專題01二次根式重難點突破（含參、有意義條件、化簡）50題目錄TOC\o"1-3"\h\u一、含參二次根式，11題，三星難度 1二、二次根式有意義的條件，19題，四星難度 6三、利用二次根式的性質化簡，20題，五星難度 19一、含參二次根式，11題，三星難度1．（2023下·全國·八年級名校名卷）若是整數，則a能取的最小整數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】首先根據二次根式有意義的條件確定a的取值范圍，再根據是整數，即可求得a能取的最小整數．【詳解】解：成立，，解得，又是整數，a能取的最小整數為0，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握和運用次根式有意義的條件是解決本題的關鍵．2．（2023下·全國·八年級名校名卷）已知是整數，則正整數n的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據是整數，，推出是完全平方數，設，得到，根據與同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整數值是2．【詳解】∵是整數，且，∴是完全平方數，設（m是正整數），則，∵與同奇同偶，∴，或，∴，或，∴，∴n的最小正整數值是2．故選：A．【點睛】本題主要考查了平方數，解決問題的關鍵是熟練掌握平方差公式分解因式，數的奇偶性，解方程組．3．（2023下·福建莆田·八年級統考期中）已知n是正整數，是整數，則n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】首先把進行化簡，然后根據是整數確定n的最小值．【詳解】解：∵，且是整數，∴是個完全平方數，(完全平方數是能表示成一個整式的平方的數)∴n的最小值是7．故選：D．【點睛】此題主要考查了二次根式的定義，做題的關鍵是推導“是個完全平方數”．4．（2023下·山東臨沂·八年級校考階段練習）若是整數，則正整數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據二次根式性質將化簡成，再根據是整數，需要讓能開方為整數，即可求出的最小值．【詳解】解：，是整數，是整數，正整數的最小值是，故選：．【點睛】本題考查了二次根式的定義，正確分解因式是解答本題的關鍵．5．（2023下·浙江·八年級名校名卷）若最簡二次根式和能合并，則a、b的值分別是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【答案】D【分析】由二次根式的定義可知，由最簡二次根式和能合并，可得，由此即可求解．【詳解】解：∵最簡二次根式和能合并，∴，∴，解得，故選D．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義和最簡二次根式的定義，熟知定義是解題的關鍵．6．（2023下·全國·八年級期中）若是整數，則滿足條件的最小正整數n的值為．【答案】6【分析】把24分解因數，分解出平方數，再根據二次根式的定義判斷出n的最小值即可．【詳解】解：，∵是整數，∴滿足條件的最小正整數．故答案為：6．【點睛】本題考查了二次根式的定義，熟練把24分解成平方數與另一個數相乘的形式是解題的關鍵．7．（2023下·湖北咸寧·八年級統考期中）若是整數，則正整數n的最小值是．【答案】51【分析】根據，且是整數，n是整數，即可得出結果．【詳解】解：∵，∴，∴，∵是整數，且n是整數，∴n的最小值為：51，故答案為：51．【點睛】本題考查開方的有關知識，熟練掌握二次根式的定義是解題的關鍵．8．（2023下·遼寧營口·八年級校聯考階段練習）是一個正整數，則的最小正整數是．【答案】3【分析】根據二次根式的定義可得，解得，再根據是一個正整數，可得或4或9，即可得到答案．【詳解】解：由二次根式的定義可得，解得：，是一個正整數，或4或9，解得：或8或3，的最小正整數是3，故答案為：3．【點睛】本題考查了二次根式的定義，求得或4或9是解題的關鍵．9．（2023下·河南安陽·八年級校考期中）若是整數，則正整數的最小值是．【答案】4【分析】根據二次根式有意義的條件和m為正整數，得出，即可得出m的值．【詳解】解：∵有意義，∴，解得：，∵m是正整數，∴，∴，∵是整數，∴，解得：，∴正整數的最小值是4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握二次根式被開方數為非負數．10．（2023·全國·八年級名校名卷）已知n是正整數，是整數，則滿足條件的所有n的值為．【答案】或或【分析】先利用算術平方根有意義的條件求得正整數的取值范圍，然后令等于所有可能的平方數即可求解．【詳解】解：由題意得，解得，∵n是正整數，∴∴，∴，∴，∵是整數，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數，∴或或，故答案為：或或【點睛】本題考查了算術平方根的性質，理解掌握被開方數是平方數時算術平方根才是整數是解題的關鍵．11．（2023下·江西新余·八年級統考期中）已知有理數、滿足等式．(1)求的平方根；(2)計算：．【答案】(1)的平方根是；(2)【分析】（1）利用二次根式有意義的條件求得，繼而求得，代入計算即可求解；（2）代入，，利用裂項相消，即可求解．【詳解】（1）解：∵，且，，∴，∴，∴，∴的平方根是；（2）解：代入，，原式．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，關鍵是根據二次根式的定義進行求解．二、二次根式有意義的條件，19題，四星難度12．（2024·廣東深圳·八年級深圳市高級中學校考期末）下列命題中真命題是（

