第11講向量的數量積知識梳理1、向量的夾角：已知兩個非零向量，如果以O為起點作，那么射線的夾角叫做向量與的夾角．的取值范圍是．當時，表示向量與方向相同；當時，表示向量與方向相反；當時，表示向量與相互垂直．2、向量的數量積已知兩個非零向量與的夾角為（），則把叫做與的數量積，記作．即．（1）兩個向量的數量積是一個實數；（2），當且僅當時，；（3）已知兩個非零向量與的夾角為，則叫做向量在方向上的投影．顯然在方向上的投影等于．（4）的幾何意義：等于其中一個向量的模與另一個向量在向量的方向上的投影的乘積．3、向量數量積的運算律①交換律成立：；②對實數的結合律成立：；③分配律成立：．特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=0．④但是乘法公式成立：；；等等．⑤兩個向量垂直的充要條件是：．例題解析思考1類比實數的運算律，向量的數量積是否具有類似的特征？先寫出類比后的結論，再判斷正誤(完成下表)：運算律實數乘法向量數量積判斷正誤交換律ab＝baa·b＝b·a結合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c消去律ab＝bc(b≠0)?a＝ca·b＝b·c(b≠0)?a＝c思考2在上述類比得到的結論中，對向量數量積不再成立的有哪些？試各舉一反例說明．例1．（2020·天津市軍糧城中學高一月考）設向量，是兩個互相垂直的單位向量，且，則（）A． B． C．2 D．4例2．（2021·天津市第八中學高一月考）若，，與的夾角為，則等于（）A． B． C． D．例3．（2021·江蘇南通市·啟東中學高一月考）在邊長為3的等邊三角形中，，則（）A． B． C． D．例4．（2021·江蘇淮安市·高一月考）已知，且關于的方程有等根，則向量與的夾角是（）A． B． C． D．例5．（2021·江蘇蘇州市·星海實驗中學高一月考）己知向量，滿足，且，則___________.例6．（2019·全國福州三中高一期末）已知向量，，則向量在方向上的投影為___________.例7．（2017·瓦房店市高級中學（文））與向量垂直的單位向量為______________________．例8．在△中，三邊長分別為AB=7，BC=5，AC=6，則______．例9．（2021·蘇州市第三中學校高一月考）已知向量（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的夾角．例10．（2021·天津市濱海新區塘沽第一中學高一月考）已知向量與的夾角為，且，.（1）若與共線，求k；（2）求，；（3）求與的夾角的余弦值例11.已知與夾角為，（1）求；（2），求；（3），求；（4）夾角為銳角，求的取值范圍.例12.已知正三角形，點、、分別是所在棱的中點，則當，，且時，數量積的不同數值的個數為.例13.已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f(π,3)，則實數λ＝________.例14.設θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數t，|b＋ta|的最小值為1.()A．若θ確定，則|a|唯一確定 B．若θ確定，則|b|唯一確定C．若|a|確定，則θ唯一確定 D．若|b|確定，則θ唯一確定例15.設a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,3) C．eq\f(π,6) D．0【鞏固訓練】1.給出下列結論：①若a≠0，a·b＝0，則b＝0；②若a·b＝b·c，則a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正確結論的序號是________．2.設是兩個單位向量夾角為，若，（1）求；（2）求；（3）求與夾角；（4）求在的投影.3．設a，b，c是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列結論：①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直；③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的序號是________．4．知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|3a－4b|.5．已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，k為何值時，向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角？6．已知非零向量a，b，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．7．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為1，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝________.8．如圖，在△ABC中，O為BC中點，若AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為60°，則|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝______.9．如圖所示，三個邊長為的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個不同的點，記（），則.反思總結反思總結1．數量積對結合律一般不成立，因為(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一個與c共線的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一個與b