PAGEPAGE14.2.3直線與圓的方程的應用A級基礎鞏固一、選擇題1．一輛卡車寬1.6m，要經過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過(B)A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0m[解析]圓半徑OA＝3.6，卡車寬1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝eq\r(3.62－0.82)≈3.5(m)．2．已知實數x、y滿意x2＋y2－2x＋4y－20＝0，則x2＋y2的最小值是(A)A．30－10eq\r(5) B．5－eq\r(5)C．5 D．25[解析]eq\r(x2＋y2)為圓上一點到原點的距離．圓心到原點的距離d＝eq\r(5)，半徑為5，所以最小值為(5－eq\r(5))2＝30－10eq\r(5).3．方程y＝－eq\r(4－x2)對應的曲線是(A)[解析]由方程y＝－eq\r(4－x2)得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝4在x軸上和以下的部分．4．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的圖形面積是(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(3π,2) D．π[解析]數形結合，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).5．方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，則實數k的范圍是(D)A．k＝－eq\r(2) B．k∈(－eq\r(2)，eq\r(2))C．k∈[－1,1) D．k＝eq\r(2)或－1≤k<1[解析]由題意知，直線y＝x＋k與半圓x2＋y2＝1(y≥0)只有一個交點．結合圖形易得－1≤k<1或k＝eq\r(2).6．點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點，則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值等于(C)A．24 B．16C．8 D．4[解析]∵四邊形PAOB的面積S＝2×eq\f(1,2)|PA|×|OA|＝2eq\r(OP2－OA2)＝2eq\r(OP2－4)，∴當直線OP垂直直線2x＋y＋10＝0時，其面積S最小．二、填空題7．已知實數x、y滿意x2＋y2＝1，則eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍為[eq\f(3,4)，＋∞).[解析]如右圖所示，設P(x，y)是圓x2＋y2＝1上的點，則eq\f(y＋2,x＋1)表示過P(x，y)和Q(－1，－2)兩點的直線PQ的斜率，過點Q作圓的兩條切線QA，QB，由圖可知QB⊥x軸，kQB不存在，且kQP≥kQA．設切線QA的斜率為k，則它的方程為y＋2＝k(x＋1)，由圓心到QA的距離為1，得eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(3,4).所以eq\f(y＋2,x＋1)的取值范圍是[eq\f(3,4)，＋∞)．8．已知M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，則實數b的取值范圍是(－3,3eq\r(2)].[解析]數形結合法，留意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示)．結合圖形不難求得，當－3＜b≤3eq\r(2)時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y＞0)有公共點．三、解答題9.為了適應市場須要，某地打算建一個圓形生豬儲備基地(如右圖)，它的旁邊有一條馬路，從基地中心O處向東走1km是儲備基地的邊界上的點A，接著向東再走7km到達馬路上的點B；從基地中心O向正北走8km到達馬路的另一點C．現打算在儲備基地的邊界上選一點D，修建一條由D通往馬路BC的專用線DE，求DE的最短距離．[解析]以O為坐標原點，過OB、OC的直線分別為x軸和y軸，建立平面直角坐標系，則圓O的方程為x2＋y2＝1，因為點B(8,0)、C(0,8)，所以直線BC的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,8)＝1，即x＋y＝8.當點D選在與直線BC平行的直線(距BC較近的一條)與圓相切所成切點處時，DE為最短距離，此時DE的最小值為eq\f(|0＋0－8|,\r(2))－1＝(4eq\r(2)－1)km.B級素養提升一、選擇題1．(2024·葫蘆島高一檢測)已知圓C的方程是x2＋y2＋4x－2y－4＝0，則x2＋y2的最大值為(D)A．9 B．14C．14－6eq\r(5) D．14＋6eq\r(5)[解析]圓C的標準方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝9，圓心為C(－2,1)，半徑為3.|OC|＝eq\r(5)，圓上一點(x，y)到原點的距離的最大值為3＋eq\r(5)，x2＋y2表示圓上的一點(x，y)到原點的距離的平方，最大值為(3＋eq\r(5))2＝14＋6eq\r(5).2．對于兩條平行直線和圓的位置關系定義如下：若兩直線中至少有一條與圓相切，則稱該位置關系為“平行相切”；若兩直線都與圓相離，則稱該位置關系為“平行相離”；否則稱為“平行相交”．已知直線l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0與圓C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置關系是“平行相交”，則實數b的取值范圍為(D)A．(eq\r(2)，eq\f(3\r(2),2))B．(0，eq\f(3\r(2),2))C．(0，eq\r(2))D．(eq\r(2)，eq\f(3\r(2),2))∪(eq\f(3\r(2),2)，＋∞)[解析]圓C的標準方程為(x＋1)2＋y2＝b2.由兩直線平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.當a＝2時，直線l1與l2重合，舍去；當a＝－3時，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1與圓C相切，得b＝eq\f(|－1－2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，由l2與圓C相切，得b＝eq\f(|－1＋3|,\r(2))＝eq\r(2).當l1、l2與圓C都外離時，b<eq\r(2).