小專題04：最短路徑問題題型一：“一定點兩動點”型最短路徑問題例1．（1）如圖，，點是內(nèi)一點，，在的兩邊分別有點、（均不同于，求周長的最小值．【答案】見詳解【詳解】解：分別作關(guān)于、的對稱點、．連接交、交于、，則符合條件．連接、，由軸對稱的性質(zhì)可知，，，則為等邊三角形，，，，周長，（2）如圖，在銳角三角形中，，的面積為8，平分．若、分別是、上的動點，則的最小值是．【答案】4【詳解】解：過點作于點，交于點，過點作于，平分，于點，于，當(dāng)點與重合，點與重合時，的最小值．三角形的面積為8，，，．即的最小值為4．故答案為：4．【練習(xí)1】（1）如圖，為內(nèi)一定點，，分別是射線，上的點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，，則．【答案】【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，交于點，連接、、、，，，的周長，此時的周長有最小值，由對稱性可知，，，，，，，，，故答案為：．（2）如圖，在中，的面積為14，，平分，、分別為、上的動點，則的最小值是．【答案】【詳解】解：過點作于點，交于點，過點作于，平分，于點，于，，，當(dāng)點與重合，點與重合時，的最小值，最小值是，的面積為14，，，．即的最小值為．故答案為：題型二：“兩定點一動點”型最短路徑問題例2．已知：如圖，四邊形中，，，，．（1）在邊上求作點，使最小；（2）求出（1）中的最小值．【答案】見詳解【詳解】解：（1）作點關(guān)于的對稱點，連接交于，即為所求，此時，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時最小．（2）作于，則，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，；的最小值為8．【練習(xí)2】（1）如圖，是正方形的一條對稱軸，點是直線上的一個動點，當(dāng)最小時，．【答案】45【詳解】解：當(dāng)最小時，作出點關(guān)于的對稱點，正好是點，連接，為正方形對角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，．故答案為：．（2）如圖，兩點、在直線外的同側(cè)，到的距離，到的距離，，在直線上運動，則的最大值等于．【答案】5【詳解】解：延長交于點，，，當(dāng)點運動到點時，最大，，，，過點作，則，，．為最大．故答案為：5．（3）白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題：詩中將軍在觀望烽火之后從山腳上的點出發(fā)，奔向小河旁邊的點飲馬，飲馬后再到點宿營，若、到水平直線表示小河）的距離分別是3，1，兩點之間水平距離是3，則最小值．【答案】5【詳解】解：作關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于點，此時最小；則，，過點作于點，則，，，，．最小值．故答案為：5．題型三：“兩定點兩動點”型最短路徑問題例3．基本知識如圖1，在直線的兩側(cè)分別有點和，都要在上確定一點，使點到、的距離之和最小，只需連接，則與的交點即為所求點．初步探索如圖2（1）所示，、兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街天橋，那么橋建在何處才能使由到的路線最短？注意，橋必須與街道垂直，橋的寬度不計．請在圖2（2）中畫出天橋的位置，不需說明畫法，保留畫圖痕跡．舊題重溫如圖3，村莊、在河流同側(cè)，現(xiàn)欲在同岸邊建一個水泵站，問水泵站建在何處才能使最短．（不需說明畫法，保留畫圖痕跡）深入探索如圖4（1），兩個居民小區(qū)和在河岸的同側(cè)，現(xiàn)欲在河岸邊建一個長度為米的綠化帶，使到小區(qū)的距離與到小區(qū)的距離之和最小．請在圖4（2）中畫出綠化帶的位置．并寫出畫圖過程．【答案】見詳解【詳解】解：初步探索：如圖即為所求的天橋的位置．舊題重溫：如圖，點即為所求．深入探索：如圖，點，點即為所求．【練習(xí)3】（1）某中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子按如圖所示擺成兩直排（圖中的，，桌面上擺滿了桔子，桌面上擺滿了糖果，站在處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到處座位上．