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2025屆甘肅省永昌縣數(shù)學(xué)八下期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每題4分,共48分)1.如圖,已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象為直線,則關(guān)于x的方程ax+b=1的解x的值為()A.1 B.4 C.2 D.-0.52.如圖,把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,,則的度數(shù)為()A. B. C. D.3.如圖,在中,,,.點(diǎn),,分別是相應(yīng)邊上的中點(diǎn),則四邊形的周長(zhǎng)等于()A.8 B.9 C.12 D.134.如圖,平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),若OE=3cm,則AB的長(zhǎng)為()A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm5.下列各圖中,∠1>∠2的是()A. B. C. D.6.如圖:一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、12cm的長(zhǎng)方體盒子能容下的最長(zhǎng)木棒長(zhǎng)為()A.11cmB.12cmC.13cmD.14cm7.如圖,在四邊形中,與相交于點(diǎn),,那么下列條件中不能判定四邊形是菱形的為()A.∠OAB=∠OBA B.∠OBA=∠OBC C.AD∥BC D.AD=BC8.如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD,分別交BC、BD于點(diǎn)E、P,連接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,則下列結(jié)論:①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=,正確的個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.59.如圖,在四邊形中,,對(duì)角線、相交于點(diǎn)O,于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,連接、,若,則下列結(jié)論不一定正確的是()A. B. C.為直角三角形 D.四邊形是平行四邊形10.下列式子中,y不是x的函數(shù)的是()A. B. C. D.11.如圖,a∥b,點(diǎn)A在直線a上,點(diǎn)B,C在直線b上,AC⊥b,如果AB=5cm,BC=3cm,那么平行線a,b之間的距離為()A.5cm B.4cm C.3cm D.不能確定12.若,則下列變形錯(cuò)誤的是()A. B. C. D.二、填空題(每題4分,共24分)13.如圖,等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長(zhǎng)為,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′,AC與B′C′相交于點(diǎn)D,則圖中陰影△ADC′的面積等于______.14.如圖,在中,為邊上一點(diǎn),以為邊作矩形.若,,則的大小為______度.15.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,班長(zhǎng)將全班50名同學(xué)的成績(jī)(得分為整數(shù))繪制成頻數(shù)分布直方圖(如圖),從左到右的小長(zhǎng)方形高的比為0.6:2:4:2.2:1.2,則得分在70.5到80.5之間的人數(shù)為________.16.已知m>0,則在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(m,﹣m2﹣1)的位置在第_____象限;17.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E、F分別是CD、BC的中點(diǎn),AE與DF交于點(diǎn)P,連接CP,則CP=_____.18.已知平行四邊形ABCD中,AB=5,AE平分∠DAB交BC所在直線于點(diǎn)E,CE=2,則AD=_____.三、解答題(共78分)19.(8分)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),EF⊥AC于點(diǎn)F,點(diǎn)P是AE的中點(diǎn).(1)求證:BP⊥FP;(2)連接DF,求證:AE=DF.20.(8分)如圖,點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn),連接CD,若AD=2,BD=4,∠ACD=∠B,求AC的長(zhǎng).21.(8分)如圖,直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)A,點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn),∠ABO的平分線BD與y軸相較于點(diǎn)D,點(diǎn)A、C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱.(1)求線段DE的長(zhǎng);(2)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線BC上的點(diǎn)F,再沿射線CB方向移動(dòng)2個(gè)單位到點(diǎn)G,最后從點(diǎn)G沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處,當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí),求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo);(3)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角度α(0<α≤180°),在旋轉(zhuǎn)過程中DE所在的直線分別與直線BC、直線AC相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,是否存在某一時(shí)刻使△CMN為等腰三角形,若存在,請(qǐng)求出CM的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.