專題1：比較大小<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>高考數學比較大小專題是高考數學考試中的一個重要專題.在這一專題中，考生需要掌握一些基本的數學知識和技巧，以便能夠在考場上正確地解決大小關系的問題.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：常用題型一：常用的方法與技巧常用的比較大小的方法有作差法，作商法，及中間量比較法，當兩個數直接比較大小困難時，可以嘗試引入中間變量輔助判斷，中間量的選取因題而異，需要多觀察題目本身的特點，通過一定的轉化尋求恰當的中間量，這需要多體會和多積累經驗.例1已知55<84,134<85，設a=A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b【思路點撥】根據條件55<84,134<8【規范解析】a=log53=ln3a?b=lnc?45=ln綜上所述，a<b<45<c,

即a<b<c,練1(2024·四川省·單元測試)已知a=logπe2，b=lnπA.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a【規范解析】a=logπe2=lne2lnπ=2lnπ，

b=lnπe=lnπ?lne=lnπ?1，

c=lne2π=ln?e練2(2024·浙江省杭州市·期中考試)已知a=e?1.1，b=12，c=1?ln(e?1)，則a，bA.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a【規范解析】c?b=1?ln∵ee?1<1，∴c?b<0，∴c<b，

設fx=lnx?1ex?e?1，則f′x=1x?1e=e?xex，

當x>e時，f∴c>a，∴a<c<b．

故選：C．題型二：數形結合題型二：數形結合比較大小根據條件，將比較大小與函數圖象結合起來，特別是具有“共性”的圖象，通過幾何直觀，輔以簡單計算，來確定大小關系.例2設x1,xA．x1<xC．x2<x【思路點撥】根據三個方程的“共性”，即都是與y=e【規范解析】作出函數y=e?x與y=lnx，y=ln(x+1)，如圖所示，由圖象可知：A，B，C的橫坐標依次為x2即有x2故選D.練3(2025·安徽省·期末考試)已知函數f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,?(x)=x3A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c【規范解析】f(x)=3x+x=0，則x=?3x，

g(x)=log3x+x，則x=?log3x，

?(x)=x3+x，則x=?x3，

∵函數f(x)，g(x)，?(x)的零點分別為a，b，c，

作出函數y=?3練4(2024·浙江省杭州市·模擬題)設函數f(x)=2x+x，g(x)=log2x+x，?(x)=x+x的零點分別為a，b，c，則A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>a>b【規范解析】令f(x)=2x+x=0，g(x)=log2x+x=0，

∵函數f(x)，g(x)的零點分別為a，b，

所以?a=2a，?b=log2b，

所以函數y=2x，y=log2x與函數y=?x的交點橫坐標為a，b，

又?(x)=x+x=0，可得x=0，即c=0題型三：構造題型三：構造函數比較大小利用所給條件的結構進行構造函數，可以是“同構函數”，也可能是直接作差構造函數，通過對函數的性質的研究，來達到解決問題的目的．例3若1a=π1πb=313c=e(其中e為自然對數的底數A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b【思路點撥】根據方程，求解出a,b,c的表達結構，根據結構特征，構造函數fx=lnxx，通過研究f(x)的單調性確定a,b的大小關系，而對于【規范解析】因為1a=π1πb=313c=e，所以ln1a=lnπ1πb=ln313c=1．

解得a=1elne，b=1πlnπ，c=13ln3．

令f(x)=lnxx，則a=f(e)，b=f(π)，c=f(3).

因為

f'(x)=綜上

c<b<a．故選A．練5(2022·新高考1卷)設a=0.1e0.1，b=19，c=?ln0.9A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b【規范解析】a=0.1e0.1，b=0.11?0.1，c=?ln(1?0.1)，

=1\*GB3①lna?lnb=0.1+ln(1?0.1)，

令f(x)=x+ln(1?x),x∈(0,0.1],則f'(x)=1?11?x=?x1?x<0，故f(x)在(0,0.1]上單調遞減，

可得f(0.1)<f(0)=0，即lna?lnb<0，所以a<b；

=2\*GB3②a?c=0.1e練6(2024·山東省·模擬題)已知正實數a,b,c滿足a2?b=2lnab>0A.0<c<b<1<a B.0<b<c<1<a

C.0<c<b<a<1 D.0<b<c<a<1【規范解析】因a>0,b>0，由lnab>0可得：a由a2?b=2lnab化簡得：a2?2由f′(x)=2x2?1x，(x>0)，

