高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省2025屆高三下學(xué)期2月一模考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則（）A. B.45 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，解得，故，故.故選：C.2.若，則（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)得，故A正確.故選：A.3.滿足的集合的個數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】因為，所以，則必須包含和，也必須包含的子集才不影響結(jié)果，又的子集共有8個，把每個子集與集合取并集都符合條件，則符合條件的集合共有8個，故B正確.故選：B.4.聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)指的是圍繞聲音進(jìn)行信息消費而引發(fā)的一切經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及行為.已知年中國聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)市場規(guī)模（單位：千億元）依次為：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.3.1 B.3.2 C.3.5 D.3.9【答案】C【解析】因為，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列的第6個數(shù)（3.1）與第7個數(shù)（3.9）的平均數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.故選：C.5.化簡（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由兩角和的正切公式得由誘導(dǎo)公式得，則原式可化為，故D正確.故選：D.6.若直線與冪函數(shù)，，的圖象從左到右依次交于不同的三點，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，由，得；由，得；由，得.因為，所以是關(guān)于的減函數(shù).又，所以，所以.故選：A.7.已知點，直線：與拋物線：交于，兩點，且，則直線的斜率之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知直線過的焦點，將與聯(lián)立，得，所以，，，由拋物線定義可得.又，解得，直線的斜率為，直線DA與DB的斜率之和為，所以直線的斜率之和為.故選：B.8.已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，點在該棱錐的高上，分別以，為球心作球，使得點，，，都在球的表面上，兩球面的公共點的集合是以線段上一點為圓心，半徑為的圓，則當(dāng)球的半徑為時，球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得圓的半徑為，設(shè)球，的半徑分別為，，設(shè)，則，，，由題意，得，解得，，，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線：與：，則與的（）A.離心率相等 B.漸近線相同 C.焦點坐標(biāo)相同 D.焦距相等【答案】AB【解析】由雙曲線：，可得，所以的離心率是，由雙曲線：，可得，所以的離心率是，所以與的離心率都是，故A正確；的漸近線方程為，的漸近線方程是，故B正確；與的焦點坐標(biāo)分別為，，故C錯誤；與焦距分別為，，故D錯誤.故選：AB.10.已知數(shù)列滿足對任意正整數(shù)，恒有且，設(shè)，則（）A.中前個奇數(shù)的和為 B.前100項的和為10100C.不存在等差數(shù)列，使其前項和為 D.【答案】BCD【解析】因為對任意正整數(shù)，，恒成立，令，，得，所以，，所以，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故，經(jīng)檢驗符合題意.中前個奇數(shù)的和為，故A錯誤；所以，所以，所以的前100項的和為，故B正確；假設(shè)存在，其前項和，則，當(dāng)時，，所以，，所以不是等差數(shù)列，故C正確；，，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，若存在，，使得在區(qū)間上的值域為，則（）A.的取值范圍是 B.的取值范圍是C. D.【答案】AC【解析】由題意知在上單調(diào)遞增，又在上的值域為，所以，所以，是方程的兩個根，設(shè)，則，是方程的兩個根，因為，所以，所以方程有2個不相等的正根，，所以，解得，故A正確，B錯誤.由基本不等式，可得，所以，故C正確；，因為，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，若，則______.【答案】0.2【解析】因為，，所以，所以.故答案為：.13.已知正四棱柱的底面邊長為2，沿該棱柱的表面從點經(jīng)過棱或棱上的一點到達(dá)點的最短距離為，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為______.【答案】【解析】設(shè)該棱柱的高為，如圖，若沿該棱柱表面從點經(jīng)過棱上一點到達(dá)點的最短距離為，不滿足題意；從點經(jīng)過棱上的一點到達(dá)點的最短距離為，解得.