高級中學名校試題PAGEPAGE1浙江省天域全國名校協作體2025屆高三下學期3月聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，又因為集合，則.故選：B.2.函數是（）A.最小正周期為的奇函數 B.最小正周期為的偶函C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期為的偶函數【答案】D【解析】因為函數，所以函數的最小正周期為，函數是偶函數.故選：D.3.已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為向量滿足，所以，解得，所以在方向上的投影向量是，故選：D4.設為正實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，由函數在上為增函數，所以，令，則在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增，則，所以在區間上恒成立，又與互為反函數，關于對稱，所以當時，，所以，則，故“”是“”的充分條件，反之，若，當時，，但，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知等差數列的前項和為，且，則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】，，，，解得：，，故選：D．6.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C7.正四棱臺側棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，，，設為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，又側棱長為，則，又易知，設，則，，故，解得：，故，所以球的表面積為，故選：B.8.已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與雙曲線左支交于，兩點，兩點關于軸對稱，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，因為關于軸對稱，則，設，，則，又，得到，所以，又，則，，同理可得，因為，所以，整理并化簡得到，又因為，將代入，并化簡得，所以，整理得到，所以故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數據的第百分位數為B.已知隨機變量，若，則C.樣本點的經驗回歸方程為，若樣本點與的殘差相等，則D.，，，和，，，的方差分別為和，若且，則【答案】BC【解析】對于選項A，將數據從小排到大得到，又，數據的第百分位數為，故選項A錯誤，對于選項B，因為，則，所以選項B正確，對于選項C，由題知，得到，所以選項C正確，對于選項D，設，，，的平均數為，，，，的平均數為，因為，則，又，所以，故選D錯誤，故選：BC.10.已知方程在復數范圍內有n個根，且這n個根在復平面上對應的點將單位圓n等分.下列復數是方程的根的是（）A.1 B.i C. D.【答案】ACD【解析】由題意得，方程在復數范圍內有個根，根據三角函數定義得這個根在復平面上對應的點坐標為，∴在復數范圍內的根為.A.當時，，故是方程的根，A正確.B.，由得，不是整數，B錯誤.C.，由得，符合要求，C正確.D.當時，，故是方程的根，D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列命題中正確的是（）A.是的極大值B.當時，C.當時，有且僅有一個零點，且D.若存在極小值點，且，其中，則【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，則，當時，令，得到或，當或時，，當時，，所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，當時，，由極值的定義知，的極大值為，無極小值，當時，令，得到或，當或時，，當時，，所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，綜上，是的極大值，所以選項A正確，對于選項B，因為，由選項A知，在區間上單調遞增，又，則，，所以，故選項B錯誤，對于選項C，當時，，由選項A知，的增區間為，，減區間為，當時，，，，由零點存在性原理知，當時，有且僅有一個零點，且，所以選項C正確，對于選項D，因為存在極小值點，由選項A知，，得到，因為，則，整理得到，即，又，所以，故選項D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與圓相交，則實數k的取值范圍為________．【答案】【解析】，即，直線方程，直線與圓相交，則，解得．故答案為：．13.若函數在上恰有2個零點，則符合條件的a為_______.【答案】1【解析】令，則或，由，當時，在上沒有零點，則在上應有2個零點，因為，所以，即，與聯立得，因為，所以a無解；當時，在上有1個零點，而在上有1個零點，滿足題意；綜上得符合條件的為1．故答案為：1．14.若存在實數使得，則實數的取值范圍為________.