數學-《角平分線的性質》教案 2024-2025學年北師大版數學七年級下冊_第1頁
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文檔簡介

5.2.3《角平分線的性質》教案教學目標(一)數學抽象與幾何直觀能從折紙、尺規作圖等直觀操作中,抽象出角平分線的軸對稱性質,理解“角平分線上的點到兩邊距離相等”的本質特征。通過圖形變換(折疊、對稱)直觀感知角平分線的對稱性,建立幾何圖形與數量關系的聯系。(二)邏輯推理與探究能力經歷“猜想→實驗驗證→演繹證明”的完整推理過程,能用三角形全等(SAS)證明角平分線的性質定理,發展推理意識。在尺規作圖中,理解“作角平分線”與“作垂線”的邏輯關聯,體會幾何證明的嚴謹性。(三)數學運算與應用意識能運用角平分線性質進行簡單計算(如線段長度、面積比),并解決實際問題(如信號塔選址),體現數學工具性。通過跨學科情境(如物理中的光路反射),感受數學在現實中的廣泛應用。(四)創新意識與合作交流在小組探究中,嘗試用多種方法驗證性質定理(如面積法、坐標法),培養發散思維。通過“作角的四等分線”等任務,激發創新思維與實踐能力。二、教學重難點重點落實核心素養難點突破策略1.角平分線性質的探究與證明2.尺規作圖的原理與操作幾何直觀、推理意識1.性質定理的逆向應用(判定鋪墊)2.復雜情境中性質的靈活運用 通過“問題鏈”引導推理:①折紙實驗→直觀猜想②全等證明→邏輯驗證③變式練習→應用遷移三、教學過程(一)情境導入:跨學科關聯(5分鐘)物理情境引入:展示激光燈照射角鏡面的實驗圖,提問:“為什么反射光線會使角兩邊的光斑到角平分線距離相等?”數學抽象:將問題轉化為“角平分線上的點到兩邊距離相等”,激活前導知識(點到直線距離、軸對稱)。動手操作:學生用半透明紙畫∠AOB,折疊使OA與OB重合,觀察折痕與角的關系,歸納:角是軸對稱圖形,角平分線是對稱軸。(二)探究活動:素養導向的學習任務(20分鐘)任務1:性質猜想與驗證(幾何直觀+推理意識)實驗探究:在折痕(角平分線OP)上任取一點C,作CD⊥OA于D,CD'⊥OB于D',測量CD與CD'長度,猜想關系。改變點C位置,重復實驗,記錄結果:CD=CD'始終成立。邏輯證明:引導學生將折紙對稱性轉化為幾何語言:∵OP平分∠AOB,∴∠AOP=∠BOP。證明△OCD≌△OCD'(SAS),得出CD=CD',強化“全等三角形對應邊相等”的推理依據。符號表征:?CD=CD′∠AOC=∠BOC?CD=CD′CD⊥OA,CD′⊥OB任務2:尺規作圖與原理分析(數學抽象+實踐能力)作圖挑戰:教師示范作∠AOB的平分線,學生跟隨操作并標注步驟:步驟1:畫弧定交點M、N(半徑相等隱含“對稱”);步驟2:畫弧定交點C(到M、N距離相等的點在MN垂直平分線上);步驟3:作射線OC(兩點確定一條直線)。原理追問:“為什么OC是角平分線?”引導學生通過△OMC≌△ONC(SSS)證明∠AOC=∠BOC。思維拓展:“如何用尺規將角四等分?”(提示:先作平分線,再分別平分兩個子角,滲透“化歸思想”)。(三)分層練習:結構化問題鏈(15分鐘)基礎層(知識鞏固)練習1:如圖,BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC,若DE=5,則DC=______。(直接應用性質,答案:5)練習2:尺規作平角的平分線,思考:“作平角平分線與過直線上一點作垂線有何聯系?”(銜接垂線作法,答案:平角平分線即垂線)。提升層(能力遷移)例題:在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=8,AC=6,△ABD面積為10,求△ACD面積。思路:利用角平分線性質(高相等),面積比=底邊長比=8:6=4:3,得△ACD面積=7.5。實際應用:教材習題“信號塔選址”(需滿足到兩公路距離相等且到兩城鎮距離相等),引導學生畫出角平分線與線段垂直平分線的交點,培養應用意識。創新層(素養拓展)開放問題:“除了用全等三角形,還能用什么方法證明角平分線性質?”(提示:坐標法——設角頂點在原點,用解析幾何計算距離)。(四)課堂小結:素養維度回顧(3分鐘)知識網絡:核心素養總結:幾何直觀:通過折疊、作圖直觀理解性質;推理意識:從實驗猜想走向邏輯證明;應用意識:解決信號塔選址等實際問題。(五)課后任務:分層與跨學科(2分鐘)四、板書設計角平分線的性質一、核心性質軸對稱性:折痕即角平分線幾何語言:CD=CD'(角平分線上的點到兩邊距離相等)二、尺規作圖步驟1.畫弧截兩邊(等半徑)2.畫弧定交點(等距離)3.作射線(兩點一線)原理:△OMC≌△ONC(SSS)三、素養鏈接幾何直觀:折疊實驗→圖形對稱推理意識:實驗猜想→邏輯證明應用意識:信號塔選址→距離相等五、教學反思情境有效性:通過激光反射情境,成功激活學生對“距離相等”的直觀感知,但若能引入數字化工具(如幾何畫板動態演示),可進一步提升直觀體驗。推理訓練:在證明環節,部分學生對“角平分線定義”與“全等條件”的邏輯銜接仍不熟練,需通過追問“為什么∠AOP=∠BOP?”強化推理鏈條。分層任務:創新層任務(角五等分)對基礎較弱學生難度較大,可提供“黃金分割”等提示,體現“不同的人在數學上得到不同發展”的課標理念。修改說明:素養融入:每個環節明確標注核心素養指向,如實驗探究培養幾何直觀,證明過程強化推理意識,實際應用體現應用意識。跨學科整合:引入物理光學情境,體現數學與其他學科的關聯,落實

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