因為，所以，所以，過點作的平行線與交于點，則或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)（），將的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍是函數(shù)的圖象，則的取值范圍為______.【答案】【解析】法1：設(shè)為的圖象上任意一點，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點為，設(shè)，與正半軸夾角為，可得：，化簡可得：令，則，所以，令，要使函數(shù)圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后仍為某函數(shù)的圖象，則為單調(diào)函數(shù)，即恒成立，或恒成立.因為，又，故不恒成立，所以恒成立，當(dāng)時，；當(dāng)時，由，得，令，則，易得當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；當(dāng)時，由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的取值范圍為，所以.綜上所述，的取值范圍為.法2：，當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其圖象大致如圖1所示，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線不是任何函數(shù)的圖象；當(dāng)時，，其圖象為軸，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，為函數(shù)的圖象，符合題意；當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其圖象大致如圖2所示，要使繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線為某函數(shù)的圖象，必有在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某農(nóng)科所在同一塊試驗田種植了，兩個品種的小麥，成熟后，分別從這兩個品種的小麥中均隨機(jī)選取100份，每份含1千粒小麥，測量其重量（g），按，，，，，分為6組（每份重量（g）均在內(nèi)），兩個品種小麥的頻率分布直方圖如圖所示，兩個品種的小麥千粒重相互獨立.（1）求的值及品種小麥千粒重的中位數(shù)；（2）用頻率估計概率，從，兩個品種的小麥中各抽取一份，估計這兩份的重量恰有一個不低于45g的概率.解：（1）由品種小麥的頻率分布直方圖，得，所以；設(shè)品種小麥千粒重的中位數(shù)為，由品種小麥的頻率分布直方圖，得，，則，于是，解得，即品種千粒重的中位數(shù)為43.75g.（2）設(shè)事件，分別表示從，兩個品種中取出的小麥的千粒重不低于45g，事件表示兩個樣本小麥的千粒重恰有一個不低于45g，則，用頻率估計概率，則，，由，相互獨立，所以.16.如圖，在中，的平分線與AB交于點，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如圖，在中，由題意得，設(shè)，則，，則由余弦定理得，因為是的平分線，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，結(jié)合誘導(dǎo)公式得，在中，由正弦定理得，因為，所以，，由余弦定理得，因為，所以，由正弦定理得.17.如圖1，在面積為的等腰梯形ABCD中，，點為CD的中點，，，把與分別沿BE，AE折起，使點，重合于點，如圖2.（1）求證：；（2）求直線PE與平面PAB所成角的正弦值.（1）證明：在面積為的等腰梯形ABCD中，因為，，設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，則，所以是正三角形，.在三棱錐中，，，取AB的中點，連接PF，EF，則，，因為，PF，平面PEF，所以平面PEF，因為平面PEF，所以.法二：在面積為的等腰梯形ABCD中，因為，，設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，則，所以是正三角形，.延長EA到，使得，延長EB到，使得，連接PM，PN，MN，則四面體EPMN是棱長為2的正四面體.作平面PMN，垂足為，以點為原點，在平面PMN內(nèi)過點與PM垂直的直線為軸，過點與PM平行的直線為軸，直線OE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因為，分別為EM，EN的中點，所以，.，，所以，所以.（2）解：由（1）知，平面，因為平面，所以平面平面，所以點在平面上的射影在PF上，所以是直線與平面所成的角.由（1）知是邊長為1的正三角形，，，在中，，，在中，，所以.所以直線PE與平面PAB所成角的正弦值為.法二：由（1）知，，，設(shè)平面PAB的一個法向量，則即令，得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓：經(jīng)過點，且離心率為.（1）求的方程；（2）若直線與交于點，，且線段的中點為，求的方程；（3）過動點作的兩條切線，切點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo).解：（1）由橢圓經(jīng)過點，且離心率為，得到，解得，，故的方程為.（2）設(shè)，，由題意得，因為線段PQ的中點為，所以，，因為，，兩式相減得，所以，即，解得，即直線的斜率為，故的方程為，即.（3）如圖，設(shè)，當(dāng)時，可設(shè)切線的方程為，，將與聯(lián)立，得，則，即，且，，所以，，代入，得，將的坐標(biāo)代入，得.當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，而滿足.