/江西省2023~2024學年度高二期末聯考數學本試卷共150分，考試用時120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的子集的個數是（）A.16 B.8 C.7 D.42.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.若，且，則（）．A6 B.7 C.8 D.94.設，，，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.5.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離與時間之間的函數關系式為，則時，此木塊在水平方向的瞬時速度為（）A. B.C. D.6.已知等差數列，則“”是“”成立的（）條件.A充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要7.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經過后茶水的溫度為，且.當茶水溫度降至時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（）（參考數據：）A. B. C.8min D.8.已知函數.若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.十六世紀中葉，英國數學教育家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號引入對不等式的發展影響深遠.已知，則下列結果正確的有（）A. B.C. D.10.已知函數則下列說法正確的有（）A.當時，函數的定義域為B.函數有最小值C.當時，函數的值域為RD.若在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是11.函數稱為取整函數，也稱高斯函數，其中表示不大于實數的最大整數，例如：，則下列命題正確的是（）A.函數為偶函數B.函數的值域為C.若，則的最小值為D.不等式的解集為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則__________.13.已知數列的前項和為，則當最小時，的值為__________.14.已知函數定義域為的圖象關于點對稱，且，都有．當時，，則函數在區間上有__________個零點.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15已知集合，.（1）求；（2）設集合，若，求實數的取值范圍.16.已知關于x的函數，其中．（1）當時，求的值域；（2）若當時，函數的圖象總在直線的上方，為整數，求的值．17.某公園為了美化游園環境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區域將種植牡丹?郁金香?月季（其中區域的形狀?大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.（1）用含有的代數式表示，并寫出的取值范圍；（2）當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？18.已知數列滿足.記.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的前項和；（3）若，數列的前項和為，求證：.19.已知函數.（1）當時，求函數極值；（2）討論在區間上單調性；（3）若恒成立，求實數的取值范圍.江西省重點中學協作體2023~2024學年度高二期末聯考數學本試卷共150分，考試用時120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的子集的個數是（）A.16 B.8 C.7 D.4【答案】D【解析】【分析】首先判斷出集合有2個元素，再求子集個數即可.【詳解】易知集合有2個元素，所以集合的子集個數是.故選：D.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可；【詳解】命題“，”為存在量詞命題，其否定為：，.故選：D3.若，且，則（）．A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】根據條件求出的解析式，再利用即可求出結果.【詳解】因為，令，則，所以，即，又，所以，得到，故選：A.4.設，，，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數與的單調性可得答案.【詳解】由函數在上是單調遞減函數，則，即由函數在上是單調遞增函數，則，即所以故選：A5.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離與時間之間的函數關系式為，則時，此木塊在水平方向的瞬時速度為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導數的幾何意義求解.【詳解】解：，時，此木塊在水平方向的瞬時速度為.故選：C.6.已知等差數列，則“”是“”成立的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據等差數列等差中項的應用即可判斷充分性成立，舉反例否定必要性即可.【詳解】當時，由等差數列下標和性質得顯然成立，故充分性成立，設等差數列首項為，公差為，當時，無論取何值，一定成立，無法推出，可得必要性不成立，則“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.7.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研究可知：在室溫下，某種綠茶用的水泡制，經過后茶水的溫度為，且.當茶水溫度降至時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（）（參考數據：）A. B. C.8min D.【答案】B【解析】【分析】根據初始條件求得參數，然后利用已知函數關系求得口感最佳時泡制的時間．【詳解】由題意可知，當時，，則，解得，所以，當時，，即，則，所以茶水泡制時間大的為7min.故選：B.8.已知函數.若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】切點為，利用導數的幾何意義求切線的斜率，設切線為：，可得，設，求，利用導數求的單調性和極值，切線的條數即為直線與圖象交點的個數，結合圖象即可得出答案.【詳解】設切點為，由可得，所以在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線為：，因為切線過點，所以，即，即這個方程有三個不等根即可，切線的條數即為直線與圖象交點的個數，設，則由可得，由可得：或，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，當趨近于正無窮，趨近于0，當趨近于負無窮，趨近于正無窮，的圖象如下圖，且，要使與的圖象有三個交點，則.則的取值范圍是:.故選：A.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.十六世紀中葉，英國數學教育家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈里奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.