高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由，所以，所以，故選：B2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得，即，由，解得，即，所以.故選：C3.若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)向量與的夾角為，則由題意可知，，因?yàn)橄蛄康膴A角，所以.故選：B.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.60 D.30【答案】C【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得展開式的通項(xiàng)為（）.

要求的系數(shù)，則的次數(shù)，此時(shí).

同樣根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)為（）.

要得到，則令，解得.

當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為在的展開式中，的系數(shù)為60.故選：C.5.若雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線漸近線為，且與圓有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離不大于半徑，即，，，．故選：D．6.已知，若，當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開可得：，移項(xiàng)可得：．因?yàn)?，所以，，等式兩邊同時(shí)除以，得到．

根據(jù)兩角差的正切公式可得：．

令，因?yàn)?，所以，則．根據(jù)基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立．所以，即當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因?yàn)?，?dāng)時(shí)，．

當(dāng)取得最大值時(shí)，，故選：A．7.已知數(shù)列滿足：，則下列說法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調(diào)數(shù)列【答案】C【解析】設(shè)，則.已知，將，代入可得：可得.兩邊取倒數(shù)，即.又因?yàn)?，所以，則.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，則.所以.

當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

由前面計(jì)算可知，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

因?yàn)?，?dāng)增大時(shí)，減小，減小，且時(shí)，，，所以有最大值，選項(xiàng)C正確.