【答案】【解析】因為，設，，，令，則，又易知，點在圓上，如圖所示，則，又，故的最大值為，因為存在實數使得所以，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在斜三棱柱中，側面底面，側棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段上一點，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正切值．（1）證明：延長交于點，連接，，，且，，點為的中點，為的重心，、、三點共線，且，，又側面，側面，側面；（2）解：在側面內，過作，垂足為，側面底面，，側面，底面，因為底面，所以，又側棱與底面成的角，，，，，在底面內，過作交的延長線于點，連接，，平面，平面，又平面，，平面與底面的交線為，為所求二面角的平面角，，，，在中，，故平面與底面成銳二面角的正切值為．16.已知，，，.（1）討論的單調性；（2）若，曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線與它垂直，求實數b的取值范圍.解：（1）由題意得，函數定義域為.∵，∴.若，則，在上單調遞減.若，令得，當時，，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減.綜上得，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）當時，，∵，∴，∴曲線上任意一點處的切線斜率為，曲線上的任意一點處的切線斜率為.由題意得，對任意的，總存在，使得等式成立，將等式變形為，則函數的值域是函數值域的子集.由得，，故函數的值域為，∴.∵，∴，解得或，∴實數b的取值范圍是.17.在列聯表（表一）的卡方獨立性檢驗中，，其中為第i行第j列的實際頻數，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數，為第i行第j列的理論頻數，如.abcd10203040（表一）（表二）（1）求表二列聯表值；（2）求證：題干中與課本公式等價，其中.（1）解：由題意得，所以；（2）證明：列聯表如下：abcd則，所以同理所以18.已知拋物線，為的焦點，為的準線是上兩點，且（O為坐標原點），過作，垂足為D，點D的坐標為.（1）求C的方程；（2）在C上是否存在點，使得過F的任意直線交C于S，T兩點，交l于M，直線的斜率均成等差數列？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.解：（1）由題意可得：，所以，所以直線的方程為：，設，聯立拋物線方程消去得：，所以，所以，因為，所以，即，解得：，所以拋物線方程為：（2）由（1）得，假設存在滿足題意，過點得動直線方程為，聯立，解得則，設，聯立，消去得：，所以，直線得斜率為，直線得斜率為，直線的斜率為，因為直線的斜率均成等差數列，所以，整理得：，對任意恒成立，所以，解得：或，此時，即存在或滿足題意；19.已知N為偶數，給定數列，，…，，記為，對作如下變換：①將中的奇數項取出，按原順序構成新數列的前項；②將中的偶數項取出，按原順序構成新數列的第項到第N項.稱上述操作為T變換，構成的新數列為，記，定義為操作k次后得到的新數列，即，，其中表示數列中的第i項.（1）若，求，，；（2）令，，其中數列的各項互不相同，記，規定為集合C的元素個數：（i）求；（ii）求不超過10的最大正整數m，滿足.解：（1），，；（2）（i）當時，；當時，；記滿足，若，則，有當時，；，為以2為首項以2為公比的等比數列，，此時有，可知，當時，，故，此時有，因此為周期數列，；（ii）因為，若，則不斷操作下去，有，且對于任意，要么，要么，于是有，所以，經檢驗，不超過10的最大正整數，此時，，以此類推，符合條件.浙江省天域全國名校協作體2025屆高三下學期3月聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，又因為集合，則.故選：B.2.函數是（）A.最小正周期為的奇函數 B.最小正周期為的偶函C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期為的偶函數【答案】D【解析】因為函數，所以函數的最小正周期為，函數是偶函數.故選：D.3.已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為向量滿足，所以，解得，所以在方向上的投影向量是，故選：D4.設為正實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，由函數在上為增函數，所以，令，則在區間上恒成立，所以在區間上單調遞增，則，所以在區間上恒成立，又與互為反函數，關于對稱，所以當時，，所以，則，故“”是“”的充分條件，反之，若，當時，，但，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知等差數列的前項和為，且，則（）A.4 B.8 C.10 D.12【答案】D【解析】，，，，解得：，，故選：D．6.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C7.正四棱臺側棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，，，設為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，又側棱長為，則，又易知，設，則，，故，解得：，故，所以球的表面積為，故選：B.8.