則當0<x<1時，f′(x)<0則fx在0,1上遞減，在1,+∞上遞增，故f又g′x=x?2x,(x>0)，則當0<x<2時，g′(x)<0則gx在0,2上遞減；在2,+∞上遞增，故g由fx?gx=x2?x=xx?1，則0<x<1時，fx<gx；x=1令fa=fb=k.由于a>b，則0<b<1，1<a，排除由于a>1，7b?2令?x=75x?25x則有5c?b<1，即c?b<0得綜上，0<c<b<1<a．故選：A．<<<專題訓練>>><<<專題訓練>>>1.(2024·安徽省安慶市·期末考試)已知x=4+22.2，y=6+85ln2A.z>y>x B.y>x>z C.x>z>y D.z>x>y【解答】

x=4+22.2=4+22×20.2=4(1+20.2)，z=23.1=4×21.1=8×20.1，

xz=4(1+20.2)8×2.(2023·湖北省·模擬題)設實數a，b，c滿足1.001ea=e1.001，b?A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b【解析】設x=1.001，則xea=ex因為a?b=x?1x?lnx，而lnx<12(x?1x)，

從而3.(2022·全國理科甲卷)已知a=3132,b=cos14A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b【解析】因為cb=4tan14，因為當x∈0,π2設f(x)=cosx+12x2?1,x∈(0,+∞)，則f14>f(0)=0，所以cos1故選A.4.(2024·浙江省杭州市·模擬題)已知a=e?1.1，b=12，c=1?ln(e?1)，則aA.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a【解析】c?b=1?ln∵ee?1<1，∴c?b<0，∴c<b，設fx=lnx?1ex?e?1，則f′x=1x?1e=e?xex，

當x>e時，f∴c>a，∴a<c<b．

故選：C． 5.(2023·四川省南充市·模擬題)已知a?4=lna4<0，b?3=lnbA.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.a<c<b【解析】令f(x)=x?lnx，f′(x)=1?1x=x?1x=0，

則f(x)在(0,1)單調遞減，(1,+∞)單調遞增，如圖所示：

a?4=lna4<0，

∴a?lna=4?ln4，

∴f(a)=f(4)，

同理f(b)=f(3)，f(c)=f(2)，

又f(2)<f(3)<f(4)，

6.(2024·江蘇省揚州市模擬)若a=2tan1，b=2，c=ln4+12，則a，b，A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a【解析】令f(x)=2lnx+1x?x，則f'(x)=2?1x?1x2?1=?(x?1)2x因為0<π4<1<π2，所以2tan?1>2tan?π4=2，7.(2024·遼寧省沈陽市聯考·多選)已知函數f(x)的定義域為(?∞,0)∪(0,+∞)，圖像關于y軸對稱，其導函數為f'(x)，且當x<0時，f'(x)>f(x)x，設a>1，則下列大小關系正確的是(

)A.(a+1)f(4aa+1)>2af(2a) B.【解析】由題意，當x<0時，構造函數g(x)=f(x)x，則g'(x)=xf'(x)?f(x)x2<0，

所以x<0時，g(x)單調遞減，又由題意可得f(x)是偶函數，

所以對于A，∵a>1，∴0<4aa+1<4a2a=2a，∴g(4aa+1)>g(2a)，即f(4aa+1)4aa+1>f(2a)2a，∴(a+1)f(4aa+1)>2af(2a)∴g(a+1)<g(4aa+1)，即f(a+1)a+1<f(4aa+1)4aa+1，∴4af(a+1)a+1<(a+1)f(4aa+1)，故C錯誤；

對于D，8.(2024·山東省臨沂市模擬)設a=15，b=2ln(sin110+cos110)，【解析】b=2ln(sin110+cos110)=ln(sin110+cos110)2=ln(1+sin15)，

令f(x)=x?sinx，則f'(x)=1?cosx≥0，即f(x)在(0,1)上單調遞增，且f(0)=0，

所以f(15)=15?sin1故?(x)在(0,15)故?(15)=ln65?9.(2024·山東省威海市期末)已知函數f(x)=ex(x試比較ln(mn)+zez，ln(mz)+nen，【解析】依題意，f(m)>f(n