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專題5極值點偏移問題答案解析【專題探究】例1【解析】(1)因為fx=所以f'x由題意可得f0=?2因為f'x所以當x<0或x>1時,f'x>0,當0<x<1時,則fx在?∞,0與1,+∞上單調遞增,在(2)由(1)可知x1<0,0<x2設gx則g'設?x=x因為0<x<1,所以?'x>0,則?x因為?0=0,所以?x>0在0,1上恒成立,即g'x>0在0,1上恒成立,則gx在0,1上單調遞增.因為g0=0因為x2∈0,1因為fx1=fx因為fx在?∞,0上單調遞增,且x即證:x1練1【解析】(1)fx的定義域為0,+∞,f′x=1?lnx,

當f′x=0時,x=e,

當x∈0,e時,f′x>0,

當x∈e,+∞(2)fe2=0,f′e2=1?ln即x+y?e(3)先證x1+x2>2e,由(1)可知0<x1即證fx令gx=fx則g′x所以gx在區間0,e內單調遞增,gx<g即x1再證x1+x2<e2,由(2)令m(x)=f(x)?φ(x)=x(2?lnm′x=2?lnx,

∴mx故當x∈0,e2時,f則m=fx2<φ又0<x1<e,∴x練2【解析】∵函數f(x)=12x2?alnx的定義域為0,+∞,

且f′x=x?ax=x2?ax,

∴若a?0,f′x>0恒成立,這時函數fx在0,+∞內單調遞增,函數fx至有多一個零點,不合條件;

若a>0,令f′x=0,得x=a,

當x∈0,a時,f′x<0,函數fx單調遞減,

當x∈a,+∞時,f′x>0,函數fx單調遞增,

這時函數fx有最小值,且fxmin=fa=a21?lna.

∵函數f(x)=12x2?alnx的定義域0,+∞內有兩個零點,

∴首先必須滿足條件:fxmin=fa=a21?lna<0,解得:a>e.

在此條件下,∵f1=12>0,fa<0,又函數fx在0,a內單調遞減,

∴函數fx在0,a內有且僅有一個零點;

令?x=x?1?lnx(x>0),∵?′x=1?1x=x?1x,

當0<x<1時,?′x<0,?x單調遞減,當x>1時,?′x>0,?x單調遞增,

∴?x??1例2【解析】(1)由f(x)=e2x?a(x?1)當a≤0時,f'(x)>0,函數f(x)是當a>0時,令f'當x>12lna2時,f'(x)>0,函數f(x)綜上所述:當a≤0時,函數f(x)是實數集上的增函數,當a>0時,當x>12lna2時,函數f(x)(2)由(1)可知:當a>0時,當x>12lna2時,函數f(x)最小值為:fx因為函數f(x)有兩個不同的零點x1,x因為當x→+∞時,f(x)→+∞,當x→?∞時,f(x)→+∞,所以有f(x)min<0,即f'因為函數f(x)有兩個不同的零點x1所以f(x因此f令x2構造函數?(t)=2t?e因為t>0,所以et+e所以當t>0時,函數?(t)單調遞減,故有?t而ex1+練3【解析】(1)由題意知x∈0,+∞,f'當a≤0時,f'(x)>0,函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,即f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).當a>0時,由f'(x)>0得x>a2;由f'x所以函數f(x)的單調遞增區間為(a2,+∞),單調遞減區間為由(1)可得,若函數f(x)有兩個零點,則a>0,且f(x)的最小值fa2即?a2+4a?4alna2<0.可知?(a)在(0,+∞)上為增函數,且?2=?2,?所以存在零點?a0=0當a>a0時,?(a)>0當0<a<a0時,?(a)<0.所以滿足條件的最小正整數又當a=3時,f(3)=32?ln3>0,f∴a=3時,f(x)有兩個零點.綜上所述,滿足條件的最小正整數a的值為3.(3)∵x1,x2是方程f(x)=c得兩個不等實數根,由(1)可知:不妨設0<x1<x2.則兩式相減得x12?a?2x∵f'(a2)=0,當x∈(0,a2)時,f故只要證明x1+x22>設t=x1x2(0<t<1),令∵1>t>0,∴g't>0.∴g(t)在(0,1)上是增函數,又在t=1處連續且g∴當t∈(0,1)時,gt練4【解析】(1)由題設gx=?所以g'因為1<m<2,所以當x∈(1,m)時,g'(x)<0,函數當x∈1,m時,gxmax所以gxmax?g構造函數φm=12m則φ″m=1?1m=所以函數φm在1,2上單調遞增,φ所以對于?x1、x2(2)因為f'x=2x所以函數f'x單調遞增,且要證f'x1+x22因為函數fx有兩個零點x由題意可得x12?下面先證明x1+x整理得x1+x設t=x2x1>1所以函數?t在1,+∞上單調遞增,所以?因為x1>0,所以2x例3【解析】(1)由題設,f'x=ex①當1?a≥0,即a≤1時,f'x>0,f②當1?a<0,即a>1時,令f'x=0,得x=lna?1,當x∈?∞,lna?1,f'綜上,當a≤1時,fx在R上單調遞增;當a>1時,fx在?∞,ln(2)當a=3時,fx=ex?2x+b兩式相減得ex1?ex法一:要證ex1+兩邊同除以2ex1得:x故只需證u?2e令Gu=u?2令?u=u?1∴當u∈?∞,0時,?'u<0,故即G'u=?u>?0故Gu法二:令ex1=t1即t1=2ln要證ex1+ex2>4即lnt令u=t1t令Fu=當u∈0,1時,F'u>0,故∴Fu練5【解析】解:定義域為(0,+∞),f′(x)=?mx2+1x=x?mx2,