由可知，，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.8.已知，若在上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹愠闪?，所以和有兩個(gè)相同正根.對于方程，兩邊同乘得.由一元二次方程性質(zhì)，有兩個(gè)不同正根，則，且，.由可得，可得.根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則，所以，即.令，對求導(dǎo)，.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減所以在處取最大值，.綜上，的最大值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三第一次聯(lián)考中，某校高三年級參加了聯(lián)考，該校有600個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)及格（90分及以上），從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計(jì)該校有96名學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于120分C.用頻率估計(jì)概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2D.成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，從成績在的學(xué)生中隨機(jī)抽1學(xué)生，該生是女生的概率為【答案】ABD【解析】依題意可得，解得，故A正確；該600名學(xué)生中成績在的頻率為，人數(shù)約為人，故B正確；用頻率估計(jì)概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2因?yàn)槌煽儾坏陀?00分的頻率為，成績不低于130的概率的頻率為，所以某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為，故C錯(cuò)誤；的頻率是，的頻率為，成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，所以從成績在的學(xué)生中隨機(jī)抽1學(xué)生，該生是女生的概率為，故D正確.故選：ABD10.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，且滿足（為定值），設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．則（）A.軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱B.軌跡關(guān)于直線對稱C.當(dāng)時(shí)，軌跡為一條直線D.當(dāng)時(shí)，軌跡存在最高點(diǎn)【答案】BD【解析】設(shè)，則，整理得，即，所以軌跡為挖去兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)于軸對稱的拋物線，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，即一條直線挖去了兩個(gè)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，軌跡為，開口向下，有最高點(diǎn)，故D正確．故選：BD11.如圖，棱長為3的正方體，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上，且，則下列說法正確的是（）A.若，且，則三棱錐體積為定值B.若，則動(dòng)點(diǎn)所圍成的圖形的面積為C.若，則的最小值為3D.若動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包含邊界），異面直線與所成角為．則的軌跡所在圓錐曲線的離心率為【答案】ABD【解析】對A,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上，且，則的軌跡為線段．由于，平面，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對B,易知平面，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上，且，所以動(dòng)點(diǎn)所圍成的圖形是矩形，則面積為，故B正確；對C，設(shè)邊上的高為,則，由正弦定理可得，所以，故，以為點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，又因?yàn)椋淼茫?，所以空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為球心，2為半徑且位于正方體內(nèi)的部分球體，又因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對D,在棱上取，則．因異面直線與所成角為，則直線與所成角為，故空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為旋轉(zhuǎn)軸，為母線的共頂點(diǎn)的雙圓錐，直線是圓錐的一條母線，又動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡在平面與雙圓錐的截痕（橢圓）上，橢圓以為長軸，球是底面與圓錐封閉幾何體的內(nèi)切球，球與底面的切點(diǎn)為橢圓靠近頂點(diǎn)的焦點(diǎn)．如圖，即，即，則，所以橢圓的離心率，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若事件?相互獨(dú)立，，，則__________．【答案】【解析】若事件?相互獨(dú)立，，，則故答案為：13.過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為__________．【答案】4【解析】由題意知的圓心為，半徑為2，如圖，，則，而，當(dāng)最小時(shí)，最小，則最??；由于P在拋物線上，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值8，即取到最小值，則取最小值2，故的最小值為4，故答案為：414.已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為__________．【答案】【解析】方法一（幾何法）解：設(shè)圓為的外接圓，且半徑為，則，故由于點(diǎn)既在圓上，也在圓上，即圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，圓的半徑最小，即由于邊的垂直平分線為，設(shè)，則，兩邊平方得，兩邊消去得：，即，.則，故.方法二（代數(shù)法）設(shè)，當(dāng)時(shí)等號成立．即，則．故故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得在中，，則，即，故．（2）由余弦定值知：，即，則，所以．16.如圖，在平面四邊形中，是邊長為2的等邊三角形，且，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．（1）求證：：（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，由，得，由等邊，得，而平面，，則平面，又平面，所以.（2）解：依題意，的面積為，三棱錐體積，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐體積最大，在中，，，因此當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，在平面內(nèi)過作于，連接，由平面，平面，得，而平面，于是平面，又平面，則，是二面角的平面角，在中，，在中，，，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）設(shè)，則，過作軸的垂線，垂足為,則，因?yàn)椋瑒t，則整理得代入中得，整理得，所以曲線C的方程為．（2）依題意知道，直線不垂直于軸，則設(shè)其方程為，由消去并整理得，，解得，設(shè)，則則，令，則，且當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以面積的最大值為．18.為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，學(xué)校舉辦趣味爬樓梯比賽．從地面開始，小明爬樓梯有兩種方式，一步上一級臺階或2級臺階，其中一步上一級臺階的概率為，上兩級臺階的概率為，爬樓梯過程中，小明爬到第n個(gè)臺階的概率為（1）求的值；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示小明爬3步上的臺階總數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）求．解：（1）由題可知，（2）隨機(jī)變量所有可能取值為：3，4，5，6，的分布列3456；（3）爬到第個(gè)臺階有兩種情況：情形一：爬到第個(gè)臺階，下一步上兩個(gè)臺階爬到第個(gè)臺階，情形二：爬到第個(gè)臺階，下一步上一個(gè)臺階爬到第個(gè)臺階，故，則，所以，，又，故是等比數(shù)列，，故.19.數(shù)學(xué)家高斯在研究整數(shù)問題時(shí)，發(fā)明了取整符號，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，．（1）分別求函數(shù)和值域；（2）若，求函數(shù)的值；（3）若數(shù)列滿足：是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值．解：（1）由于，所以，由于函數(shù)的值域?yàn)?，所以的值域?yàn)檎麛?shù)集；（2）令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．由于恒成立，并且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以（3）令，則上單調(diào)遞減，且，，所以依次可得：，令，則在上恒成立．所以在上單調(diào)遞增，故，又，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即，故；當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，即，故．所以江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由，所以，所以，故選：B2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得，即，由，解得，即，所以.故選：C3.若非零向量滿足，且向量在向量上的投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)向量與的夾角為，則由題意可知，，因?yàn)橄蛄康膴A角，所以.故選：B.4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.3 B.6 C.60 D.30【答案】C【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得展開式的通項(xiàng)為（）.

要求的系數(shù)，則的次數(shù)，此時(shí).

同樣根據(jù)二項(xiàng)式定理，展開式的通項(xiàng)為（）.

要得到，則令，解得.

當(dāng)，時(shí)，的系數(shù)為在的展開式中，的系數(shù)為60.故選：C.5.若雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】雙曲線漸近線為，且與圓有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離不大于半徑，即，，，．故選：D．6.已知，若，當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開可得：，移項(xiàng)可得：．因?yàn)?，所以，，等式兩邊同時(shí)除以，得到．

根據(jù)兩角差的正切公式可得：．

令，因?yàn)椋?，則．根據(jù)基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立．所以，即當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因?yàn)椋?dāng)時(shí)，．

當(dāng)取得最大值時(shí)，，故選：A．7.已知數(shù)列滿足：，則下列說法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調(diào)數(shù)列【答案】C【解析】設(shè)，則.已知，將，代入可得：可得.兩邊取倒數(shù)，即.又因?yàn)?，所以，則.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，則.所以.

當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

由前面計(jì)算可知，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

因?yàn)椋?dāng)增大時(shí)，減小，減小，且時(shí)，，，所以有最大值，選項(xiàng)C正確.

