關鍵是能熟練區分并運用整式的乘法運算．4．（3分）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2【分析】根據分式的分母不能為0和二次根式的被開平方數大于等于0進行求解．【解答】解：由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．【點評】此題考查了分式和二次根式定義的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．5．（3分）如圖，a，b是直尺的兩邊，a∥b，把三角板的直角頂點放在直尺的b邊上，若∠1＝35°，則∠2的度數是（）A．65° B．55° C．45° D．35°【分析】利用平角的定義及角的和差關系，先求出∠3，再利用平行線的性質求出∠2．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝35°．∵∠BEC＝180°﹣∠E﹣∠3＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∠2＝∠BEC，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質，根據平角的定義求出∠3的度數是解決本題的關鍵．6．（3分）為檢測學生體育鍛煉效果，從某班隨機抽取10名學生進行籃球定時定點投籃檢測，投籃進球數統計如圖所示，對于這10名學生的定時定點投籃進球數，下列說法中錯誤的是（）A．中位數是5 B．眾數是5 C．平均數是5.2 D．方差是2【分析】分別根據中位數、眾數、加權平均數以及方差的定義解答即可．【解答】解：把這10名學生的定時定點投籃進球數從小到大排列，排在第5和第6個數是5，所以中位數是5，故選項A不符合題意；這10名學生的定時定點投籃進球數出現最多的數是5，所以眾數是5，故選項B不符合題意；平均數是：（3+4×2+5×3+6×2+7×2）＝5.2，故選項C不符合題意；方差是：[（3﹣5.2）2+2×（4﹣5.2）2+3×（5﹣5.2）2+2×（6﹣5.2）2+2×（7﹣5.2）2]＝1.56，故選項D符合題意．故選：D．【點評】此題考查了加權平均數，中位數、眾數和方差的意義，熟練掌握定義是解答本題的關鍵．7．（3分）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）【分析】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關知識．【解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項A錯誤，B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項B錯誤，C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項C正確，D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項D錯誤．故答案為：C．【點評】本題考查因式分解，提公因式等相關知識．解題的關鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．8．（3分）一個幾何體的三視圖如圖，則這個幾何體的表面積是?（）A．39π B．45π C．48π D．54π【分析】把三視圖還原成原來的幾何體，再根據視圖中的數據計算即可．【解答】解：由三視圖可知，原幾何體是由一個圓錐和一個圓柱構成的幾何體，其中圓柱底面圓的直徑為6，高為4，圓錐底面圓的直徑為6，母線長為4，所以幾何體的表面積為：，故選：B．【點評】本題考查三視圖，根據三視圖判斷幾何體，并能找出底面圓的直徑，高，母線長是解題的關鍵．9．（3分）如圖，在正方形方格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，點A，B，C，D，E均在小正方形方格的頂點上，線段AB，CD交于點F，若∠CFB＝α，則∠ABE等于（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α【分析】過B點作BG∥CD，連接EG，根據平行線的性質得出∠ABG＝∠CFB＝α．根據勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根據勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，進而求出∠ABE的度數．【解答】解：如圖，過B點作BG∥CD，連接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理，平行線的性質，準確作出輔助線是解題的關鍵．10．（3分）已知一列均不為1的數a1，a2，a3，…，an滿足如下關系：a2＝，a3＝，，，若a1＝2，則a2023的值是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．2【分析】通過分別計算a1，a2，a3，a4，a5，的值歸納出an的值出現規律進行求解．【解答】解：由題意得，a1＝2，a2＝＝＝﹣3，a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝，a5＝＝＝2，……，∴an的值按照2，﹣3，﹣，，……4次一個循環周期的規律出現，∵2023÷4＝505……3，∴a2023的值是﹣，故選：A．【點評】此題考查了分式計算規律性問題的解決能力，關鍵是能通過計算結果發現an的規律．二、填空題。本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）一個函數過點（1，3），且y隨x增大而增大，請寫出一個符合上述條件的函數解析式y＝x+2（答案不唯一）．【分析】設一次函數的解析式為y＝kx+b（k≠0），利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出k+b＝3，利用一次函數的性質可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出結論．【解答】解：設一次函數的解析式為y＝kx+b（k≠0）．∵一次函數y＝kx+b的圖象經過點（1，3），∴3＝k+b，又∵函數值y隨自變量x的增大而增大，∴k＞0，∴k＝1，b＝2符合題意，∴符合上述條件的函數解析式可以為y＝x+2．故答案為：y＝x+2（答案不唯一）．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及一次函數的性質，牢記“k＞0，y隨x的增大而增大；k＜0，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．