）A．三內角之比為的三角形是直角三角形 B．三角形的外角等于兩個內角的和C．若有意義，則 D．【答案】A【分析】求出三角形的最大內角、根據三角形外角的性質、二次根式有意義的條件、無理數的估算即可得到解答．此題考查了直角三角形的定義、三角形外角的性質、二次根式有意義的條件、無理數的估算等知識，熟練掌握相關基礎知識是解題的關鍵．【詳解】解：A．三內角之比為的三角形中最大內角為，即三角形是直角三角形，故選項符合題意；B．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，故選項錯誤，不符合題意；C．若有意義，則，則不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；D．，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．13．（2024·河北石家莊·八年級校考期末），則x的值可以是（

）．A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件等知識點，掌握二次根式有意義的條件（被開方數大于等于零）是解題的關鍵；分式的分母不等于零是易錯點．根據二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列不等式組，求解得到x的取值范圍，進而完成解答．【詳解】解：由題意可得：，解得：，則選項A符合題意．故選A．14．（2024·全國·八年級競賽）若a、b、m滿足如下關系式：，則的平方根為（

）．A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，求一個數的平方根，解題的關鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件，求出，得出，根據算術平方公的非負性得出，整理得出，從而得出，求出，最后求出結果即可．【詳解】解：根據題意得：，∴，①∴，∴，∴，∴，②由①②得，解得：，∴，∴平方根即為4的平方根，為．故選：D．15．（2024·全國·八年級競賽）若二次根式在實數范圍內沒有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了二次根式有意義的條件，根據二次根式沒有意義的條件可得，再解不等式即可，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數.【詳解】解：二次根式在實數范圍內沒有意義，∴，解得：故選：A．16．（2022上·上海虹口·八年級上外附中校考階段練習）設等式在實數范圍內成立，其中a、x、y是兩兩不同的實數，則的值是()A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據根號下的數要是非負數，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【詳解】由于根號下的數要是非負數，∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得=0，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是兩兩不同的實數，∴x＞0，y＜0．將x=-y代入原式得：原式=．故選B．【點睛】本題主要考查對二次根式的化簡，算術平方根的非負性，分式的加減、乘除等知識點的理解和掌握，根據算術平方根的非負性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此題的關鍵．17．（2023下·浙江臺州·八年級臺州市書生中學校考階段練習）若二次根式有意義，且關于x的分式方程有正數解，則符合條件的整數m的和是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【答案】D【分析】根據二次根式有意義，可得，解出關于的分式方程的解為，解為正數解，進而確定m的取值范圍，注意增根時m的值除外，再根據m為整數，確定m的所有可能的整數值，求和即可．【詳解】解：去分母得，，解得，，∵關于x的分式方程有正數解，∴，∴，又∵是增根，當時，，即，∴，∵有意義，∴，∴，因此且，∵m為整數，∴m可以為-4，-2，-1，0，1，2，其和為-4，故選：D．【點睛】考查二次根式的意義、分式方程的解法，以及分式方程產生增根的條件等知識，解題的關鍵是理解正數解，整數m的意義．18．（2023下·八年級課時練習）若，則的值為．【答案】2022【分析】根據二次根式的被開方數的非負性，得a-2022≥0，進而化簡絕對值，求解即可．【詳解】解：由題意得a-2022≥0，∴a≥2022，∴|2021-a|=a-2021．