當m≤0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;

當m>0時,由f′(x)=x?mx2=0得x=m,

當0<x<m時,f′(x)<0,f(x)單調遞減,

當x>m時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;

綜上:當m≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增;當m>0時,f(x)在(0,m)上單調遞減,在(m,+∞)上單調遞增;

(2)證明:當x∈(1,+∞)時,因為14<m<1e,所以g(x)=xlnx+xme?mx>0,g(x)無零點.

當x∈(0,1)時,由g(x)=xlnx+xme?mx=0,

得xlnx=?xme?mx,即elnxlnx=e?mx?mx,

設?(x)=exx,則有?(lnx)=?(?mx),

因為?′(x)=ex(x?1)x2<0在(?∞,0)上成立,所以?(x)在(?∞,0)上單調遞減,

當x∈(0,1)時,lnx<0,?mx<0,所以?(lnx)=?(?mx)等價于lnx=?mx,

即f(x)=mx+lnx=0,所以g(x)的零點與f(x)在(0,1)上的零點相同.

若14<m<1e,由(1)知f(x)在(0,m)上單調遞減,在(m,+∞)上單調遞增,

又f(m)=1+lnm<1+ln1e=0,練6【解析】(1)當k=1時,fx=e令?x=ex?x,則?'x=ex?∴?x在?∞,0上遞減,在0,+∞上遞增,∴?∴f'(x)>0得x>1,解f'∴f(x)的單調減區間為?∞,1,單調增區間為(2)f'x=∴方程ex?kx=0當k≤0時,gx單調遞增,g當k>0時,g'(x)>0得x>lnk,∴gx在?∞,∴glnk=此時,g0=1>0,lnk>1,g(1)=e?∴k>e時,f'(x)=0有三個根x1,x2,由ex1=kx1得x1=下面證明:lnx3?lnx1xφ'(x)=1t?∴φt>φ1∴x1練7【解析】(1)因為f'x當0<a<1時,f'x>0,fx當a>1時,令f'x=0,得當x∈0,e2alna時,f'x<0所以fx的單調遞減區間為0,e2alna,(2)(i)由(1)知a>1時,x0=e2alna于是fx得lne2alna由nx=xlnx在1,+∞單調遞增,則由0<alna<elne此時f1=ak>1,fk故1<x1<e(ii)證明:由ax1e2?loga設y=fx的極值點為x0,又由x0令?x=lnx?即?x在1,+∞上單調遞增,又?1=0,則?由1<x1<e<x2,可令即lnx2故有:x2?x1ln欲證x1+2x2>3a又由x0<x2由x0=e2alna,所以上述只需證令mx=即mx=x由1<a<e,可知a2【專題訓練】1.【解析】(1)由題意得f′(x)=設所求切線的切點為(x0,y0即y?y0=∴2e2?(令t(x)=lnx+2x2?2又t(e)=0,所以方程lnx0+2所以,直線l的方程是y=1?4e(2)證明:∵f(x1)=f(即lnx1?由(1)知只要證2x1+又因為0<x1<x令x1x2=t,則0<t<1,欲證設函數?(t)=lnt?2(t?1)所以函數?(t)是(0,1)上的增函數,所以?(t)<?(1)=0,即2(t?1)t+1所以f′((3)解法一:由題意得G(x)=ln則G′(x)=1x?ax+1=1?ax2+xx,令在(0,1+1+4a2a)上,G′(x)>0∴G(x)在(0,1+1+4a2a)上單調遞增,在(1+1+4a已知G(x)=f(x)+x+lna又G(2a)=0,所以G(1+所以a的取值的集合為2.解法二:由題意得G(x)=lnx?a2x2+x+∵a>0,∴△=1+4a>0,∴方程1?ax2+x=0有兩個不相等的實數根x則x1x2=?1a<0,不妨設x∴G(x由1?ax22∴G(x令g(x)=ln1+x2x則g′(x)=1x+1?1x+12=(x+2)(x?1)2x(x+1),當0<x<1時,g′(x)<0,當x>1時,g′(x)>0,

所以g(x)當且僅當x2=1時取等號,又G(x2)≤0恒成立,所以G(x2)=0,且x2=1,將x22.【解析】f′(x)=(a?x?1)ex,

可得當x<a?1時,f′(x)>0,當x>a?1時,f′(x)<0,

∴f(x)在(?∞,a?1)上遞增,(a?1,+∞)上遞減,

∴f(x)的遞增區間為(?∞,a?1),遞減區間為(a?1,+∞);

(2)證明:若f(x)在x=1處的切線平行于x軸,

∴f′(1)=(a?2)e=0,∴a=2.

