高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省西安市長安區2025屆高三第二次模擬考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵對數函數在上為增函數，∴由得，故，∵，∴.故選：D.2.若，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，可得：即，解得

分子分母同時除以（因為，若，則不存在），可得：，將代入上式可得：

，所以.故選：B.3.已知復數是純虛數，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以要使為純虛數，則，解得：．故選：B．4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得：，因為，所以，解得：，故選：C5.設橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為B．若，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由橢圓的幾何性質，因為，可得，所以，，則，所以橢圓的方程為.故選：A.6.一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為9，則該圓臺的體積為（）A. B.2π C. D.7π【答案】D【解析】設圓臺的高為，由題意可知，，得，圓臺的體積.故選：D7.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，由余弦定理得，所以，又，所以，因為，所以，即，又，所以，所以或（舍），所以，所以.故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數且滿足，當時，．若，則實數a的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因為函數是定義在R上的奇函數，所以，又因為，所以函數的圖象關于直線對稱，且，所以函數是以4為周期的周期函數.因為當時，，所以函數在上單調遞增.函數的草圖如下：根據圖象可知，若，則，，解得，.所以實數的取值范圍是：，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知雙曲線的右焦點為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點，則下列說法中正確的是（）A.C的虛軸長為B.C的離心率為C.的最小值為D.過點能作4條直線與C僅有一個交點【答案】ACD【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，解得，所以雙曲線，對于A，的虛軸長，A正確；對于B，的離心率，B錯誤；對于C，點到直線的距離為，即的最小值為，C正確；對于D，過點垂直于軸的直線為，此直線與雙曲線相切與點，符合題意，設過點斜率存在的直線為，聯立方程組，得，當時，即時，直線平行于漸近線，與雙曲線只有一個交點，符合題意，當時，，解得，此時直線與雙曲線相切，故過點能作4條直線與C僅有一個交點，D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.是奇函數B.最小正周期為2πC.區間上單調遞增D.在區間內有40個極值點【答案】AD【解析】A.函數的定義域為，，所以是奇函數，故A正確；B.，故B錯誤；C.時，，，當，，此時，所以在區間單調遞增，當，，此時，所以在區間單調遞減，故C錯誤；D.時，，，，當，則，共20個變號零點，所以在區間有20個極值點，因為函數是奇函數，所以函數在區間共有40個極值點，故D正確.故選：AD11.對于正整數n，是小于或等于n的正整數中與n互質的數的數目（若兩個正整數的最大公因數是1，則稱這兩個正整數互質）．函數以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如，（10與1，3，7，9均互質）則（）A.B.數列是單調遞增數列C.若p為質數，則數列為等比數列D.數列的前5項和等于【答案】AC【解析】A.12與1,5,7,11均互質，所以，17與1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互質，所以，所以，故A正確；B.7與1,2,3,4,5,6互質，則，9與1,2,4,5,7,8互質，所以，，所以數列不是單調遞增數列，故B錯誤；C.設為質數，則小于等于的正整數中與互質的數為，即每個數當中就有一個與不互質，所以互質的數的數目為,故，所以為常數，所以數列為等比數列，故C正確；根據選項C可知，，數列的前5項和為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設均為實數，且，則____________.【答案】【解析】，取對數得，，；.故答案為:.13.排球比賽實行“五局三勝制”（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束），根據此前的若干次比賽數據統計可知，在甲、乙兩隊的比賽中，每場比賽甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為，則在這場“五局三勝制”的排球比賽中甲隊獲勝的概率為________．【答案】【解析】命題可以轉化為：即使某一隊獲勝三場，也照常進行后續的場次，直至五場全部結束，最后獲勝場次數多的隊獲勝。二者等效（區別僅在于勝負已定后，后續場次是否真正進行）.此時，甲隊獲勝的概率即為甲隊獲勝場數不小于的概率，即．故答案為：．14.在三棱錐中，，且．記直線，與平面所成角分別為，，已知，當三棱錐的體積最小時，平面截三棱錐的外接球的截面面積為________.【答案】【解析】如圖，過點作平面，垂足為，則，由平面得.在中，，在中，，∴，故.由，得，且.當三點構成三角形時，，即，，，當點在線段上時，由得，，，此時三棱錐的高最小，體積最小.