設(shè)，同理可得，則點，都在直線上，故直線的方程為，即，由得，故直線恒過定點.19.已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，若點與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數(shù)列”.（1）若，，是的“1—和諧數(shù)列＂，且，求；（2）若，.①判斷在上的單調(diào)性；②若是的“—和諧數(shù)列”，且，求證：.解：（1）由題意，得與所在直線的斜率為，，的圖像在處的切線斜率為，所以，，所以，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，.（2）①因為，，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞增.②證明：因為是的“—和諧數(shù)列”，所以，設(shè)，則，，，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.設(shè)，，則，所以，令，則由①知，且在上單調(diào)遞增，，所以，所以單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，取，得.又，，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.江西省2025屆高三下學(xué)期2月一模考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若向量，，且，則（）A. B.45 C. D.【答案】C【解析】因為，所以，解得，故，故.故選：C.2.若，則（）A.5 B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以結(jié)合復(fù)數(shù)模的性質(zhì)得，故A正確.故選：A.3.滿足的集合的個數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】因為，所以，則必須包含和，也必須包含的子集才不影響結(jié)果，又的子集共有8個，把每個子集與集合取并集都符合條件，則符合條件的集合共有8個，故B正確.故選：B.4.聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)指的是圍繞聲音進(jìn)行信息消費而引發(fā)的一切經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及行為.已知年中國聲音經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)市場規(guī)模（單位：千億元）依次為：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.3.1 B.3.2 C.3.5 D.3.9【答案】C【解析】因為，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列的第6個數(shù)（3.1）與第7個數(shù)（3.9）的平均數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.故選：C.5.化簡（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由兩角和的正切公式得由誘導(dǎo)公式得，則原式可化為，故D正確.故選：D.6.若直線與冪函數(shù)，，的圖象從左到右依次交于不同的三點，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時，由，得；由，得；由，得.因為，所以是關(guān)于的減函數(shù).又，所以，所以.故選：A.7.已知點，直線：與拋物線：交于，兩點，且，則直線的斜率之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知直線過的焦點，將與聯(lián)立，得，所以，，，由拋物線定義可得.又，解得，直線的斜率為，直線DA與DB的斜率之和為，所以直線的斜率之和為.故選：B.8.已知正四棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，點在該棱錐的高上，分別以，為球心作球，使得點，，，都在球的表面上，兩球面的公共點的集合是以線段上一點為圓心，半徑為的圓，則當(dāng)球的半徑為時，球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得圓的半徑為，設(shè)球，的半徑分別為，，設(shè)，則，，，由題意，得，解得，，，所以球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知雙曲線：與：，則與的（）A.離心率相等 B.漸近線相同 C.焦點坐標(biāo)相同 D.焦距相等【答案】AB【解析】由雙曲線：，可得，所以的離心率是，由雙曲線：，可得，所以的離心率是，所以與的離心率都是，故A正確；的漸近線方程為，的漸近線方程是，故B正確；與的焦點坐標(biāo)分別為，，故C錯誤；與焦距分別為，，故D錯誤.故選：AB.10.已知數(shù)列滿足對任意正整數(shù)，恒有且，設(shè)，則（）A.中前個奇數(shù)的和為 B.前100項的和為10100C.不存在等差數(shù)列，使其前項和為 D.【答案】BCD【解析】因為對任意正整數(shù)，，恒成立，令，，得，所以，，所以，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，故，經(jīng)檢驗符合題意.