∴f(x)=(2?x)ex,f′(x)=(1?x)ex,

可得當x<1時,f′(x)>0,當x>1時,f′(x)<0,

f(x)在(?∞,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,

且當x<2時,f(x)>0;當x>2時,f(x)<0.

由f(m)=f(n),不妨設m<n,則m<1,1<n<2,

若m≤0,則m+n<2;

若0<m<1,則2?m∈(1,2);

f(m)?f(2?m)=(2?m)em?me2?m=(2?m)e2m?2?mem?2(0<m<1)

構造函數F(x)=(2?x)e2x?2?x(0<x<1),

F′(x)=(3?2x)e2x?2?1,

令g(x)=(3?2x)e2x?2?1,則g′(x)=(4?4x)e2x?2,

當0<x<1時,g′(x)>0,g(x)在(0,1)上遞增,即F′(x)在(0,1)上遞增,

∴F′(x)<F′(1)=0,

所以F(x)在(0,1)上遞減,∴F(x)>F(1)=03.【解析】(1)若a=1,f(x)<2x?x2等價于2lnx?2x+1<0.

設g(x)=2lnx?2x+1,定義域為(0,+∞),g′(x)=2(1?x)x.

當0<x<1時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,當x>1時,g′(x)<0,g(x)單調遞減.

所以g(x)≤g(1)=?1<0,從而f(x)<2x?x2.

(2)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2(a?x)(1+1x).

若a≤0,則f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)單調遞減,f(x)至多有一個零點,

若a>0,當0<x<a,f′(x)>0,當x>a時,f′(x)<0,所以f(x)在(0,a)單調遞增,在(a,+∞)單調遞減.

若f(x)有兩個不同的零點x1,x2,必有f(a)=2alna+a(a?1)>0,可得a>1.

當a>1時,因為e?2<1<a,f(e?2)=a(2e?2?3)?e?4?2e?2<0.

取x0=4a?2>a,由(1)可知2lnx0<2x0?1,從而f(x0)<x0(?x0+4a?2)=0.

因此,若f(x)有兩個不同的零點x1,x4.【解析】f'(x)=2ex?(1+lnx),y=2ex是減函數,y=1+lnx是增函數,

所以f'(x)在(0,+∞)上單調遞減,

因為f'(e)=0,

所以x∈(0,e)時,f'(x)>f'(e)=0,f(x)單調遞增,x∈(e,+∞)時(2)證明:由題意,lnx1x1?lnx2x2=2elnx1?2elnx2,

即(2e?1x1)lnx1=(2e?1x2)lnx2,(2e?1x1)ln1x1=(2e?1x2)ln1x2,

所以F(x)在(1,e)上單調遞增,則F(x)<F(e)=0,

所以f(x)<f(2e?x),取x=a1,則f(a1)<f(2e?a1),

又f(a1)=f(a2),則f(a2)<f(2e?a1),

又2e?a1>e,a2>e,且f(x)在(e,+∞)上單調遞減,所以a2>2e?a1,即a1+a2>2e.

下證a1+a2<2e+1,

①當a2<e+1時,由a1<e得a1+a2<2e+1,

②當e+1≤a2<2e時,令G(x)=f(x)?f(2e+1?x),e+1<x<2e,

則G'(x)=f('x)+f'(2e+1?x)=2ex?1?lnx+2e2e+1?x?1?ln(2e+1?x)=2e(2e+1)?x2+(2e+1)x?2?ln[?x2+(2e+1)x],

記t=?x2+(2e+1)x,e+1≤x<2e,則G'(x)=2e(2e+1)t?2?lnt,

又t=?x2+(2e+1)x在[e+1,2e)上為減函數,所以t∈(2e,e2+1],

2e(2e+1)t?2在(2e,e2+1)單調遞減,?(t)在(2e,e2+1)單調遞增,所以2e(2e+1)t?2?lnt單調遞減,

從而G'(x)在5.【解析】(1)若a=1,f(x)<2x?x2等價于2lnx?2x+1<0.

設g(x)=2lnx?2x+1,定義域為(0,+∞),g′(x)=2(1?x)x.

當0<x<1時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,當x>1時,g′(x)<0,g(x)單調遞減.

所以g(x)≤g(1)=?1<0,從而f(x)<2x?x2.

(2)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2(a?x)(1+1x).

若a≤0,則f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)單調遞減,f(x)至多有一個零點,

若a>0,當0<x<a,f′(x)>0,當x>a時,f′(x)<0,所以f(x)在(0,a)單調遞增,在(a,+∞)單調遞減.

若f(x)有兩個不同的零點x1,x2,必有f(a)=2alna+a(a?1)>0,可得a>1.

當a>1時,因為e?2<1<a,f(e?2)=a(2e?2?3)?e?4?2e?2<0.

取x0=4a?2>a,由(1)可知2lnx0<2x0?1,從而f(x0)<x0(?x0+4a?2)=0.

因此,若f(x)有兩個不同的零點x

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