高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山西省太原市2025屆高三一模考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋獾茫海?故選：C.3.已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕獾茫蔄正確.故選：A4.已知，，，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，.所以.故選：B5.已知的三條邊長分別為3，4，5，的兩個(gè)頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，其另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，則的離心率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知的三條邊長分別為，，，因?yàn)椋允侵苯侨切?設(shè)的兩個(gè)頂點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上.情況一：若焦距，則橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和.此時(shí)離心率.情況二：若焦距，則橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和.此時(shí)離心率.情況三：若焦距，則橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和.此時(shí)離心率.所以橢圓的離心率的最大值為.故選：C.6.將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，得到的新函數(shù)為當(dāng)時(shí)，,化簡得,即,則,其中，解得,，又因?yàn)?所以，所以故選：C.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是以1為公差的等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋裕玫剑矗驗(yàn)槭且?為公差的等差數(shù)列，所以，則，化簡得，即，因?yàn)椋裕獾茫瑒t，下面我們開始分析各個(gè)選項(xiàng)，對于A，，故A錯(cuò)誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯(cuò)誤，對于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B8.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，則，兩側(cè)平方得，即，所以，對于且，有，上，即在上單調(diào)遞增，上，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，在上值域?yàn)椋谏现涤驗(yàn)椋谏现涤驗(yàn)椋?dāng)時(shí)，，則有三個(gè)根，則，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，可得或，共有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，或，且，若，則，即為其中的兩個(gè)根，此時(shí)，結(jié)合上述分析且有且僅有一個(gè)根，共有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題設(shè)；若，則為其中的兩個(gè)根，而且有且僅有一個(gè)根為，此時(shí)，一共只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題設(shè)；若，則，此時(shí)為其中一個(gè)根，此時(shí)，結(jié)合上述分析且有且僅有一個(gè)根，共有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題設(shè)；綜上所述，的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為3，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7B.數(shù)據(jù)的方差為11C.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.數(shù)據(jù)的方差為5【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為3，所以由平均數(shù)性質(zhì)得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確，對于B，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為6，所以數(shù)據(jù)的方差為，故B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為3，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確，對于D，由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新方差為，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】,即,解不等式可得,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?所以,則,函數(shù)在上單調(diào)遞增；對于選項(xiàng)A：已知,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故A正確；對于選項(xiàng)B：由且，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故B正確；對于選項(xiàng)C：由且，可得,，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榍?所以，,又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離和為5，記其軌跡為曲線．點(diǎn)，是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的方程為B.對于任意，都存在點(diǎn)，，使得成立C.當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，則D.若點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】對A：根據(jù)題意，列方程：.當(dāng)時(shí)，化簡可得：；當(dāng)時(shí)，化簡可得：.故A錯(cuò)誤.對B：由A，作出曲線如下：可知曲線關(guān)于軸對稱，所以對于任意，都存在點(diǎn)，，只要，，就能使得成立，故B正確；對C：因?yàn)椋砸欢ǚ謩e在曲線（）和（）上.不放設(shè)，（），則，因?yàn)椋?故C正確；對D：若，因?yàn)椋P(guān)于對稱，所以當(dāng)，分別對應(yīng)點(diǎn)和，時(shí)，取得最大值；當(dāng)接近曲線的上下頂點(diǎn)時(shí)，接近于0；若，由C可知，，且，.所以綜上：，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，令可得所以的展開式中的系數(shù)是故答案為：13.已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1和3，球與該圓臺的上、下底面及其側(cè)面都相切，則球的表面積為________．【答案】【解析】設(shè)圓臺的高為,球的半徑為，作出圓臺的軸截面，如圖所示，，已知圓臺的上、下底面半徑分別為，斜邊為圓臺母線長，圓臺的軸截面等腰梯形的高等于球的直徑2,因?yàn)榍蚺c圓臺側(cè)面相切，所以,則，所以,所以，同時(shí)，由勾股定理可得,將,代入到中，得到，化簡得，，根據(jù)球的表面積公式,將代入公式可得：，綜上，球的表面積為.故答案為：.14.對于數(shù)列，稱為數(shù)列的1階商分?jǐn)?shù)列，其中；稱為數(shù)列的階商分?jǐn)?shù)列，其中，當(dāng)時(shí)，．已知數(shù)列，，且為數(shù)列的2階商分?jǐn)?shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為________．【答案】【解析】根據(jù)題目中的定義，數(shù)列的1階商分?jǐn)?shù)列中，滿足：①，則②；2階商分?jǐn)?shù)列中，滿足：，根據(jù)題意，，將①，②代入上式可得：③，將和代入③得：，化簡后得到遞推關(guān)系式：，化簡可得：，由累乘法可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，，，滿足上式；所以，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，分別是的內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)，且，，求的值．解：（1）由得，由余弦定理得，∵，∴．（2）設(shè)，∵，∴，∴，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴．16.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，，求導(dǎo)得，由當(dāng)時(shí)，恒成立，得，恒成立，而，因此是函數(shù)的最小值，又在可導(dǎo)，則1是的極小值點(diǎn)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，令，，求導(dǎo)得，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面，平面平面，是等邊三角形．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，二面角的余弦值為，求的長．證明：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵平面，∴，∵是等邊三角形，∴，∵平面平面，∴平面，∴，∴，，，共面，∵四邊形邊長為2的菱形，，，中，，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴平面，∴．（2）由（1）得，，∵平面，∴，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則∴取，則，∴，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則∴取，則，，∴，∵二面角的余弦值為，∴，∴或（舍去），∴．18.已知圓，點(diǎn)，動點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相外切，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線，分別與曲線交于點(diǎn)，（點(diǎn)異于點(diǎn)）．①求證：直線過定點(diǎn)；②若，為垂足，求點(diǎn)的軌跡方程．解：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，，連接，，由題意可得且，所以，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支曲線，則，所以，，所以曲線的方程為．（2）①設(shè)，，直線的方程為，由得，∴，，直線的方程為，令，則，直線的方程為，令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，即，所以，所以直線經(jīng)過點(diǎn)，即點(diǎn)與重合，與題意不符；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，即，所以，所以直線過定點(diǎn)；②由①知直線過定點(diǎn)，記其為點(diǎn)，由可知垂足在以為直徑的圓上，∵，∴，所以點(diǎn)的軌跡方程為．19.某商場推出購物抽獎(jiǎng)促銷活動，活動規(guī)則如下：①顧客在該商場內(nèi)的消費(fèi)額每滿100元，可獲得1張獎(jiǎng)券；②每張獎(jiǎng)券可以進(jìn)行1次抽獎(jiǎng)活動，即從裝有4個(gè)白球、2個(gè)紅球的盒子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球（每個(gè)球被摸到的可能性相同）．獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則：若摸出白球，則沒有中獎(jiǎng)，摸出的白球放回原盒子中，本張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)活動結(jié)束；若摸出紅球，則中獎(jiǎng)，獲得禮品1份，且摸出的紅球不放回原盒子中，同時(shí)得到一次額外的抽獎(jiǎng)機(jī)會（該抽獎(jiǎng)機(jī)會無需使用新的獎(jiǎng)券），繼續(xù)從當(dāng)前盒子中隨機(jī)摸取1個(gè)球，其獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則不變；③從第二張獎(jiǎng)券開始，使用每張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)時(shí)均在前一張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)活動的基礎(chǔ)上進(jìn)行；④若顧客獲得2份禮品（即該顧客將2個(gè)紅球都摸出）或使用完所獲獎(jiǎng)券，則該顧客本次購物的抽獎(jiǎng)活動結(jié)束．（1）顧客甲通過在商場內(nèi)消費(fèi)獲得了若干張獎(jiǎng)券并進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求事件“甲使用第2張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)"的概率；（2）顧客乙通過在商場內(nèi)消費(fèi)獲得了若干張獎(jiǎng)券并進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求事件“乙獲得第2份禮品時(shí)，共使用了3張獎(jiǎng)券”的概率；（3）顧客丙消費(fèi)了1000元，設(shè)表示顧客丙在這次抽獎(jiǎng)活動中所使用獎(jiǎng)券的數(shù)量，求的分布列及其期望．解：（1）設(shè)事件“甲使用第張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)，中次獎(jiǎng)”，則所求事件為，其概率為．（2）設(shè)事件“乙使用第張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)，中次獎(jiǎng)”，則所求事件為，其概率為．（3）由題意可知的所有可能取值為1，2，?，10．當(dāng)時(shí)，表示顧客丙使用張獎(jiǎng)券將2個(gè)紅球全部摸出；當(dāng)時(shí)，表示顧客丙使用第10張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)時(shí)盒子里有1個(gè)或2個(gè)紅球．設(shè)事件“顧客丙使用第張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)時(shí)盒子里有2個(gè)紅球”的概率為，事件“顧客丙使用第張獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)時(shí)盒子里有1個(gè)紅球”的概率為，則，，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴；∴，設(shè)，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴.山西省太原市2025屆高三一模考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.計(jì)算（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋獾茫海?故選：C.3.已知，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.3 C.6 D.【答案】A【解析】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕獾茫蔄正確.故選：A4.已知，，，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，.所以.故選：B5.已知的三條邊長分別為3，4，5，的兩個(gè)頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，其另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，則的離心率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知的三條邊長分別為，，，因?yàn)椋允侵苯侨切?設(shè)的兩個(gè)頂點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上.情況一：若焦距，則橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和.此時(shí)離心率.情況二：若焦距，則橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和.此時(shí)離心率.情況三：若焦距，則橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和.此時(shí)離心率.所以橢圓的離心率的最大值為.故選：C.6.將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，得到的新函數(shù)為當(dāng)時(shí)，,化簡得,即,則,其中，解得,，又因?yàn)?所以，所以故選：C.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是以1為公差的等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋裕玫剑矗驗(yàn)槭且?為公差的等差數(shù)列，所以，則，化簡得，即，因?yàn)椋裕獾茫瑒t，下面我們開始分析各個(gè)選項(xiàng)，對于A，，故A錯(cuò)誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯(cuò)誤，對于D，，故D錯(cuò)誤.