∵，∴，，，即=2022．故答案為2022．【點睛】本題主要考查二次根式的非負性，以及化簡絕對值，找到a的取值范圍，化簡絕對值是解題的關鍵．19．（2023·福建泉州·八年級校考階段練習）若的最大值為，最小值為，則的值為.【答案】【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，根據二次根式有意義的條件和二次根式的非負性，根據二次根式有意義的條件和二次根式的非負性即可求出x的取值范圍和y的取值范圍，然后將等式兩邊平方得到，利用偶次方的非負數和二次根式的非負數求出的最大值和最小值，從而求出的最大值和最小值，即為，代入即可．【詳解】解：∵∴，解得：，將等式兩邊平方，得，∴，∴∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，當時，，又∵，∴，∴∴故答案為：．20．（2024·陜西寶雞·八年級統考期末）設，為實數，且，則點在第象限．【答案】四【分析】本題考查判斷點所在的象限，二次根式有意義的條件，根據題意，得到，進而求出的值，根據象限內點的符號特征，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴點在第四象限；故答案為：四．21．（2024·湖南湘潭·八年級統考期末）已知，則的算術平方根是．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，絕對值的非負性，算術平方根．熟練掌握二次根式有意義的條件，絕對值的非負性，算術平方根是解題的關鍵．由，可知，，即，則，，求，然后根據的算術平方根是，代值求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，∴，∴，解得，，∴的算術平方根是，故答案為：．22．（2024·湖南長沙·八年級湖南師大附中校考期末）若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式被開方數大于等于零、分式的分母不能為零是解題關鍵．根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件列不等式組求解即可．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，∴，解得：且．故答案為：且．23．（2024·全國·八年級競賽）已知實數x滿足，則．【答案】2013【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．先根據二次根式有意義的條件求出x的取值范圍，再根據二次根式的性質化簡得，然后兩邊平方即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，故．故答案為：2013．24．（2024·全國·八年級競賽）化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，由被開方數為非負數得到，即，可確定，進而求解，掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，，∴∴，∴，故答案為：．25．（2024·全國·八年級競賽）若不等式對任意實數都成立，則的最大值為．【答案】【分析】本題考查了絕對值不等式的解法，根據題設借助絕對值的幾何意義得有最小值為6，又由得出當時，的最小值為6，然后由不等式恒成立即可求解．【詳解】解：，∴當時，有最小值為6，∵，∴當時，的最小值為6，∴，∴解得，∴的最大值為，故答案為：．26．（2024·全國·八年級競賽）定義一種新的運算“”：，其中、為常數，且使得等式恒成立，那么．【答案】1【分析】本題考查了二次根式的意義，冪的運算，求代數式的值，正確理解二次根式的意義是解答本題的關鍵．先根據二次根式的意義列出不等式組并求解，得到，再代入方程求出b的值，從而得到，依此即可求得答案．【詳解】根據題意得，，，將代入得，解得，，．故答案為：1．27．（2023下·浙江杭州·八年級校聯考期中）已知，若整數滿足，則．【答案】【分析】先根據確定m的取值范圍，再根據，推出，最后利用來確定a的取值范圍．【詳解】解：為整數為故答案為：5．【點睛】本題考查的知識點是二次根式以及估算無理數的大小，利用“逼近法”得出的取值范圍是解此題的關鍵．28．（2024·全國·八年級競賽）若m滿足關系式，求m的值．【答案】4024【分析】本題考查了非負數的性質以及二次根式有意義的條件，得到是關鍵．根據二次根式的性質：被開方數是非負數求得，然后根據非負數的性質得到關于和的方程組，然后結合即可求得的值．【詳解】解：由可得，∴∴29．（2023·湖南長沙·八年級校考開學考試）在四邊形中，．