12．（3分）一個多邊形的內角和是540°，則這個多邊形是五邊形．【分析】根據多邊形的內角和公式列方程并解方程即可．【解答】解：設此多邊形的邊數為n，則（n﹣2）?180°＝540°，解得：n＝5，即此多邊形為五邊形，故答案為：五．【點評】本題考查多邊形的內角和公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．13．（3分）某數學活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點A，在點A和建筑物之間選擇一點B，測得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的測角儀在A處測得建筑物頂部E的仰角為30°，在B處測得仰角為60°，則該建筑物的高是（15+1）m．【分析】延長CD交EF與點G，根據題意可得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，然后利用三角形的外角性質可得∠DEC＝∠ECD＝30°，從而可得ED＝CD＝30m，最后在Rt△EGD中，利用銳角三角函數的定義求出EG的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：如圖：延長CD交EF于點G，由題意得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，∵∠EDG是△EDC的一個外角，∴∠DEC＝∠EDG﹣∠ECG＝30°，∴∠DEC＝∠ECD＝30°，∴ED＝CD＝30m，在Rt△EGD中，EG＝ED?sin60°＝30×＝15（m），∴EF＝EG+FG＝（15+1）m，∴該建筑物的高是（15+1）m，故答案為：（15+1）m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．14．（3分）已知實數m滿足m2﹣m﹣1＝0，則2m3﹣3m2﹣m+9＝8．【分析】由已知條件可得m2﹣m＝1，將2m3﹣3m2﹣m+9先變形整理得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9，然后將m2﹣m＝1代入整理可得﹣（m2﹣m）+9，再將m2﹣m＝1代入運算即可．【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m3﹣3m2﹣m+9＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9＝2m﹣m2﹣m+9＝﹣m2+m+9＝﹣（m2﹣m）+9＝﹣1+9＝8，故答案為：8．【點評】本題考查因式分解的應用及代數式求值，將代數式拆項并因式分解得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9是解題的關鍵．15．（3分）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，，則BD＝3﹣．?【分析】過點A作AH⊥BC于H，根據等邊三角形的性質可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再根據∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，從而可得tan∠DAH＝tan∠EAC＝，利用銳角三角函數求得AH＝ABsin60°＝3，再由，求得DH＝3﹣，即可求得結果．【解答】解：過點A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AH⊥BC，∴，∴∠BAD+∠DAH＝30°，∵∠DAE＝30°，∴∠BAD+∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝，∵BH＝AB＝3，∵AH＝ABsin60°＝6×＝3，∴，∴DH＝，∴BD＝BH﹣DH＝3﹣，故答案為：3﹣．【點評】本題考查等邊三角形的性質、銳角三角函數，熟練掌握等邊三角形的性質證明∠DAH＝∠EAC是解題的關鍵．三、解答題。本大題共7小題，共55分。16．（6分）計算：．【分析】根據實數的運算進行計算．【解答】解：＝2＝＝．【點評】本題主要考查了實數的運算的知識、銳角三角函數的知識、絕對值的知識、負指數的知識，難度不大．17．（7分）某學校為扎實推進勞動教育，把學生參與勞動教育情況納人積分考核．學校抽取了部分學生的勞動積分（積分用x表示）進行調查，整理得到如下不完整的統計表和扇形統計圖．等級勞動積分?人數Ax≥90?4B80≤x＜90mC70≤x＜8020D60≤x＜708Ex＜603?請根據圖表信息，解答下列問題：（1）統計表中m＝15，C等級對應扇形的圓心角的度數為144°；（2）學校規定勞動積分大于等于80的學生為“勞動之星”．若該學校共有學生2000人，請估計該學校“勞動之星”大約有多少人；（3）A等級中有兩名男同學和兩名女同學，學校從A等級中隨機選取2人進行經驗分享，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率．【分析】（1）由D等級的人數除以所占百分比得出抽取的學生人數，即可解決問題；（2）由該學校共有學生人數乘以該學校“勞動之星”所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中恰好抽取一名男同學和一名女同學的結果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）抽取的學生人數為：8÷16%＝50（人），∴m＝50﹣4﹣20﹣8﹣3＝15，C等級對應扇形的圓心角的度數為：360°×＝144°，故答案為：15，144°；（2）2000×＝760（人），答：估計該學校“勞動之星”大約有760人；（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中恰好抽取一名男同學和一名女同學的結果有8種，∴恰好抽取一名男同學和一名女同學的概率為＝．【點評】本題考查了樹狀圖法以及頻數分布表和扇形統計圖等知識，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．18．（7分）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設BD的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接BE，DF．①判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長．