已知，則下列結果正確的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用不等式的基本性質求解.【詳解】對于A中，由，可得，由不等式的性質，可得A正確；對于B中，由，根據不等式的性質，可得正確；對于C中，由，可得C錯誤；對于D中，由，可得D錯誤.故選：AB.10.已知函數則下列說法正確的有（）A.當時，函數的定義域為B.函數有最小值C.當時，函數的值域為RD.若在區間上單調遞增，則實數a的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】A項代入參數，根據對數型函數定義域求法進行求解；B項為最值問題，舉出反例即可；C項代入參數值即可求出函數的值域；D項為已知單調性求參數范圍，根據二次函數單調性結合對數函數定義域求解即可.【詳解】對于A，當時，，令，解得或，則的定義域為，故A正確；對于B、C，當時，的值域為R，無最小值，故B錯誤，C正確；對于D，若在區間上單調遞增，則在上單調遞增，且當時，，則，解得，所以實數a的取值范圍是，故D錯誤.故選：AC11.函數稱為取整函數，也稱高斯函數，其中表示不大于實數的最大整數，例如：，則下列命題正確的是（）A.函數為偶函數B.函數的值域為C.若，則的最小值為D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，代值驗證即可，對于B，根據高斯函數的定義分析判斷，對于C，先求出的范圍，然后根據對勾函數的性質求解判斷即可，對于D，解不等式后再根據高斯函數的定義可求得結果.【詳解】對于A，，顯然，故錯誤；對于，由取整函數的定義知：，函數的值域為，故B正確；對于C，由于，則，易知，而函數在上單調遞增，當時，的最小值為，故C正確；對于D，，則，故，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則__________.【答案】8【解析】【分析】根據題意，結合指數冪與對數的運算法則，準確計算，即可求解.【詳解】由函數，可得，所以.故答案為：.13.已知數列的前項和為，則當最小時，的值為__________.【答案】6【解析】【分析】利用通項的正負性可求.【詳解】根據題意，數列中，，當時，有，當時，有，則當時，最小.所以當最小時，.故答案為：614.已知函數的定義域為的圖象關于點對稱，且，都有．當時，，則函數在區間上有__________個零點.【答案】6【解析】【分析】由的圖象關于點對稱得到是奇函數，由得到的圖象關于直線對稱，進而得到是函數的一個周期，由當時的解析式得到函數在區間上僅有1個零點，且零點在區間上，由上的草圖結合周期性和對稱性得到零點個數.【詳解】的圖象關于點對稱，函數是定義域為的奇函數，，且，又，即函數的圖象關于直線對稱，且，，是函數的一個周期，.當時，，所以在上單調遞增，且，，函數在區間上僅有1個零點，且零點在區間上，由對稱性，知函數在區間上有且僅有1個零點，是定義域為的奇函數且是4是它的一個周期，，函數的圖象關于點中心對稱，函數在區間上有且僅有2個零點，函數在區間上沒有零點，函數在區間上沒有零點，結合，得函數在區間上有6個零點.故答案為：6.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）求；（2）設集合，若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）確定或，，再計算補集和并集即可.（2）確定，考慮和兩種情況，計算得到答案.【小問1詳解】集合或，，故，.【小問2詳解】因，所以，當時，，所以；當時，或，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為.16.已知關于x的函數，其中．（1）當時，求的值域；（2）若當時，函數的圖象總在直線的上方，為整數，求的值．【答案】（1）（2）或1．【解析】【分析】（1）用換元法轉化函數為二次函數在部分區間的值域問題，由二次函數的單調性計算即可；（2）分離參數將問題轉化為恒成立，計算在上的最大值后解一元二次不等式即可.【小問1詳解】當時，，令，則，顯然該二次函數在上單調遞增，所以值域為．小問2詳解】由題可知，在上恒成立．，又易知在上單調遞增．所以，因此，解得，又為整數，所以或1．17.某公園為了美化游園環境，計劃修建一個如圖所示的總面積為750的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為的小路，中間三個矩形區域將種植牡丹?郁金香?月季（其中區域的形狀?大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.（1）用含有的代數式表示，并寫出的取值范圍；（2）當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？【答案】（1）（2）當時，才能使鮮花種植的總面積最大【解析】【分析】（1）根據題意，設矩形花園的長為，由條件可得，即可得到結果；（2）由（1）中的結論可得鮮花種植的總面積為與矩形花園的一條邊長的函數關系式，再由基本不等式代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】設矩形花園的長為，矩形花園的總面積為，，可得，又陰影部分是寬度為的小路，可得，可得，即關于的關系式為.【小問2詳解】由（1）知，，則，當且僅當時，即時，等號成立，當時，才能使鮮花種植總面積最大，最大面積為.18.已知數列滿足.記.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的前項和；（3）若，數列的前項和為，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據給定的遞推公式，結合等比數列定義推理即得.（2）利用（1）的結論求出，再利用分組求和及錯位相減法求和即得.（3）由（2）求出，再利用裂項相消法求和即得【小問1詳解】由，得，而，則，又，因此，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）得，，則，令數列的前項和為，則，，兩式相減得，則，所以.【小問3詳解】由（2）知，，而，所以.19.已知函數.（1）當時，求函數極值；（2）討論在區間上單調性；（3）若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）極大值，無極小值（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求導，由導函數的正負確定函數單調性，即可根據極值點定義求解，（2）求導，分類討論導函數的正負即可求解，（3）構造函數，利用導數求解函數的最值即可求解，或者利用對數運算，結合換元法將不等式轉化為，設，求導求解即可.【小問1詳解】函數的定義域為，當時，，求導得，由，得，由，得，由，得，因此在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值，無極小值.【小問2詳解】由，在時，，若，,即在區間上單調遞增；若，,即在區間上單調遞減；若，令，令，可知在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：時，在區間上單調遞增；時，在區間上單調遞減；時，在上單調遞增，在上單調遞減.【小問3詳解】方法1：根據題意可知，，設，則，令，則定義域上單調遞增，易知，即，使得，即時