故選：B8.已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，則，兩側(cè)平方得，即，所以，對于且，有，上，即在上單調(diào)遞增，上，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，在上值域?yàn)椋谏现涤驗(yàn)椋谏现涤驗(yàn)椋?dāng)時(shí)，，則有三個(gè)根，則，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，可得或，共有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，或，且，若，則，即為其中的兩個(gè)根，此時(shí)，結(jié)合上述分析且有且僅有一個(gè)根，共有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題設(shè)；若，則為其中的兩個(gè)根，而且有且僅有一個(gè)根為，此時(shí)，一共只有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題設(shè)；若，則，此時(shí)為其中一個(gè)根，此時(shí)，結(jié)合上述分析且有且僅有一個(gè)根，共有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足題設(shè)；綜上所述，的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為3，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7B.數(shù)據(jù)的方差為11C.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3D.數(shù)據(jù)的方差為5【答案】ACD【解析】對于A，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為3，所以由平均數(shù)性質(zhì)得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確，對于B，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的方差為6，所以數(shù)據(jù)的方差為，故B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為3，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確，對于D，由已知得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新方差為，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】,即,解不等式可得,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?所以,則,函數(shù)在上單調(diào)遞增；對于選項(xiàng)A：已知,因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故A正確；對于選項(xiàng)B：由且，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故B正確；對于選項(xiàng)C：由且，可得,，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榍?所以，,又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以,故D錯(cuò)誤；故選：AB.11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離和為5，記其軌跡為曲線．點(diǎn)，是曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的方程為B.對于任意，都存在點(diǎn)，，使得成立C.當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，則D.若點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】對A：根據(jù)題意，列方程：.當(dāng)時(shí)，化簡可得：；當(dāng)時(shí)，化簡可得：.故A錯(cuò)誤.對B：由A，作出曲線如下：可知曲線關(guān)于軸對稱，所以對于任意，都存在點(diǎn)，，只要，，就能使得成立，故B正確；對C：因?yàn)椋砸欢ǚ謩e在曲線（）和（）上.不放設(shè)，（），則，因?yàn)椋?故C正確；對D：若，因?yàn)椋P(guān)于對稱，所以當(dāng)，分別對應(yīng)點(diǎn)和，時(shí)，取得最大值；當(dāng)接近曲線的上下頂點(diǎn)時(shí)，接近于0；若，由C可知，，且，.所以綜上：，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，令可得所以的展開式中的系數(shù)是故答案為：13.已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1和3，球與該圓臺的上、下底面及其側(cè)面都相切，則球的表面積為________．【答案】【解析】設(shè)圓臺的高為,球的半徑為，作出圓臺的軸截面，如圖所示，，已知圓臺的上、下底面半徑分別為，斜邊為圓臺母線長，圓臺的軸截面等腰梯形的高等于球的直徑2,因?yàn)榍蚺c圓臺側(cè)面相切，所以,則，所以,所以，同時(shí)，由勾股定理可得,將,代入到中，得到，化簡得，，根據(jù)球的表面積公式,將代入公式可得：，綜上，球的表面積為.故答案為：.14.對于數(shù)列，稱為數(shù)列的1階商分?jǐn)?shù)列，其中；稱為數(shù)列的階商分?jǐn)?shù)列，其中，當(dāng)時(shí)，．已知數(shù)列，，且為數(shù)列的2階商分?jǐn)?shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為________．【答案】【解析】根據(jù)題目中的定義，數(shù)列的1階商分?jǐn)?shù)列中，滿足：①，則②；2階商分?jǐn)?shù)列中，滿足：，根據(jù)題意，，將①，②代入上式可得：③，將和代入③得：，化簡后得到遞推關(guān)系式：，化簡可得：，由累乘法可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，，，滿足上式；所以，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，分別是的內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)，且，，求的值．解：（1）由得，由余弦定理得，∵，∴．（2）設(shè)，∵，∴，∴，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，∵，∴，∴，∴．16.已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的值．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，，求導(dǎo)得，由當(dāng)時(shí)，恒成立，得，恒成立，而，因此是函數(shù)的最小值，又在可導(dǎo)，則1是的極小值點(diǎn)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，令，，求導(dǎo)得，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以.17.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的菱形，且，平面，平面平面，是等邊三角形．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，二面角的余弦值為，求的長．證明：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵平面，∴，∵是等邊三角形，∴，∵平面平面，∴平面，∴，∴，，，共面，∵四邊形邊長為2的菱形，，，中，，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴平面，∴．（2）由（1）得，，∵平面，∴，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則∴取，則，∴，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則∴取，則，，∴，∵二面角的余弦值為，∴，∴或（舍去），∴．18.已知圓，點(diǎn)，動點(diǎn)，以為直徑的圓與圓相外切，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線，分別與曲線交于點(diǎn)，（點(diǎn)異于點(diǎn)）．①求證：直線過定點(diǎn)；②若，為垂足，求點(diǎn)的軌跡方程．解：（1）設(shè)是的中點(diǎn)，，連接，，由題意可得且，所以，故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支曲線，則，所以，，所以曲線的方程為．（2）①設(shè)，，直線的方程為，由得，∴，，直線的方程