(1)如圖（1），若點在邊上，，且，，則的度數為_______；(2)如圖（2），若點在四邊形內部，，延長交邊于點．求證：．(3)如圖（3），以A為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，其中，，，且滿足．請問在軸上是否存在點，使得△和△的面積相等，若存在，請寫出點坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）先證明，再利用平角的含義可得答案；（2）證明，可得，結合，從而可得答案；（3）根據二次根式有意義的條件先求解，，再分兩種情況：如圖，當在軸的正半軸上時，連接，，設，如圖，當在軸的負半軸時，過作軸于，連接，，，再利用三角形的面積建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∵，，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∵，∵，∴；（3）∵，∴，解得：，∴，∴，，連接，∴，如圖，當在軸的正半軸上時，連接，，設，而，

∴，解得：，∴，如圖，當在軸的負半軸時，過作軸于，連接，，，

∴，解得：，不符合題意舍去，綜上：．【點睛】本題考查的是平行線的性質，四邊形的內角和定理的應用，坐標與圖形，二次根式有意義的條件，清晰的分類討論與方程思想的應用是解本題的關鍵．30．（2023·全國·八年級名校名卷）已知三條邊的長度分別是，，，記的周長為．(1)當時，的周長__________（請直接寫出答案）．(2)請用含的代數式表示的周長（結果要求化簡），并求出的取值范圍．如果一個三角形的三邊長分別為，，，三角形的面積為，則．若為整數，當取得最大值時，請用秦九韶公式求出的面積．【答案】(1)(2)（），【分析】（1）利用分別計算三條邊的長度，然后求和即可獲得答案；（2）依據二次根式有意義的條件可得的取值范圍，進而化簡得到的周長；由于為整數，且要使取得最大值，所以的值可以從大到小依次驗證，即可得出的面積．【詳解】（1）解：當時，，，，∴．故答案為：；（2）根據題意，可得，解得，∴∴；∵為整數，且有最大值，∴或3或2或1或0或，當時，三角形三邊長分別為，，，∵，∴此時不滿足三角形三邊關系，故，當時，三角形三邊長分別為，，，滿足三角形三邊關系，可設，，，∴．【點睛】本題主要考查二次根式的性質與化簡、三角形三邊關系等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質并根據三角形三邊關系求解．三、利用二次根式的性質化簡，20題，五星難度31．（2024·江蘇南通·八年級統考期末）已知正實數m，n滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查二次根式的性質，完全平方公式，平方的非負性．根據二次根式的性質將變形為，配方得到，根據得到，進而求解即可．【詳解】解：∵m，n均為正實數，∴可化為，∴，即，∵，∴，∴，∴的最大值為．故選：B32．（2024下·八年級課時練習）設為正整數，，，已知，則的值為（

）．A．1806 B．2005 C．3612 D．4100【答案】A【詳解】，，，同理．故選：A．33．（2024·浙江寧波·八年級寧波市第七中學校聯考期末）適合的正整數a的所有值的平方和為（

）A．13 B．14 C．5 D．16【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的性質與化簡，先根據題意判斷出a的符號，求出正整數a的值，進而可得出結論．【詳解】解：∵,∴∴，∴，∴正整數a的值為1，2，3，∴．故選：B．34．（2024·全國·八年級競賽）若，則A的算術平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質，算術平方根的定義，熟練掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．先根據二次根式的性質化簡A的值，再根據算術平方根的定義即可得到答案．【詳解】解：A的算術平方根是．故選：C．35．（2024·全國·八年級競賽）已知是整數，則滿足條件的最小正整數（