當點在線段上時，由得，，取線段中點，由和為直角三角形得，，故點為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，∵為外接球直徑，平面，∴平面截三棱錐的外接球的截面面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某校為了解學生數學學科核心素養發展水平，組織本校2000名學生進行針對性檢測（檢測分為初試和復試），并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；（同一組數據用該區間的中點值作代表）（2）根據頻率分布直方圖，求樣本的80％分位數（四舍五入精確到整數）；（3）若所有學生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，．初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數（四舍五入精確到整數）．附：若隨機變量服從正態分布，則，，．解：（1）設樣本平均數的估計值為，則.所以，樣本平均數的估計值為62.（2）由圖可知，前三組的頻率和為，第四組的頻率為，所以樣本的80％分位數為（3）由（1）可知，樣本平均數的估計值，所以，則所以，估計能參加復試的人數為16.已知數列是等差數列，且，．（1）求數列的通項公式；（2）在和之間插入k個相同的數，構成一個新數列：，，，，，，，，，，…，求的前100項和．解：（1）因為數列是等差數列，設首項為，公差為，依題意，，，即，解得，所以等差數列的通項公式為，（2）設和插入的個數構成一組數，則前組共有個數，令，又，解得：；當時，，∴的前100項中包含前12組數和第13組數的前10個，∴．17.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）設函數．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實數，使得曲線關于直線對稱．解：（1）由題意可知，則的定義域為，，當時，在區間上恒成立，則在上單調遞增，當時，令，即，解得，若，，若，，則在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）（i）函數，則，，故．（ii）函數的定義域為．若存在，使得曲線關于直線對稱，則關于直線對稱，所以，又．可知曲線關于直線對稱.18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，三角形是正三角形，是棱的中點，設平面與平面的交線為．（1）證明：平面；（2）證明：；（3）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：四邊形是菱形，所以，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）證明：取與中點，．連接，，，，則運用中位線性質知，且,則，，則四邊形是平行四邊形，是正三角形，易知，，底面是菱形，，則是正三角形，則，平面，平面，平面，，由于四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形，所以，，．（3）由（2）知為二面角的平面角，即，前面知道，則過做的垂線，以為坐標原點，為坐標軸，建立空間直角坐標系如圖，設，則，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則進而求得一個法向量為，設直線與平面所成角為，則．19.拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，由拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形．已知拋物線的焦點為F，直線過點F，過x軸下方的一點P作C的兩條切線和，且，分別交x軸于點A，B，交l于點M，N．（1）求拋物線C的標準方程；（2）若△PMN為阿基米德三角形，求∠MPN；（3）證明：切線三角形PAB的外接圓過定點．解：（1）由題意得，則，所以拋物線的方程為，（2）因為阿基米德三角形，所以分別與拋物線切于點，不妨設點在軸左側，則.由，得，則，所以的斜率為的斜案為1，所以，所以.（3）由（1）可知拋物線，設分別與拋物線切于點，由（1）可知直線的斜率為，直線的斜率為，所以直線的方程為.即直線的方程為，即，所以.設外接圓的圓心為，則圓心在線段的垂直平分線上，所以，則圓的半徑為，所以圓的方程為，又點在圓上，所以，即，所以，所以整理得，即，令，得，所以的外接圓過定點.陜西省西安市長安區2025屆高三第二次模擬考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵對數函數在上為增函數，∴由得，故，∵，∴.故選：D.2.若，則cos2α＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，可得：即，解得

分子分母同時除以（因為，若，則不存在），可得：，將代入上式可得：

，所以.故選：B.3.已知復數是純虛數，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以要使為純虛數，則，解得：．故選：B．4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，可得：，因為，所以，解得：，故選：C5.設橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為B．若，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由橢圓的幾何性質，因為，可得，所以，，則，所以橢圓的方程為.故選：A.6.一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為9，則該圓臺的體積為（）A. B.2π C. D.7π【答案】D【解析】設圓臺的高為，由題意可知，，得，圓臺的體積.故選：D7.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，由余弦定理得，所以，又，所以，因為，所以，即，又，所以，所以或（舍），所以，所以.故選：B.8.已知是定義在R上的奇函數且滿足，當時，．