專題01幾何最值之將軍飲馬模型模型一、兩定一動模型模型二、一定兩動模型模型說明：將軍飲馬模型在近幾年中考中常常與幾何圖形（三角形、四邊形）聯(lián)系考查，出現(xiàn)在選填題；而與反比例函數(shù)或二次函數(shù)的綜合出現(xiàn)在解答題。解決這類問題的思路主要是作點關(guān)于線的對稱，利用三點共線求最值。例1．（2022·四川成都）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關(guān)于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．【答案】【詳解】延長DE，交AB于點H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點P的對稱點在EF上．由點B，D關(guān)于直線AC對稱，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點Q，B，共線時，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點與點F重合時，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點O．∵AE=14,CE=18，

∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，

解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．例2．（2019·四川成都）如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.【答案】【詳解】如圖，過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點根據(jù)平移和對稱可知，當(dāng)三點共線時取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為例3．（2019·四川內(nèi)江）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的點和點．過點作軸的垂線，垂足為點，的面積為4．（1）分別求出和的值；（2）結(jié)合圖象直接寫出的解集；（3）在軸上取點，使取得最大值時，求出點的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2）或；（3）【詳解】（1）∵點，∴，∵，即，∴，∵點在第二象限，∴

，將代入得：，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：，把代入得：，∴因此，；（2）由圖象可以看出的解集為：或；（3）如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，直線與軸交于，此時最大，∵，∴設(shè)直線的關(guān)系式為，將，代入得：解得：，，∴直線的關(guān)系式為，當(dāng)時，即，解得，∴例4．（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A（－1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，【解析】（1）解：將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：拋物線的對稱軸為直線，其頂點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，將點代入得：，解得或（舍去），當(dāng)時，，所以點的坐標(biāo)為．（3）解：拋物線的頂點的坐標(biāo)為，則將其先向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度恰好落在原點，這時點落在點的位置，且，，即，恰好在對稱軸直線上，如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則，由兩點之間線段最短可知，與軸的交點即為所求的點，此時的值最小，即的值最小，由軸對稱的性質(zhì)得：，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時，，故在軸上存在點，使得的值最小，此時點的坐標(biāo)為．【變式訓(xùn)練1】（2022·四川自貢）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．【答案】【詳解】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點G'，在CD上截取CH=1，然后連接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此時GE+CF的值最小，∴G'E=GE，AG=AG'，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，∵CH=EF=1，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，∵AB=4，BC=AD=2，G為邊AD的中點，∴AG=AG'=1∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=41=3，∴，即的最小值為．故答案為：【變式訓(xùn)練2】（2022·四川內(nèi)江）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【變式訓(xùn)練3】（2022·四川眉山）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．【答案】6【詳解】解：如圖，作點B關(guān)于AC的對稱點，交AC于點F，連接交AC于點P，則的最小值為的長度；∵AC是矩形的對角線，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，在直角△ABC中，，，∴，∴，由對稱的性質(zhì)，得，，∴∴∵，，∴△BEF是等邊三角形，∴，∴是直角三角形，∴，∴的最小值為6；故答案為：6．【變式訓(xùn)練4】（2019·四川成都）如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為____.【答案】【詳解】如圖，過C點作BD的平行線，以為對稱軸作B點的對稱點，連接交直線于點根據(jù)平移和對稱可知，當(dāng)三點共線時取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為【變式訓(xùn)練5】（2022·四川資陽）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示，作點A關(guān)于直線BC的對稱點，連接，其與BC的交點即為點E，再作交AB于點F，∵A與關(guān)于BC對稱，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時，∵正方形，點O為對角線的交點，∴，∵對稱，∴，∴，在中，，故選：D．課后訓(xùn)練1．（2022·四川德陽·二模）如圖，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，點E以0.5cm/s的速度從點B到點C，同時點F以0.4cm/s的速度從點D到點B，當(dāng)一個點到達終點時，則運動停止，點P是邊CD上一點，且CP=1，且Q是線段EF的中點，則線段QD+QP的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接QB，PB．∵四邊形ABDC是矩形，∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，∴C（3，0），B（0，4），∵∠CDB=90°，∴BC==5（cm），∵EH∥CD，∴△BEH∽△BCD，∴，∴，∴EH=0.3t，BH=0.4t，∴E（0.3t，40.4t），∵F（0，0.4t），∵QE=QF，∴Q（t，2），∴點Q在直線y=2上運動，∵B，D關(guān)于直線y=2對稱，∴QD=QB，∴QP+QD=QB+QP，∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)，∴QP+QD≥2，∴QP+QD的最小值為2．故選：A．2．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是等腰三角形，底邊BC的長為4，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于點E，F(xiàn)．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值是（

）A．11 B．13 C．9 D．8【答案】A【詳解】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴，解得AD=9，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴CM=AM，∴CD+CM+DM=CD+AM+DM，∵AM+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=9+×4=9+2=11．故選：A．3．（2022·四川廣元·一模）如圖，正方形的邊長為16，點在邊上，且，點是對角線上一動點，則線段的最小值為（