）．A．5 B．0 C．3 D．75【答案】C【分析】此題考查了無理數與有理數的聯系，根據二次根式的定義進行解答，解題的關鍵是正確理解什么情況下為正整數．【詳解】解：∵，∴是一個平方數，∴正整數最小是，故選：．36．（2024·湖南益陽·八年級統考期末）已知實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質、化簡絕對值、數軸，正確掌握相關的性質內容是解題的關鍵．根據數軸判斷a、b、、與0的大小關系，然后根據二次根式的性質即可求出答案．【詳解】由數軸知，，且，，，，，．故選：D37．（2024下·全國·八年級名校名卷）若是正整數，除以的余數為，則稱是“阿二數”．例如：是正整數，，則是“阿二數”；是正整數，且，則不是“阿二數”，對于任意四位正整數，的千位數字為，百位數字為，十位數字為，個位數字為．有一個四位正整數是“阿二數”，的千位數字比百位數字少，十位數字與個位數字的和為，且為有理數，則滿足條件的的值為．【答案】【分析】根據題意得出，得出,符合題意，代入驗證即可求解．【詳解】解：依題意，，，，則∵正整數是“阿二數”∴能被整除∴能被13整除，設∵是正整數，則是9的倍數，∴,符合題意，∵是有理數∴是平方數，當，時，符合題意，∴則故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質化簡，二元一次方程組的應用，根據題意分析，掌握整除的應用解題的關鍵．38．（2024下·全國·八年級名校名卷）設，求不超過的最大整數．【答案】【分析】首先將化簡，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【詳解】解：，，不超過的最大整數．故答案為：．【點睛】本題主要考查完全平方公式、二次根式的化簡，能正確化簡是解題的關鍵．39．（2024下·全國·八年級名校名卷）設，其中n為正整數，則．【答案】【分析】計算通項公式，將n=1，2，3，…，2022代入可得結論．【詳解】∵n為正整數，∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是用裂項法將分式裂項，再尋找抵消規律求和．40．（2024·四川成都·八年級統考期末）若，化簡二次根式．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的非負性是解題的關鍵．先將化成，再根據及即可解答．【詳解】解：∵，，∴．故答案為．41．（2024·全國·八年級競賽）已知，且，，則的值為．【答案】32【分析】根據二次根式的性質化簡，得：；根據立方根的定義化簡，得：．聯立解二元一次方程組，得：，再根據平方根和立方根的定義求出x和y的值，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．∵，∴．聯立，解得：，∴，∴，∴．故答案為：32．【點睛】本題考查平方根和立方根的定義，利用二次根式的性質化簡，解二元一次方程組，代數式求值等知識．根據二次根式的性質和立方根的定義，結合解二元一次方程組的步驟求出a和b的值是解題關鍵．42．（2024·全國·八年級競賽）如果，那么二次根式的平方根為．【答案】【分析】本題考查了平方根的定義，二次根式的化簡，配方法，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．先將方程兩邊同除以x，得到，再將的被開方式配方，即得，最后根據平方根的定義，即得答案．【詳解】解：由得，，所以二次根式的平方根為．故答案為：．43．（2024·全國·八年級競賽）計算：．【答案】2010【分析】本題考查整式的混合運算、二次根式的性質，設參數計算是解答的關鍵．設，利用整式的混合運算法則和二次根式的性質是解答的關鍵．【詳解】解：記，則原式，故答案為：2010．44．（2024·全國·八年級競賽）計算：．【答案】2009【分析】本題考查了完全平方公式和二次根式化簡，熟練巧用完全平方公式是解本題的關鍵；首先化簡為完全平方公式形式，然后根據二次根式開方即可解答．【詳解】解：．故答案為：2009．45．（2024·湖南長沙·八年級統考期末）閱讀下面材料并解決有關問題：（一）由于，所以，即，并且當時，；對于兩個非負實數，，由于所以，即，所以，并且當時，；（二）分式和分數有著很多的相似點，如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質．小學里，把分子比分母小的數叫做真分數，類似的，我們把分子的次數小于分母的次數的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如：；(1)在①、②、③、④這些分式中，屬于假分式的是________（填序號）；(2)已知：，求代數式的值；(3)當為何值時，有最小值？并求出最小值．（寫出解答過程）【答案】(1)①②④(2)(3)時，有最小值，最小值為3【分析】本題為新定義問題，創新題，考查了分式的計算，二次根式的變形，完全平方公式的應用等知識，理解題目中的相關材料，并根據題意