所以，當l1、l2與圓C“平行相交”時，b滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b≥\r(2),b≠\r(2)，b≠\f(3\r(2),2)))，故實數b的取值范圍是(eq\r(2)，eq\f(3\r(2),2))∪(eq\f(3\r(2),2)，＋∞)．3．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(B)A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)[解析]圓心坐標是(3,4)，半徑是5，圓心到點(3,5)的距離為1，依據題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×AC×BD＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).4．在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(A)A．eq\f(4π,5) B．eq\f(3π,4)C．(6－2eq\r(5))π D．eq\f(5π,4)[解析]原點O到直線2x＋y－4＝0的距離為d，則d＝eq\f(4,\r(5))，點C到直線2x＋y－4＝0的距離是圓的半徑r，由題知C是AB的中點，又以斜邊為直徑的圓過直角頂點，則在直角△AOB中，圓C過原點O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小為eq\f(2,\r(5))，面積最小為eq\f(4π,5)，故選A．二、填空題5．某公司有A、B兩個景點，位于一條小路(直道)的同側，分別距小路eq\r(2)km和2eq\r(2)km，且A、B景點間相距2km，今欲在該小路上設一觀景點，使兩景點在同時進入視線時有最佳欣賞和拍攝效果，則觀景點應設于B景點在小路的投影處.[解析]所選觀景點應使對兩景點的視角最大．由平面幾何學問，該點應是過A、B兩點的圓與小路所在的直線相切時的切點，以小路所在直線為x軸，過B點與x軸垂直的直線為y軸上建立直角坐標系．由題意，得A(eq\r(2)，eq\r(2))、B(0,2eq\r(2))，設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由A、B在圓上，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝\r(2)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2),b＝5\r(2)))，由實際意義知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝\r(2))).∴圓的方程為x2＋(y－eq\r(2))2＝2，切點為(0,0)，∴觀景點應設在B景點在小路的投影處．6．設集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在實數t，使得A∩B≠?，則實數a的取值范圍是[0，eq\f(4,3)].[解析]首先集合A、B事實上是圓上的點的集合，即A、B表示兩個圓，A∩B≠?說明這兩個圓相交或相切(有公共點)，由于兩圓半徑都是1，因此兩圓圓心距不大于半徑之和2，即eq\r(t－42＋at－22)≤2，整理成關于t的不等式：(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，據題意此不等式有實解，因此其判別式不小于零，即Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，解得0≤a≤eq\f(4,3).7．(2024·山東省淄博市高一期末)經過點P(4,5)，且與圓(x－2)2＋y2＝4相切的直線的方程為x＝4或21x－20y＋16＝0.[解析]因為(4－2)2＋52＝29>4，所以點P在圓(x－2)2＋y2＝4外．方法一若直線的斜率存在，依題意，設直線的方程為y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.又圓心為(2,0)，半徑r＝2，且圓心到切線的距離等于半徑，所以eq\f(|2k－0＋5－4k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(21,20)，所以直線的方程為21x－20y＋16＝0.若直線的斜率不存在，則直線的方程為x＝4，明顯滿意題意．綜上可知，滿意題意的直線的方程為21x－20y＋16＝0或x＝4.方法二設所求切線方程為(x0－2)(x－2)＋y0y＝4，其中(x0，y0)是圓上的切點，將點(4,5)代入后，得2(x0－2)＋5y0＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－2＋5y0＝4，,x0－22＋y\o\al(2,0)＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4，,y0＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(16,29)，,y0＝\f(40,29).))故所求切線方程為x＝4或21x－20y＋16＝0.三、解答題8.如圖，已知一艘海監船O上配有雷達，其監測范圍是半徑為25km的圓形區域，一艘外籍輪船從位于海監船正東40km的A處動身，徑直駛向位于海監船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問：這艘外籍輪船能否被海監船監測到？若能，持續時間多長？(要求用坐標法)[解析]如圖，以O為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，則A(40,0)，B(0,30)，圓O方程x2＋y2＝252.直線AB方程：eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設O到AB距離為d，則d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監船監測到．設監測時間為t，則t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝eq\f(1,2)(h)答：外籍輪船能被海監船監測到，時間是0.5h.9．(2024·常州高一檢測)如圖所示，一隧道內設雙行線馬路，其截面由一段圓弧和一個長方形構成．已知隧道總寬度AD為6eq\r(3)m，行車道總寬度BC為2eq\r(11)m，側墻EA，FD高為2m，弧頂高MN為5m.(1)以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；(2)為保證平安，要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m，請計算車輛通過隧道的限制高度是多少？[解析](1)由題意得，則E(－3eq\r(3)，0)，F(3eq\r(3)，0)，M(0,3)，由于所求圓的圓心在y軸上，所以