【分析】（1）分別以B、D為圓心，大于BD為半徑畫弧，分別交于點M、N，連接MN，則問題可求解；（2）①由題意易得∠EDO＝∠FBO，易得△EOD≌△FOB（ASA），然后可得四邊形BEDF是平行四邊形，進而問題可求證；②設BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，然后根據勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）如圖，直線MN就是線段BD的垂直平分線，（2）①四邊形BEDF是平行四邊形，理由如下：如圖，由作圖可知OB＝OD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴ED＝FB，∴四邊形BEDF是平行四邊形；②∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可設BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四邊形BEDF的周長為：6.25×4＝25．【點評】本題考查了基本作圖，勾股定理，矩形的性質、菱形的性質與判定及全等三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質，菱形的性質與判定以及垂直平分線的性質是解答本題的關鍵．19．（8分）如圖，正比例函數和反比例函數的圖象交于點A（m，2）．（1）求反比例函數的解析式；（2）將直線OA向上平移3個單位后，與y軸交于點B，與的圖象交于點C，連接AB，AC，求△ABC的面積．?【分析】（1）用待定系數法求函數解析式；（2）根據平移的性質求得平移后直線的函數解析式，確定B點坐標，再用待定系數法求直線AB的解析式，利用三角形面積公式列式計算．【解答】解：（1）把A（m，2）代入得：，解得m＝4，∴A（4，2），把A（4，2）代入得：，解得k＝8，∴反比例函數的解析式為；（2）過點C作CM⊥x軸于M，交AB于點N，如圖：將直線OA向上平移3個單位后，其函數解析式為，當x＝0時，y＝3，∴點B的坐標為（0，3），設直線AB的函數解析式為y＝mx+n，將A（4，2），B（0，3）代入可得：，解得：，∴直線AB的函數解析式為y＝﹣x+3，聯立解析式得：解得：，∴C點坐標為（2，4），在y＝﹣x+3中，當x＝2時，，∴CN＝4﹣＝，∴S△ABC＝××4＝3；∴△ABC的面積為3．【點評】本題考查一次函數和反比例函數的交點問題，掌握待定系數法求函數解析式，運用數形結合思想解題是關鍵．20．（8分）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等．（1）A，B兩種型號充電樁的單價各是多少？（2）該停車場計劃共購買25個A，B型充電樁，購買總費用不超過26萬元，且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的．問：共有哪幾種購買方案？哪種方案所需購買總費用最少？【分析】（1）設A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據“用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等”列出分式方程，求解即可；（2）設購買A型充電樁m個，則購買B型充電樁（25﹣m）個，根據購買總費用不超過26萬元且且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m為整數即可得出各購買方案，再由兩種機床的單價之間的關系可找出購買方案總費用最少的方案及最少總費用．【解答】解：（1）設A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據題意得＝，解得x＝0.9，經檢驗x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．答：A型充電樁的單價為0.9萬元，則B型充電樁的單價為1.2萬元；（2）設購買A型充電樁m個，則購買B型充電樁（25﹣m）個，根據題意，得：，解得：≤m≤．∵m為整數，∴m＝14，15，16．∴該停車場有3種購買機床方案，方案一：購買14個A型充電樁、11個B型充電樁；方案二：購買15個A型充電樁、10個B型充電樁；方案三：購買16個A型充電樁、9個B型充電樁．∵A型機床的單價低于B型機床的單價，∴購買方案三總費用最少，最少費用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（萬元）．【點評】本題考查了分式的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．21．（9分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD＝CB，BE切⊙O于點B，過點C作CF⊥OE交BE于點F，EF＝2BF．（1）如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；（2）如圖2，N是AD上一點，在AB上取一點M，使∠MCN＝60°，連接MN．請問：三條線段MN，BM，DN有怎樣的數量關系？并證明你的結論．?【分析】（1）根據CF⊥OE，OC是半徑，可得CF是圓O的切線，根據BE是圓O的切線，由切線長定理可得BF＝CF，進而根據sinE＝＝，得出∠E＝30°，∠EOB＝60°，根據CD＝CB得出＝，根據垂徑定理的推論得出OC⊥BD，進而得出∠ADB＝90°＝∠EBO，根據含30度角的直角三角形的性質，得出AD＝BO＝AB，即可證明△ABD≌△OEB（AAS）；（2）延長ND至H使得DH＝BM，連接CH，BD，根據圓內接四邊形對角互補得出∠HDC＝∠MBC，證明△HDC≌△MBC（SAS），結合已知條件證明△CNH≌△CNM（SAS），得出NH＝MN，即可得出結論．【解答】（1）證明：∵CF⊥OE，OC是半徑，∴CF是圓O的切線，∵BE是圓O的切線，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sinE＝＝，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴＝，∴OC⊥BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延長ND至H使得DH＝BM，連接CH，BD，如圖2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝60°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC