/一、單選題（共8個小題，每個小題5分，共40分）1.設直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據直線斜率的范圍求傾斜角的取值范圍.【詳解】設直線的傾斜角為，則由直線可得，所以，故選：D2.能夠使得圓x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有兩個點到直線2x＋y＋c＝0距離等于1的c的一個值為()A.2 B. C.3 D.3【答案】C【解析】【分析】利用圓心到直線的距離大于1且小于3，列不等式求解即可.【詳解】由圓的標準方程，可得圓心為，半徑為2，根據圓的性質可知，當圓心到直線的距離大于1且小于3時，圓上有兩點到直線的距離為1，由可得，經驗證，，符合題意，故選C.【點睛】本題主要考查圓的標準方程，點到直線距離公式的距離公式以及圓的幾何性質，意在考查數形結合思想的應用，屬于中檔題.3.若橢圓的中心為原點，對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（）A. B.或C. D.以上都不對【答案】B【解析】【分析】由短軸的一個端點與兩焦點構成個正三角形可得，由焦點到橢圓上點的最短距離為，結合可得.【詳解】由題意，當橢圓焦點在軸上，設橢圓方程為：，由題意，，所以，，，，所以橢圓方程為：，當橢圓焦點在軸上時，同理可得：，故選：B4.某市經濟開發區的經濟發展取得階段性成效，為深入了解該區的發展情況，現對該區兩企業進行連續個月的調研，得到兩企業這個月利潤增長指數折線圖（如下圖所示），下列說法正確的是（）A.這個月甲企業月利潤增長指數的平均數沒超過B.這個月的乙企業月利潤增長指數的第百分位數小于C.這個月的甲企業月利潤增長指數較乙企業更穩定D.在這個月中任選個月，則這個月乙企業月利潤增長指數都小于的概率為【答案】C【解析】【分析】根據折線圖估算AC，對于B項把月利潤增長指數從小到大排列，計算%=7.7可求,對于D項用古典概型的概率解決.【詳解】顯然甲企業大部分月份位于%以上，故利潤增長均數大于%，A不正確；乙企業潤增長指數按從小到大排列分別第2，1，3，4，8，5，6，7，9，11，10又因為%=7.7,所以從小到大排列的第8個月份，即7月份是第70百分位，從折線圖可知，7月份利潤增長均數大于%，故B錯誤；觀察折現圖發現甲企業的數據更集中，所以甲企業月利潤增長指數較乙企業更穩定，故C正確；（2個月乙企業月利潤增長指數都小于82%），故D錯誤.故選：C.5.已知空間三點，則下列結論不正確的是（）A. B.點在平面內C. D.若，則D的坐標為【答案】D【解析】【分析】根據空間兩點距離公式判斷A，根據數量積的坐標運算判斷B，根據共面向量基本定理判斷C，根據向量的坐標運算判斷D.【詳解】因為，，故A正確；因，所以，故C正確;因為，，所以，所以點在平面內，故B正確；因為，顯然不成立，故D錯誤.故選：D6.已知某人收集一個樣本容量為50的一組數據，并求得其平均數為70，方差為75，現發現在收集這些數據時，其中得兩個數據記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90，在對錯誤得數據進行更正后，重新求得樣本的平均數為，方差為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平均數與方差的定義判斷．【詳解】因為，因此平均數不變，即，設其他48個數據依次為，因此，，，∴，故選：D．7.如圖所示，在直三棱柱中，，且，，，點在棱上，且三棱錐的體積為，則直線與平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用錐體的體積公式可求得，然后以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】由已知得底面，且，所以，解得.如圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、、，則，，.設平面的法向量為，則由可得，即，得，令，得，所以為平面的一個法向量.設直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點睛】方法點睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當的點向平面引垂線，確定垂足的位置是關鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.8.已知F1，F2分別為雙曲線C：的左?右焦點，E為雙曲線C的右頂點.過F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限），設M，N分別為△AF1F2，△BF1F2的內心，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面幾何和內心的性質，可知M，N的橫坐標都是a，得到MN⊥x軸，設直線AB的傾斜角為θ，有，根據θ∈(60°,90°]，將表示為θ的三角函數可求得范圍.【詳解】解：設上的切點分別為H?I?J，則.由，得，∴，即.設內心M的橫坐標為，由軸得點J的橫坐標也為，則，得，則E為直線與x軸的交點，即J與E重合.同理可得的內心在直線上，設直線的領斜角為，則，，當時，；當時，由題知，，因為A，B兩點在雙曲線的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，綜上所述，.故選：B.二、多選題（共4個小題，每個小題5分，共20分）9.已知甲罐中有五個相同的小球，標號為1，2，3，4，5，乙罐中有四個相同的小球，標號為1，4，5，6，現從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于6”，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”，則（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件不是對立事件C.事件發生的概率為 D.事件與事件是相互獨立事件【答案】ABC【解析】【分析】由兩球編號寫出事件所含有的基本事件，同時得出所有的基本事件，然后根據互斥事件、對立事件的定義判斷AB，求出的概率判斷C，由公式判斷D．【詳解】甲罐中小球編號在前，乙罐中小球編號在后，表示一個基本事件，事件含有的基本事件有：，共12個，事件含有的基本事件有：，共7個，兩者不可能同時發生，它們互斥，A正確；基本事件發生時，事件均不發生，不對立，B正確；事件中含有19個基本事件，由以上分析知共有基本事件20個，因此，C正確；，，，不相互獨立，D錯．故選：ABC．10.在如圖所示試驗裝置中，兩個長方形框架與全等，，，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子分別在長方形對角線與上移動，且，則下列說法正確的是（）A.B.的長最小等于C.當的長最小時，平面與平面所成夾角的余弦值為D【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，利用空間向量數量積的運算即可判斷選項；利用空間兩點間距離公式即可判斷選項；根據二面角的余弦值推導即可判斷選項；根據棱錐的體積計算公式即可判斷選項.【詳解】由題意可知：兩兩互相垂直，以點為坐標原點，為軸正方向，建立空間直角坐標系，建系可得，，故選項正確；又，當時，，故選項正確；當最小時，分別是的中點，取中點，連接和，，，是二面角的平面角.中，，可得，同理可得，由余弦定理可得，故選項正確；，故選項錯誤.故選：.11.拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經過上的點反射后，再經上另一點反射后，沿直線射出，經過點，則（）A.平分B.C.延長交直線于點，則三點共線D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據題意求得，，從而證得，結合平面幾何的知識易得平分；對于B，直接代入即可得到；對于C，結合題意求得，由的縱坐標相同得三點共線；對于D，由選項A可知.【詳解】根據題意，由得，又由軸，得，代入得（負值舍去），則，所以，故直線為，即，依題意知經過拋物線焦點，故聯立，解得，即，對于A，，，故，所以，又因為軸，軸，所以，故，所以，則平分，故A正確；對于B，因為，故，故B錯誤；對于C，易得的方程為，聯立，故，又軸，所以三點的縱坐標都相同，則三點共線，故C正確；對于D，由選項A知，故D正確.故選：ACD..12.己知橢圓的左，右焦點分別為，，圓，點P在橢圓C上，點Q在圓M上，則下列說法正確的有（）A.若橢圓C和圓M沒有交點，則橢圓C的離心率的取值范圍是B.若，則的最大值為4C.若存在點P使得，則D.若存在點Q使得，則【答案】ACD【解析】【分析】A根據已知，數形結合得時橢圓C和圓M沒有交點，進而求離心率范圍；B令，求得，結合橢圓有界性得，即可判斷；C由題設，令，進而得到，結合點在橢圓上得到公共解求范圍；D將問題化為圓心為，半徑為的圓與圓有交點.【詳解】由橢圓中，圓中圓心，半徑為1，如下圖示，A：由于，由圖知：當時橢圓C和圓M沒有交點，此時離心率，對；B：當時，令，則，而，所以，又，故，所以的最大值為，錯；C：由，若，則，由，令，且，則，即，所以，則，且，故，對；D：令，若，所以，則，所以，軌跡是圓心為，半徑為的圓，而與的距離為，要使點Q存在，則，可得，且，即，對；故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：對于C，根據已知得到，設，利用兩點距離公式得到方程組，求出公共解為關鍵；對于D，問題化為圓心為，半徑為的圓與圓有交點為關鍵.三、填空題（共4個小題，每個小題5分，共20分）13.若直線與直線平行，則這兩條平行線之間的距離是__．【答案】【解析】【分析】由題意結合直線平行的性質可得，再由平行線間的距離公式即可得解.【詳解】直線與直線平行，，解得，故直線與直線即為直線與直線，則這兩條平行線之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題考查了直線平行性質的應用，考查了平行線間距離公式的應用，屬于基礎題.14.曲線與直線l：y＝k（x－2）＋4有兩個交點，則實數k的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先畫出曲線表示的半圓，再判斷直線是過定點的直線，利用數形結合判斷的取值范圍.【詳解】直線l過點A（2，4），又曲線的圖象是以（0，1）為圓心，2為半徑的半圓，如圖，當直線l與半圓相切，C為切點時，圓心到直線l的距離d＝r，即，解得.當直線l過點B（－2，1）時，直線l的斜率為，則直線l與半圓有兩個不同的交點時，實數k的取值范圍為.故答案為：15.數學興趣小組的四名同學各自拋擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數，四名同學的部分統計結果如下：甲同學：中位數為3，方差為2.8；乙同學：平均數為3.4，方差為1.04；丙同學：中位數為3，眾數為3；丁同學：平均數為3，中位數為2.根據統計結果，數據中肯定沒有出現點數6的是______同學.【答案】乙【解析】【分析】假設出現6點，利用特例法，結合平均數和方差的計算公式，即可求解.【詳解】對于甲同學，當投擲骰子出現結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數為3，平均數：，方差為，可以出現點數6；對于乙同學，若平均數為3.4，且出現點數6，則方差，所以當平均數為3.4，方差為1.04時，一定不會出現點數6；對于丙同學，當擲骰子出現的結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數為3，眾數為3，可以出現點數6；對于丁同學，當投擲骰子出現的結果為時，滿足平均數為，中位數為，可以出現點數.綜上，根據統計結果，數據中肯定沒有出現點數6的是乙同學.故答案為：乙16.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，連接并延長交于點，連接，若存在點使成立，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】設，所以存在點使等價于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】設，則.顯然當靠近右頂點時，，所以存在點使等價于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，當且僅當時等號成立.由得，所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：求離心率范圍關鍵是建立的不等式，此時將問題轉化為，從而只需求的最小值，求最小值的方法是結合焦半徑性質使用基本不等式求解.四、解答題（共7個題，17題10分，18題—22題每題12分，共70分）17.在平面直角坐標系中，存在四點，，，.（1）求過A，B，C三點的圓M的方程，并判斷D點與圓M的位置關系；（2）若過D點的直線l被圓M截得的弦長為8，求直線l的方程.【答案】（1），D在圓M內；（2）或.【解析】【分析】（1）設出圓的一般方程,利用待定系數法計算可得圓的方程，把D坐標代入圓的方程判定位置關系即可；（2）對直線分類討論，設出直線方程，利用直線與圓相交，已知弦長求直線方程.【小問1詳解】設圓M方程為，把A，B，C三點坐標代入可得：解得，，，所以圓M方程是,把D點坐標代入可得：，故D在圓M內；【小問2詳解】由（1）可知圓M：，則圓心，半徑，由題意可知圓心到直線l的距離是3，當直線l斜率存在時，設直線l方程為：，所以由點到直線的距離公式得，解得，故直線l的方程為；當直線l斜率不存在時，則直線l方程為：，此時圓心到直線l的距離是3，符合題意.綜上所述，直線l的方程為或.18.我校舉行的“青年歌手大選賽”吸引了眾多有才華的學生參賽．為了了解本次比賽成績情況，從中抽取了50名學生的成績作為樣本進行統計．請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數頻率第1組[50，60）80.16第2組[60，70）a▓第3組[70，80）200.40第4組[80，90）▓0.08第5組[90，100]2b合計▓▓（1）求出a，b，x，y的值；（2）在選取的樣本中，從成績是80分以上的同學中隨機抽取2名同學參加元旦晚會，求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率；（3）根據頻率分布直方圖，估計這50名學生成績的中位數、平均數和方差（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）．