(1)求BC邊的長(zhǎng);(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),求t的值;(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí),求t的值23.(10分)已知,如圖,E、F分別為□ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn),且∠1=∠2,.求證:AE=CF.24.(10分)數(shù)學(xué)興趣小組研究某型號(hào)冷柜溫度的變化情況,發(fā)現(xiàn)該冷柜的工作過程是:當(dāng)溫度達(dá)到設(shè)定溫度℃時(shí),制冷停止,此后冷柜中的溫度開始逐漸上升,當(dāng)上升到℃時(shí),制冷開始,溫度開始逐漸下降,當(dāng)冷柜自動(dòng)制冷至℃時(shí),制冷再次停止,…,按照以上方式循環(huán)進(jìn)行.同學(xué)們記錄內(nèi)9個(gè)時(shí)間點(diǎn)冷柜中的溫度(℃)隨時(shí)間變化情況,制成下表:時(shí)間…4810162021222324…溫度/℃……(1)如圖,在直角坐標(biāo)系中,描出上表數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),并畫出當(dāng)時(shí)溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)圖象;(2)通過圖表分析發(fā)現(xiàn),冷柜中的溫度是時(shí)間的函數(shù).①當(dāng)時(shí),寫出符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式;②當(dāng)時(shí),寫出符合表中數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式;(3)當(dāng)前冷柜的溫度℃時(shí),冷柜繼續(xù)工作36分鐘,此時(shí)冷柜中的溫度是多少?25.(12分)先化簡(jiǎn)再求值:÷(﹣1),其中x=.26.先化簡(jiǎn)分式,后在,0,1,2中選擇一個(gè)合適的值代入求值.
參考答案一、選擇題(每題4分,共48分)1、B【解析】
根據(jù)一次函數(shù)圖象可得一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(4,1)點(diǎn),進(jìn)而得到方程的解.【詳解】根據(jù)圖象可得,一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(4,1)點(diǎn),因此關(guān)于x的方程ax+b=1的解x=4,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與方程,關(guān)鍵是正確利用數(shù)形結(jié)合的方法從圖象中找到正確答案.2、D【解析】
直接根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【詳解】繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到∴BAD=CAE=20°∴==30°+20°=50°故選D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。3、B【解析】
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)及線段的中點(diǎn)性質(zhì)求解即可.【詳解】解:點(diǎn),,分別是相應(yīng)邊上的中點(diǎn)是三角形ABC的中位線同理可得,四邊形的周長(zhǎng)故答案為:B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線,熟練運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】
根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)可得OA=OC,又因點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),所以O(shè)E是△ABC的中位線,再由三角形的中位線定理可得AB的值.【詳解】解:在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,∴OA=OC∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)∴OE是△ABC的中位線∴AB=2OE=6cm故選:B【點(diǎn)睛】本體考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理,掌握平行四邊形的性質(zhì),三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.5、D【解析】
根據(jù)等邊對(duì)等角,對(duì)頂角相等,平行線的性質(zhì),三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.【詳解】解:A、∵AB=AC,∴∠1=∠2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、∠1=∠2(對(duì)頂角相等),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、根據(jù)對(duì)頂角相等,∠1=∠3,∵a∥b,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、根據(jù)三角形的外角性質(zhì),∠1>∠2,故本選項(xiàng)正確.故選D.6、C【解析】試題分析:∵側(cè)面對(duì)角線BC2=32+42=52,∴CB=5m,∵AC=12m,∴AB==13(m),∴空木箱能放的最大長(zhǎng)度為13m,故選C.考點(diǎn):勾股定理的應(yīng)用.7、A【解析】
根據(jù)菱形的判定方法有三種:①定義:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;②四邊相等;③對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形,據(jù)此判斷即可.【詳解】A.∵AC⊥BD,BO=DO,∴AC是BD的垂直平分線,∴AB=AD,CD=BC,∴∠ABD=∠ADB,∠CBD=∠CDB,∵∠OAB=∠OBA,∴∠OAB=∠OBA=45°,∵OC與OA的關(guān)系不確定,∴無(wú)法證明四邊形ABCD的形狀,故此選項(xiàng)正確;B.∵AC⊥BD,BO=DO,∴AC是BD的垂直平分線,∴AB=AD,CD=BC,∴∠ABD=∠ADA,∠CBD=∠CDB,∵∠OBA=∠OBC,∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB,BD=BD,∴△ABD≌△CBD,∴AB=BC=AD=CD,∴四邊形ABCD是菱形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∵∠AOD=∠BOC,BO=DO,∴△AOD≌△BOC,∴AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.∵AD=BC,BO=DO,∠BOC=∠AOD=90°,∴△AOD≌△BOC,∴AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查菱形的判定,解題關(guān)鍵在于掌握菱形的三種判定方法.8、D【解析】
①先根據(jù)角平分線和平行得:∠BAE=∠BEA,則AB=BE=1,由有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形得:△ABE是等邊三角形,由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得:∠ACE=30°,最后由平行線的性質(zhì)可作判斷;②先根據(jù)三角形中位線定理得:OE=AB=,OE∥AB,根據(jù)勾股定理計(jì)算OC=和OD的長(zhǎng),可得BD的長(zhǎng);③因?yàn)椤螧AC=90°,根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷;④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷;⑤根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比可得:S△AOE=S△EOC=OE?OC=,,代入可得結(jié)論.【詳解】①∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,∴∠DAE=∠BEA,∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE=1,∴△ABE是等邊三角形,∴AE=BE=1,∵BC=2,∴EC=1,∴AE=EC,∴∠EAC=∠ACE,∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,∴∠ACE=30°,∵AD∥BC,∴∠CAD=∠ACE=30°,故①正確;②∵BE=EC,OA=OC,∴OE=AB=,OE∥AB,∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,Rt△EOC中,OC=,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠BCD=∠BAD=120°,∴∠ACB=30°,∴∠ACD=90°,Rt△OCD中,OD=,∴BD=2OD=,故②正確;③由②知:∠BAC=90°,∴S?ABCD=AB?AC,故③正確;④由②知:OE是△ABC的中位線,又AB=BC,BC=AD,∴OE=AB=AD,故④正確;⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC=,∴S△AOE=S△EOC=OE?OC=××,∵OE∥AB,∴,∴,∴S△AOP=S△AOE==,故⑤正確;本題正確的有:①②③④⑤,5個(gè),故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計(jì)算;熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵,并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系.9、C【解析】
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)分別分析得出即可.【詳解】解:∵DE=BF,∴DF=BE,在Rt△DCF和Rt△BAE中,,∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL),∴CF=AE,故A正確;∵AE⊥BD于點(diǎn)E,CF⊥BD于點(diǎn)F,∴AE∥FC,∵CF=AE,∴四邊形CFAE是平行四邊形,∴OE=OF,故B正確;∵Rt△DCF≌Rt△BAE,∴∠CDF=∠ABE,∴CD∥AB,∵CD=AB,∴四邊形ABCD是平行四邊形,故D正確;無(wú)法證明為直角三角形,故C錯(cuò)誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí);得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解題關(guān)鍵.10、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的定義即可解答.【詳解】對(duì)于x的每一個(gè)取值,y都有唯一確定的值,y是x的函數(shù),∵選項(xiàng)A、C、D,當(dāng)x取值時(shí),y有唯一的值對(duì)應(yīng);選項(xiàng)B,當(dāng)x=2時(shí),y=±1,y由兩個(gè)值,∴選項(xiàng)B中,y不是x的函數(shù).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義,熟練運(yùn)用函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵,11、B【解析】
從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線,垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離,并由勾股定理可得出答案.【詳解】解:∵AC⊥b,∴△ABC是直角三角形,∵AB=5cm,BC=3cm,∴AC===4(cm),∴平行線a、b之間的距離是:AC=4cm.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離,以及勾股定理,關(guān)鍵是掌握平行線之間距離的定義,以及勾股定理的運(yùn)用.12、D【解析】
根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解【詳解】解:由得3a=2b,A.由可得:3a=2b,本選項(xiàng)正確;B.由可得:3a=2b,本選項(xiàng)正確;C.,可知本選項(xiàng)正確;D.,由前面可知本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì),熟練掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每題4分,共24分)13、【解析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB'=,∠BAB'=15°,可得∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得B'D=1,由三角形面積公式可求解.【詳解】解:∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=45°,∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′,∴AB=AB'=,∠BAB'=15°,∴∠B'AD=∠BAC-∠B'AB=30°,且∠B'=90°,∵tan∠B'AD=,∴AB'=B'D,∴B'D=1,∴陰影△ADC'的面積=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),及銳角三角函數(shù)的知識(shí),熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.14、【解析】
利用三角形內(nèi)角和求出∠B的度數(shù),利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答問題.【詳解】解:在矩形AEFG中,∠AEF=90°
∵∠AEB+∠AEF+∠CEF=180°,
∠CEF=15°
∴∠AEB=75°
∵∠BAE+∠B+∠AEB=180°
∠BAE=40°
∴∠B=65°
∵∠D=∠B
∴∠D=65°
故答案為65°【點(diǎn)睛】考察了平行四邊形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和,掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15、20【解析】
所有小長(zhǎng)方形高的比為0.6:2:4:2.2:1.2,可以求出得分在70.5到80.5之間的人數(shù)的小長(zhǎng)方形的高占總高的比,進(jìn)而求出得分在70.5到80.5之間的人數(shù).【詳解】解:人
故答案為:20【點(diǎn)睛】考查頻數(shù)分布直方圖的制作特點(diǎn)以及反映數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,理解各個(gè)小長(zhǎng)方形的高表示的實(shí)際意義,用所占比去乘以總?cè)藬?shù)就得出相應(yīng)的人數(shù).16、四【解析】
直接利用各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出點(diǎn)的位置.【詳解】,,點(diǎn)的位置在第四象限.故答案為:四.【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo),正確把握各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.17、【解析】
由△ADE≌△DCF可導(dǎo)出四邊形CEPF對(duì)角互補(bǔ),而CE=CF,于是將△CEP繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CFG,可得△CPG是等腰直角三角形,從而PG=PF+FG=PF+PE=CP,求出PE和PF的長(zhǎng)度即可求出PC的長(zhǎng)度.【詳解】解:如圖,作CG⊥CP交DF的延長(zhǎng)線于G.則∠PCF+∠GCF=∠PCG=90°,∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,∴AD=CD=BC=AB=2,∠ADC=∠DCB=90°,∵E、F分別為CD、BC中點(diǎn),∴DE=CE=CF=BF=1,∴AE=DF=,∴DP==,∴PE=,PF=,在△ADE和△DCF中:∴△ADE≌△DCF(SAS),∴∠AED=∠DFC,∴∠CEP=∠CFG,∵∠ECP+∠PCF=∠DCB=90°,∴∠ECP=∠FCG,在△ECP和△FCG中:∴△ECP≌△FCG(ASA),∴CP=CG,EP=FG,∴△PCG為等腰直角三角形,∴PG=PF+FG=PF+PE==CP,∴CP=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),正確添加輔助線,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.18、3或7【解析】分兩種情況:(1)當(dāng)AE交BC于點(diǎn)E時(shí);在平行四邊形ABCD中,則AD∥BC,DC=AB,AD=BC∴∠AEB=∠EAD,∵∠DAB的平分線交BC于E,∴∠AEB=∠BAE,∴∠AEB=∠BAE,∴AB=BE,設(shè)AD=x,z則BE=x-2=5∴AD=5+2=7cm,(2)當(dāng)AE交BC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F∵ABCD為平行四邊形,∴AB=DC=5cm,AD=BC,AD∥BC.