中前個奇數(shù)的和為，故A錯誤；所以，所以，所以的前100項的和為，故B正確；假設(shè)存在，其前項和，則，當(dāng)時，，所以，，所以不是等差數(shù)列，故C正確；，，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，若存在，，使得在區(qū)間上的值域為，則（）A.的取值范圍是 B.的取值范圍是C. D.【答案】AC【解析】由題意知在上單調(diào)遞增，又在上的值域為，所以，所以，是方程的兩個根，設(shè)，則，是方程的兩個根，因為，所以，所以方程有2個不相等的正根，，所以，解得，故A正確，B錯誤.由基本不等式，可得，所以，故C正確；，因為，所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，若，則______.【答案】0.2【解析】因為，，所以，所以.故答案為：.13.已知正四棱柱的底面邊長為2，沿該棱柱的表面從點經(jīng)過棱或棱上的一點到達(dá)點的最短距離為，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為______.【答案】【解析】設(shè)該棱柱的高為，如圖，若沿該棱柱表面從點經(jīng)過棱上一點到達(dá)點的最短距離為，不滿足題意；從點經(jīng)過棱上的一點到達(dá)點的最短距離為，解得.因為，所以，所以，過點作的平行線與交于點，則或其補(bǔ)角就是AE與BD所成角，，，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)（），將的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍是函數(shù)的圖象，則的取值范圍為______.【答案】【解析】法1：設(shè)為的圖象上任意一點，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點為，設(shè)，與正半軸夾角為，可得：，化簡可得：令，則，所以，令，要使函數(shù)圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后仍為某函數(shù)的圖象，則為單調(diào)函數(shù)，即恒成立，或恒成立.因為，又，故不恒成立，所以恒成立，當(dāng)時，；當(dāng)時，由，得，令，則，易得當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；當(dāng)時，由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的取值范圍為，所以.綜上所述，的取值范圍為.法2：，當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其圖象大致如圖1所示，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線不是任何函數(shù)的圖象；當(dāng)時，，其圖象為軸，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，為函數(shù)的圖象，符合題意；當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其圖象大致如圖2所示，要使繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線為某函數(shù)的圖象，必有在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某農(nóng)科所在同一塊試驗田種植了，兩個品種的小麥，成熟后，分別從這兩個品種的小麥中均隨機(jī)選取100份，每份含1千粒小麥，測量其重量（g），按，，，，，分為6組（每份重量（g）均在內(nèi)），兩個品種小麥的頻率分布直方圖如圖所示，兩個品種的小麥千粒重相互獨立.（1）求的值及品種小麥千粒重的中位數(shù)；（2）用頻率估計概率，從，兩個品種的小麥中各抽取一份，估計這兩份的重量恰有一個不低于45g的概率.解：（1）由品種小麥的頻率分布直方圖，得，所以；設(shè)品種小麥千粒重的中位數(shù)為，由品種小麥的頻率分布直方圖，得，，則，于是，解得，即品種千粒重的中位數(shù)為43.75g.（2）設(shè)事件，分別表示從，兩個品種中取出的小麥的千粒重不低于45g，事件表示兩個樣本小麥的千粒重恰有一個不低于45g，則，用頻率估計概率，則，，由，相互獨立，所以.16.如圖，在中，的平分線與AB交于點，.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）如圖，在中，由題意得，設(shè)，則，，則由余弦定理得，因為是的平分線，所以，，由二倍角公式得.（2）由（1）知，易得，所以，由余弦定理得，結(jié)合誘導(dǎo)公式得，在中，由正弦定理得，因為，所以，，由余弦定理得，因為，所以，由正弦定理得.17.如圖1，在面積為的等腰梯形ABCD中，，點為CD的中點，，，把與分別沿BE，AE折起，使點，重合于點，如圖2.（1）求證：；（2）求直線PE與平面PAB所成角的正弦值.（1）證明：在面積為的等腰梯形ABCD中，因為，，設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，則，所以是正三角形，.在三棱錐中，，，取AB的中點，連接PF，EF，則，，因為，PF，平面PEF，所以平面PEF，因為平面PEF，所以.法二：在面積為的等腰梯形ABCD中，因為，，設(shè)梯形ABCD的高為，則，所以，則，所以是正三角形，.延長EA到，使得，延長EB到，使得，連接PM，PN，MN，則四面體EPMN是棱長為2的正四面體.作平面PMN，垂足為，以點為原點，在平面PMN內(nèi)過點與PM垂直的直線為軸，過點與PM平行的直線為軸，直線OE為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因為，分別為EM，E