【答案】（1）a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004（2）（3）中位數為70.5，平均數為70.2，方差為96.96【解析】【分析】（1）利用頻率＝，及表示頻率分布直方圖的縱坐標即可求出a，b，x，y；（2）由（2）可知第四組的人數，已知第五組的人數是2，利用組合的計算公式即可求出從這6人中任選2人的種數，再分兩類分別求出所選的兩人來自同一組的情況，利用互斥事件的概率和古典概型的概率計算公式即可得出．（3）根據頻率分布直方圖，估計這50名學生成績的中位數、平均數和方差．【小問1詳解】由題意可知，樣本容量n＝，∴b＝＝0.04，第四組的頻數＝50×0.08＝4，∴.y＝＝0004，x＝×＝0.032．∴a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．【小問2詳解】由題意可知，第4組共有4人，記為A，B，C，D，第5組共有2人，記為X，Y．從競賽成績是80分以上（含80分）的同學中隨機抽取2名同學，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15種情況．設“隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組”為事件E，有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9種情況．所以隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率是P（E）＝．∴隨機抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率．【小問3詳解】∵[50，70）的頻率為：，[70，80）的頻率為0.4，∴中位數為：，平均數為：．方差為：．19.已知拋物線的焦點為，點在上，且．（1）求點的坐標及的方程；（2）設動直線與相交于兩點，且直線與的斜率互為倒數，試問直線是否恒過定點？若過，求出該點坐標；若不過，請說明理由．【答案】（1）的坐標為，的方程為；（2）直線過定點.【解析】【分析】(1)利用拋物線定義求出，進而求出p值即可得解.(2)設出直線的方程，再聯立直線l與拋物線C的方程，借助韋達定理探求出m與n的關系即可作答.【小問1詳解】拋物線的準線：，于是得，解得，而點在上，即，解得，又，則，所以的坐標為，的方程為.【小問2詳解】設，直線的方程為，由消去x并整理得：，則，，，因此，，化簡得，即，代入方程得，即，則直線過定點，所以直線過定點.【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線相交，直線過定點問題，設出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯立，借助韋達定理求出直線斜率與縱截距的關系即可解決問題.20.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，點為棱的中點..證明：平面.若為棱上一點，滿足，求二面角的余弦值.【答案】證明見解析；.【解析】【分析】在上找中點，連接,，利用三角形中位線性質得出，因為底面是直角梯形，,所以能得出平行且等于，得出四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定，即可證出平面；根據,求出向量的坐標，進而求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值.【詳解】解：證明：在上找中點，連接,，圖象如下：和分別為和的中點，，且,又底面是直角梯形，，且，且.即四邊形為平行四邊形..平面，平面，平面.以為原點，以所在直線為軸,所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，,，，，,，.由為棱上一點，設,所以,由，得,解得，即,,設平面的法向量為，由可得所以，令，則，則，取平面的法向量為，則二面角的平面角滿足：,故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定，空間二面角的平面角，建立空間直角坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題，屬于難題.21.已知O為坐標原點，，，點P滿足，記點P的軌跡為曲線（1）求曲線E的方程；（2）過點的直線l與曲線E交于兩點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據雙曲線的定義，易判斷點的軌跡是雙曲線的右支，求出的值，即得；（2）設出直線方程與雙曲線方程聯立消元得到一元二次方程，推出韋達定理，依題得出參數的范圍，將所求式等價轉化為關于的函數式，通過整體換元即可求出其取值范圍.【小問1詳解】因，，且動