∴∠E=∠EAD,又∵BE平分∠BAD,∴∠EAD=∠EAB,∴∠EAB=∠E,∴BC+CE=AB=5,∴AD=BC=5?2=3(cm).故答案為3或7點(diǎn)睛:本題考查了平行四邊形對(duì)邊相等,對(duì)邊平行的性質(zhì),角平分線的定義,關(guān)鍵是要分兩種情況討論解答.三、解答題(共78分)19、(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,,最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)、角的和差即可得證;(2)如圖(見解析),先結(jié)合(1)的結(jié)論、根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得,從而可得,再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得,然后根據(jù)等量代換即可得證.【詳解】(1)四邊形ABCD是正方形點(diǎn)P是AE的中點(diǎn),是斜邊上的中線,F(xiàn)P是斜邊上的中線即;(2)如圖,連接BF是等腰直角三角形四邊形ABCD是正方形在和中,.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),較難的是題(2),通過作輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.20、AC=2【解析】
可證明△ACD∽△ABC,則,即得出AC2=AD?AB,從而得出AC的長(zhǎng).【詳解】∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴,∴AC2=AD·AB,∴AC2=12,∴AC=2(負(fù)值舍去)【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),兩個(gè)角相等,兩個(gè)三角形相似.21、(1)1;(2)(,);(3)6+﹣3或6++3或2﹣2或8.【解析】
(1)想辦法證明DE⊥AB,利用角平分線的性質(zhì)定理證明DE=OD即可解決問題;(2)過點(diǎn)E作EE′∥BC,點(diǎn)E′在x軸下方且EE′=2,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接E′D′交BC于F,在射線CB上取FG=2.此時(shí)D→F→G→E的路徑最短.(3)分三種情形:①如圖1中,當(dāng)CM=CN時(shí),在AE上取一點(diǎn)P,使得AP=PN.設(shè)EN=x.②如圖2中,當(dāng)MN=MC時(shí),作BP⊥MN于P,則四邊形ADPB是矩形.③如圖3中,當(dāng)NC=MN時(shí),D與N重合,作DP⊥BC于P.分別解直角三角形即可解決問題.【詳解】解:(1)∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)B,與y軸相交于點(diǎn)A,∴A(0,3),B(,0),∴OA=3,OB=,∴tan∠ABO==,∴∠ABO=60°,∵BD平分∠ABO,∴∠DBO=30°,∴OD=OB?tan30°=1,DB=2OD=2,∴AD=DB=2,∴AE=EB,∴DE⊥AB,∵DO⊥OB,DB平分∠ABO,∴DE=DO=1.(2)過點(diǎn)E作EE′∥BC,點(diǎn)E′在x軸下方且EE′=2,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D′,連接E′D′交BC于F,在射線CB上取FG=2.此時(shí)D→F→G→E的路徑最短.∵E′(,),D′(2,﹣1),∴直線D′E′的解析式為,直線BC的解析式為y=x﹣3,由,解得,,∴F.把點(diǎn)F向上平移3個(gè)單位,向右平移個(gè)單位得到點(diǎn)G,∴G().(3)以點(diǎn)A為圓心,以AE為半徑作⊙A,則DE為⊙A的切線.①如圖1中,當(dāng)CM=CN時(shí),在AE上取一點(diǎn)P,使得AP=PN.設(shè)EN=x.∵CM=CN,∠MCN=30°,∴∠CNM=∠CMN=75°,∴∠ANE=∠CNM=75°,∴∠EAN=15°,∴∠PAN=∠ANP=15°,∴∠EPN=30°,∴PN=AP=2x,PE=x,∴2x+x=,∴x=2﹣3,∴AN=,∴CM=CN==.②如圖2中,當(dāng)MN=MC時(shí),作BP⊥MN于P,則四邊形ADPB是矩形,PB=AE=,在Rt△PBM中,∠PBM=30°,∴BM=2,∴CM=BC﹣BM=2﹣2.③如圖2﹣1中.CM=CN時(shí),同法可得CM=.④如圖3中,當(dāng)NC=MN時(shí),D與N重合,作DP⊥BC于P.∵CD=6+2=8,∠DCP=30°,∴PC=PM=4,∴CM=8綜上所述,滿足條件的CM的值為或或2﹣2或8.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱最短問題等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題,屬于中考?jí)狠S題.22、【解析】試題分析:(1)直接根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)度;(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí),分兩種情況:①當(dāng)∠APB為直角時(shí),②當(dāng)∠BAP為直角時(shí),分別求出此時(shí)的t值即可;(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí),分三種情況:①當(dāng)AB=BP時(shí);②當(dāng)AB=AP時(shí);③當(dāng)BP=AP時(shí),分別求出BP的長(zhǎng)度,繼而可求得t值.試題解析:(1)在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-32=16,∴BC=4(cm);(2)由題意知BP=tcm,①當(dāng)∠APB為直角時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,BP=BC=4cm,即t=4;②當(dāng)∠BAP為直角時(shí),BP=
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