請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短．【答案】見詳解【詳解】解：如圖所示，小明所走的行走路線為：，所走的總路程最短．（2）如圖，為了做好2013年沈陽全運會起降的交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊從處出發(fā)，先到公路上設(shè)卡檢查，再到公路上設(shè)卡檢查，最后再到地執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？【答案】見詳解【詳解】解：如圖所示，交警小隊沿走才能使總路程最短．（3）如圖，在河里有，兩島，一次劃船比賽要從島劃向島，賽程規(guī)定必須先劃到北岸，然后再劃到南岸，最后劃向島，問應(yīng)選擇怎樣的路線，才能使路程最短？【答案】見詳解【詳解】解：如圖，分別作點關(guān)于北岸的對稱點、點關(guān)于南岸的對稱點，連接，分別交北岸于點，交南岸于點，連接、，根據(jù)兩點之間線段最短，路線最短．（4）已知：如圖，，點，分別是邊，上的定點，點，分別是邊，上的動點，記，．當(dāng)最小時，則．【答案】【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接交于，交于，則最小，，，，，，，，，故答案為．1．如圖，高速公路的同一側(cè)有，兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上，之間建一個出口，使，兩城鎮(zhèn)到的距離之和最小，則這個最短距離為A． B．10 C．12 D．【答案】B【詳解】解：如圖所示：作點關(guān)于直線的對稱點，再連接，交直線于點則此時最小，過點作延長線于點，，，，，則，在△中，，則的最小值為：．故選：．2．如圖所示，，點為內(nèi)一點，分別作出點關(guān)于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為，．【答案】15，．【詳解】解：點關(guān)于的對稱是點，點關(guān)于的對稱點，，，，，的周長為．，，，，故答案為：15，．3．如圖，在銳角中，，，，直線交邊于點，點、分別在線段、上運動，則的最小值是．【答案】2【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，，，點在上運動，連接，則，，當(dāng)時，最短，，即的最小值是2．故答案為：2．4．如圖，在四邊形中，，，點、分別在、上，（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)周長最小時，．【答案】121,118【詳解】解：（1），，，，，故答案為121．（2）如下圖，作關(guān)于和的對稱點，，連接，交于，交于，則即為的周長最小值．作延長線，，，，，，且，，．故答案為：118．5．如圖，在中，，，是的一條高線．若，分別是和上的動點，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對稱點，過作于交于，則的長度即為的最小值，，，，，，，，，．故答案為．6．已知，如圖為等邊三角形，高，為上一動點，為的中點，則的最小值為．【答案】10【詳解】解：連接，，為等邊三角形，為的中點，，，是的中垂線，，，當(dāng)點在上時，有最小值，的最小值為：．7．如圖，在中，，，，是的垂直平分線．點是上的動點，則的最大值為．【答案】3【詳解】解：如圖，延長交于，此時的值最大．的最大值．故答案為：3．8．如圖，已知牧馬營地和，某一天，牧馬人從營地趕著馬群，先帶到草地吃草，再到河邊飲水，然后回到營地，請你替牧馬人設(shè)計出最短路線．【答案】見詳解【詳解】解：如圖所示：9．如圖，一個人從點騎馬出發(fā)到點，但他必須先到河岸邊的點去讓馬飲水，然后再到河岸邊的點去，再次讓馬飲水，最后騎馬到點，他應(yīng)如何選擇飲水點，．才能使所走的路程最短？【答案】見詳解【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接，交于，于點，點，連接，，，所以路程最短．10．如圖，點、為內(nèi)兩點，分別在與上找點、，使四邊形的周長最小．【答案】見詳解【詳解】解：作點關(guān)于直線的對稱點，作關(guān)于直線的對稱點，連接交于，于，則此時四邊形的周長最小．11．如圖，為線段上動點，分別過點、作于點，于點，連接、，已知、、，設(shè)．（1）直接寫出用含的代數(shù)式表示的的長（無需化簡）；（2）觀察圖形并說明在什么情況下的值最小