由可知，，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.8.已知，若在上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹愠闪ⅲ院陀袃蓚€(gè)相同正根.對于方程，兩邊同乘得.由一元二次方程性質(zhì)，有兩個(gè)不同正根，則，且，.由可得，可得.根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則，所以，即.令，對求導(dǎo)，.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減所以在處取最大值，.綜上，的最大值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在江西省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2025屆高三第一次聯(lián)考中，某校高三年級參加了聯(lián)考，該校有600個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)及格（90分及以上），從數(shù)學(xué)及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取100個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，其頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.估計(jì)該校有96名學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于120分C.用頻率估計(jì)概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2D.成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，從成績在的學(xué)生中隨機(jī)抽1學(xué)生，該生是女生的概率為【答案】ABD【解析】依題意可得，解得，故A正確；該600名學(xué)生中成績在的頻率為，人數(shù)約為人，故B正確；用頻率估計(jì)概率，已知某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為0.2因?yàn)槌煽儾坏陀?00分的頻率為，成績不低于130的概率的頻率為，所以某學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于100分，則該生數(shù)學(xué)成績不低于130的概率為，故C錯(cuò)誤；的頻率是，的頻率為，成績在和內(nèi)學(xué)生的男女比例分別為和，所以從成績在的學(xué)生中隨機(jī)抽1學(xué)生，該生是女生的概率為，故D正確.故選：ABD10.已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，且滿足（為定值），設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．則（）A.軌跡關(guān)于原點(diǎn)對稱B.軌跡關(guān)于直線對稱C.當(dāng)時(shí)，軌跡為一條直線D.當(dāng)時(shí)，軌跡存在最高點(diǎn)【答案】BD【解析】設(shè)，則，整理得，即，所以軌跡為挖去兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)于軸對稱的拋物線，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)時(shí)，，即一條直線挖去了兩個(gè)點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，軌跡為，開口向下，有最高點(diǎn)，故D正確．故選：BD11.如圖，棱長為3的正方體，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上，且，則下列說法正確的是（）A.若，且，則三棱錐體積為定值B.若，則動(dòng)點(diǎn)所圍成的圖形的面積為C.若，則的最小值為3D.若動(dòng)點(diǎn)在正方形內(nèi)（包含邊界），異面直線與所成角為．則的軌跡所在圓錐曲線的離心率為【答案】ABD【解析】對A,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上，且，則的軌跡為線段．由于，平面，所以，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對B,易知平面，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)及其邊界上，且，所以動(dòng)點(diǎn)所圍成的圖形是矩形，則面積為，故B正確；對C，設(shè)邊上的高為,則，由正弦定理可得，所以，故，以為點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，又因?yàn)?，整理得：，所以空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為球心，2為半徑且位于正方體內(nèi)的部分球體，又因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對D,在棱上取，則．因異面直線與所成角為，則直線與所成角為，故空間動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為旋轉(zhuǎn)軸，為母線的共頂點(diǎn)的雙圓錐，直線是圓錐的一條母線，又動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡在平面與雙圓錐的截痕（橢圓）上，橢圓以為長軸，球是底面與圓錐封閉幾何體的內(nèi)切球，球與底面的切點(diǎn)為橢圓靠近頂點(diǎn)的焦點(diǎn)．如圖，即，即，則，所以橢圓的離心率，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若事件?相互獨(dú)立，，，則__________．【答案】【解析】若事件?相互獨(dú)立，，，則故答案為：13.過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為__________．【答案】4【解析】由題意知的圓心為，半徑為2，如圖，，則，而，當(dāng)最小時(shí)，最小，則最??；由于P在拋物線上，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取最小值8，即取到最小值，則取最小值2，故的最小值為4，故答案為：414.已知是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為__________．【答案】【解析】方法一（幾何法）解：設(shè)圓為的外接圓，且半徑為，則，故由于點(diǎn)既在圓上，也在圓上，即圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，圓的半徑最小，即由于邊的垂直平分線為，設(shè)，則，兩邊平方得，兩邊消去得：，即，.則，故.方法二（代數(shù)法）設(shè)，當(dāng)時(shí)等號成立．即，則．故故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角的對邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼迷谥校瑒t，即，故．（2）由余弦定值知：，即，則，所以．16.如圖，在平面四邊形中，是邊長為2的等邊三角形，且，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．（1）求證：：（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，由，得，由等邊，得，而平面，，則平面，又平面，所以.（2）解：依題意，的面積為，三棱錐體積，則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐體積最大，在中，，，因此當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，在平面內(nèi)過作于，連接，由平面，平面，得，而