若，則實數a的取值范圍是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】因為函數是定義在R上的奇函數，所以，又因為，所以函數的圖象關于直線對稱，且，所以函數是以4為周期的周期函數.因為當時，，所以函數在上單調遞增.函數的草圖如下：根據圖象可知，若，則，，解得，.所以實數的取值范圍是：，.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知雙曲線的右焦點為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點，則下列說法中正確的是（）A.C的虛軸長為B.C的離心率為C.的最小值為D.過點能作4條直線與C僅有一個交點【答案】ACD【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，解得，所以雙曲線，對于A，的虛軸長，A正確；對于B，的離心率，B錯誤；對于C，點到直線的距離為，即的最小值為，C正確；對于D，過點垂直于軸的直線為，此直線與雙曲線相切與點，符合題意，設過點斜率存在的直線為，聯立方程組，得，當時，即時，直線平行于漸近線，與雙曲線只有一個交點，符合題意，當時，，解得，此時直線與雙曲線相切，故過點能作4條直線與C僅有一個交點，D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.是奇函數B.最小正周期為2πC.區間上單調遞增D.在區間內有40個極值點【答案】AD【解析】A.函數的定義域為，，所以是奇函數，故A正確；B.，故B錯誤；C.時，，，當，，此時，所以在區間單調遞增，當，，此時，所以在區間單調遞減，故C錯誤；D.時，，，，當，則，共20個變號零點，所以在區間有20個極值點，因為函數是奇函數，所以函數在區間共有40個極值點，故D正確.故選：AD11.對于正整數n，是小于或等于n的正整數中與n互質的數的數目（若兩個正整數的最大公因數是1，則稱這兩個正整數互質）．函數以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如，（10與1，3，7，9均互質）則（）A.B.數列是單調遞增數列C.若p為質數，則數列為等比數列D.數列的前5項和等于【答案】AC【解析】A.12與1,5,7,11均互質，所以，17與1,2,3,4,5,…,13,14,15,16均互質，所以，所以，故A正確；B.7與1,2,3,4,5,6互質，則，9與1,2,4,5,7,8互質，所以，，所以數列不是單調遞增數列，故B錯誤；C.設為質數，則小于等于的正整數中與互質的數為，即每個數當中就有一個與不互質，所以互質的數的數目為,故，所以為常數，所以數列為等比數列，故C正確；根據選項C可知，，數列的前5項和為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設均為實數，且，則____________.【答案】【解析】，取對數得，，；.故答案為:.13.排球比賽實行“五局三勝制”（當一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結束），根據此前的若干次比賽數據統計可知，在甲、乙兩隊的比賽中，每場比賽甲隊獲勝的概率為，乙隊獲勝的概率為，則在這場“五局三勝制”的排球比賽中甲隊獲勝的概率為________．【答案】【解析】命題可以轉化為：即使某一隊獲勝三場，也照常進行后續的場次，直至五場全部結束，最后獲勝場次數多的隊獲勝。二者等效（區別僅在于勝負已定后，后續場次是否真正進行）.此時，甲隊獲勝的概率即為甲隊獲勝場數不小于的概率，即．故答案為：．14.在三棱錐中，，且．記直線，與平面所成角分別為，，已知，當三棱錐的體積最小時，平面截三棱錐的外接球的截面面積為________.【答案】【解析】如圖，過點作平面，垂足為，則，由平面得.在中，，在中，，∴，故.由，得，且.當三點構成三角形時，，即，，，當點在線段上時，由得，，，此時三棱錐的高最小，體積最小.當點在線段上時，由得，，取線段中點，由和為直角三角形得，，故點為三棱錐外接球的球心，外接球半徑，∵為外接球直徑，平面，∴平面截三棱錐的外接球的截面面積為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某校為了解學生數學學科核心素養發展水平，組織本校2000名學生進行針對性檢測（檢測分為初試和復試），并隨機抽取了100名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；（同一組數據用該區間的中點值作代表）（2）根據頻率分布直方圖，求樣本的80％分位數（四舍五入精確到整數）；（3）若所有學生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，．初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數（四舍五入精確到整數）．附：若隨機變量服從正態分布，則，，．解：（1）設樣本平均數的估計值為，則.所以，樣本平均數的估計值為62.（2）由圖可知，前三組的頻率和為，第四組的頻率為，所以樣本的80％分位數為（3）由（1）可知，樣本平均數的估計值，所以，則所以，估計能參加復試的人數為16.已知數列是等差數列，且，．（1）求數列的通項公式；（2）在和之間插入k個相同的數，構成一個新數列：，，，，，，，，，，…，求的前100項和．解：（1）因為數列是等差數列，設首項為，公差為，依題意，，，即，解得，所以等差數列的通項公式為，（2）設和插入的個數構成一組數，則前組共有個數，令，又，解得：；當時，，∴的前100項中包含前12組數和第13組數的前10個，∴．17.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）設函數．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實數，使得曲線關于直線對稱．解：（1）由題意可知，則的定義域為，，當時，在區間上恒成立，則在上單調遞增，當時，令，即，解得，若，，若，，則在上單調遞增，在上單調遞減，綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）（i）函數，則，，故．（ii）函數的定義域為．若存在，使得