）A．16 B． C．20 D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，連接BD、BM，則BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC=16，CM=164=12，根據(jù)勾股定理得：BM==20，即DN+MN的最小值是20；故選：C．4．（2022·四川巴中·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為（）A．3 B．4 C．2 D．5【答案】B【詳解】，點G為EF的中點∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點作A關(guān)于BC的對稱點，連接，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G則此時的值最小，最小值為的長即的最小值為4故選：B．5．（2019·四川內(nèi)江·一模）如圖，已知點A是以MN為直徑的半圓上一個三等分點，點B是弧的中點，點P是半徑ON上的點．若⊙O的半徑為l，則AP+BP的最小值為（）A．2 B． C． D．1【答案】C【詳解】解：作點A關(guān)于MN的對稱點A′，連接A′B，交MN于點P，則PA+PB最小，連接OA′，AA′，OB，∵點A與A′關(guān)于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵點B是弧AN的中點，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故選C．6．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4），點C，D分別是OA，AB的中點，P是OB上一動點．當(dāng)△DPC周長最小時，點P的坐標(biāo)為_____．【答案】（0，1）【詳解】解：如圖：作C點關(guān)于y軸的對稱點C′，連接DC′交y軸于點P，此時PD＋PC的值最小，∵DC長為定值，∴當(dāng)PD＋PC的值最小時，△DPC周長最小，∵A（2，0），B（0，4），點C，D分別是OA，AB的中點，∴C（1，0），D（1，2），∴C′（?1，0），設(shè)直線DC′為：y＝kx＋b，把C′（?1，0），D（1，2），代入得，，解得：，∴y＝x＋1，令x＝0，∴y＝1，∴P（0，1），故答案為：（0，1）．7．（2021·四川省內(nèi)江市二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF的長取最小值時，BF的長為_____．【答案】【詳解】解：由題意得：DF=DB，∴點F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D；連接AD交⊙D于點F，此時AF值最小，∵點D是邊BC的中點，∴CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得：AD2=AC2+CD2∴AD=5，而FD=3，∴FA=5﹣3=2，即線段AF長的最小值是2，連接BF，過F作FH⊥BC于H，∵∠ACB=90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△ADC，∴，∴HF=，DH=，∴BH=，∴BF==．故答案為：8．（2022·仁壽縣長平初級中學(xué)校一模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點（點Q在點P的右邊）．①若連結(jié)AP、PE，則PE＋AP的最小值為______；②連結(jié)QE，若PQ＝3，當(dāng)CQ＝______時，四邊形APQE的周長最?。敬鸢浮?/p>

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【詳解】解：①延長AB到M，使BM＝AB＝4，則A和M關(guān)于BC對稱，∴AP＝PM，連接EM，交BC于點P，此時AP＋PE的值最小，∴AP＋PE＝PM＋EP＝EM，過點M作MN⊥DC，交DC的延長線于點N，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四邊形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E為CD的中點，

∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC＋CN＝6，∴，∴PE＋AP的最小值為10，故答案為：10；②點A向右平移3個單位到點G，點E關(guān)于BC的對稱點為點F，連接GF，交BC于點Q，∴EQ＝FQ，∴GQ＋EQ＝GQ＋FQ＝FG，此時GQ＋QE的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四邊形APQG是平行四邊形，∴AP＝GQ，∴GQ＋EQ＝AP＋EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP＋EQ的值最小即可，設(shè)CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴，∴，∴x＝，∴當(dāng)CQ＝時，四邊形APQE的周長最小，故答案為：．9．（2022·四川眉山·二模）如圖，在菱形ABCD中，，，Q為AB的中點，P為對角線BD上的任意一點，則的最小值為_____________．【答案】【詳解】解：連接AC，CQ，∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關(guān)于直線BD對稱，∴CQ的長即為AP+PQ的最小值，∵∠BCD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∵Q是AB的中點，∴CQ⊥AB，BQ=BC=×2=1，∴CQ=．故答案為：．10．（2020·四川成都·模擬預(yù)測）在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，點E是AB的中點，點P是對角線BD上一個動點，則PA+PE的最小值是__．【答案】2【詳解】解：連接DE，∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，點E是AB的中點，∴∠DAB＝60°，AE＝BE＝2，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，∴DE⊥AB，∵AB∥CD，∴DE⊥CD，連接EC，與BD交于點P，連接AC，此時PA+PE＝CP+EP＝CE值最小，∵DE＝AD＝2，∴CE＝＝＝2，∴PA+PE的最小值是2，故答案為：2．11．（2022·四川德陽·二模）已知：如圖，△ABC中，∠A=45°，AB=6，AC=，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的點，則△DEF周長的最小值是______．【答案】【詳解】解：如圖，作E關(guān)于AB的對稱點，作E關(guān)于AC的對稱點N，連接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由對稱性可知：DE=DM，F(xiàn)E=FN，AE=AM=AN，∴△DEF的周長DE+EF+FD=DM+DF+FN，∴當(dāng)點E固定時，此時△DEF的周長最小，∵∠BAC=45°，∠BAE=∠BAM，∠CAE=∠CAN，∴∠MAN=90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN=AE，∴當(dāng)AE的值最小時，MN的值最小，∵AC=4，∴AK=KC=4，∵AB=6，∴BK=ABAK=2，在Rt△BKC中，∵∠BKC=90°，BK=2，CK=4，∴BC==2，∵?BC?AH=?AB?CK，∴AH=，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)AE與AH重合時，AE的值最小，最小值為，∴MN的最小值為，∴△DEF的周長的最小值為．故答案為．12．（2020·四川成都·一模）如圖，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直線y=x上的一條動線段且PQ=（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時，點Q坐標(biāo)為______．【答案】（，）【詳解】解：作點B關(guān)于直線y=x的對稱點B'（0，1），過點A作直線MN∥PQ，并沿MN把點A向下平移單位后得A'（2，0），連接A'B'交直線y=x于點Q，如圖，∵AA'=PQ=，AA'∥PQ，∴四邊形APQA'是平行四邊形．∴AP=A'Q．∵AP+PQ+QB=B'Q+A'Q+PQ且PQ=．∴當(dāng)A'Q+B'Q值最小時，AP+PQ+QB值最?。鶕?jù)兩點之間線段最短，即A'，Q，B'三點共線時A'Q+B'Q值最?。連'（0，1），