已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與雙曲線左支交于，兩點，兩點關于軸對稱，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，因為關于軸對稱，則，設，，則，又，得到，所以，又，則，，同理可得，因為，所以，整理并化簡得到，又因為，將代入，并化簡得，所以，整理得到，所以故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.下列說法中，正確的是（）A.數據的第百分位數為B.已知隨機變量，若，則C.樣本點的經驗回歸方程為，若樣本點與的殘差相等，則D.，，，和，，，的方差分別為和，若且，則【答案】BC【解析】對于選項A，將數據從小排到大得到，又，數據的第百分位數為，故選項A錯誤，對于選項B，因為，則，所以選項B正確，對于選項C，由題知，得到，所以選項C正確，對于選項D，設，，，的平均數為，，，，的平均數為，因為，則，又，所以，故選D錯誤，故選：BC.10.已知方程在復數范圍內有n個根，且這n個根在復平面上對應的點將單位圓n等分.下列復數是方程的根的是（）A.1 B.i C. D.【答案】ACD【解析】由題意得，方程在復數范圍內有個根，根據三角函數定義得這個根在復平面上對應的點坐標為，∴在復數范圍內的根為.A.當時，，故是方程的根，A正確.B.，由得，不是整數，B錯誤.C.，由得，符合要求，C正確.D.當時，，故是方程的根，D正確.故選：ACD.11.已知函數，則下列命題中正確的是（）A.是的極大值B.當時，C.當時，有且僅有一個零點，且D.若存在極小值點，且，其中，則【答案】ACD【解析】對于選項A，因為，則，當時，令，得到或，當或時，，當時，，所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，當時，，由極值的定義知，的極大值為，無極小值，當時，令，得到或，當或時，，當時，，所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，綜上，是的極大值，所以選項A正確，對于選項B，因為，由選項A知，在區間上單調遞增，又，則，，所以，故選項B錯誤，對于選項C，當時，，由選項A知，的增區間為，，減區間為，當時，，，，由零點存在性原理知，當時，有且僅有一個零點，且，所以選項C正確，對于選項D，因為存在極小值點，由選項A知，，得到，因為，則，整理得到，即，又，所以，故選項D正確，故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與圓相交，則實數k的取值范圍為________．【答案】【解析】，即，直線方程，直線與圓相交，則，解得．故答案為：．13.若函數在上恰有2個零點，則符合條件的a為_______.【答案】1【解析】令，則或，由，當時，在上沒有零點，則在上應有2個零點，因為，所以，即，與聯立得，因為，所以a無解；當時，在上有1個零點，而在上有1個零點，滿足題意；綜上得符合條件的為1．故答案為：1．14.若存在實數使得，則實數的取值范圍為________.【答案】【解析】因為，設，，，令，則，又易知，點在圓上，如圖所示，則，又，故的最大值為，因為存在實數使得所以，即，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在斜三棱柱中，側面底面，側棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段上一點，且．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正切值．（1）證明：延長交于點，連接，，，且，，點為的中點，為的重心，、、三點共線，且，，又側面，側面，側面；（2）解：在側面內，過作，垂足為，側面底面，，側面，底面，因為底面，所以，又側棱與底面成的角，，，，，在底面內，過作交的延長線于點，連接，，平面，平面，又平面，，平面與底面的交線為，為所求二面角的平面角，，，，在中，，故平面與底面成銳二面角的正切值為．16.已知，，，.（1）討論的單調性；（2）若，曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線與它垂直，求實數b的取值范圍.解：（1）由題意得，函數定義域為.∵，∴.若，則，在上單調遞減.若，令得，當時，，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減.綜上得，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）當時，，∵，∴，∴曲線上任意一點處的切線斜率為，曲線上的任意一點處的切線斜率為.由題意得，對任意的，總存在，使得等式成立，將等式變形為，則函數的值域是函數值域的子集.由得，，故函數的值域為，∴.∵，∴，解得或，∴實數b的取值范圍是.17.在列聯表（表一）的卡方獨立性檢驗中，，其中為第i行第j列的實際頻數，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數，為第i行第j列的理論頻數，如.abcd10203