37相似三角形一線三等角（K字）型一、單選題1．如圖，點分別在反比例函數的圖象上．若，，則a的值為（

）A． B． C．4 D．22．如圖，邊長為10的等邊中，點在邊上，且，將含30°角的直角三角板（）繞直角頂點旋轉，、分別交邊、于、．連接，當時，長為（

）A．6 B． C．10 D．3．如圖，將正方形折疊，使頂點與邊上的一點重合（不與端點，重合），折痕交于點，交于點，邊折疊后與邊交于點，設正方形的周長為，的周長為，則的值為（

）A． B． C． D．24．如圖，在矩形中，，，、、、分別為矩形邊上的點，過矩形的中心，且．為的中點，為的中點，則四邊形的周長為（

）A． B． C． D．5．如圖，在等邊三角形中，點，分別是邊，上的點．將沿翻折，點正好落在線段上的點處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．6．如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，則下列結論：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正確的個數是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．如圖，點是正兩邊上的點，將沿直線翻折，點的對應點恰好落在邊上，當時，的值是（

）A． B． C． D．二、填空題8．如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點，將△ABC沿EF折疊使點A與點D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．9．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，點P為BC邊上一動點，若AP⊥DP，則BP的長為．10．已知是等邊三角形，，點D，E，F點分別在邊上，，同時平分和，則的長為．11．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關于x的函數關系式為12．如圖，等邊的邊長為，點是邊上一動點，將等邊沿過點的直線折疊，該直線與直線交于點，使點落在直線上的點處，且折痕為則的長為．13．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的頂點E在邊CD或延長線上運動，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，則BE＝．14．如圖，為等邊三角形，點D，E分別在邊AB，AC上，，將沿直線DE翻折得到，當點F落在邊BC上，且時，的值為．三、解答題15．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．16．[感知]如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），，易證：△DAP∽△PBC（不要求證明）[探究]如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），（1）求證：△DAP∽△PBC．（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的長.[應用]如圖③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），連結CP，作，與邊BC交于點E.當CE=3EB時，直接寫出AP的長.17．如圖，，且，，，在上是否存在一點，使得以、、為頂點的三角形與以、、為頂點的三角形相似，若存在，求的長，若不存在，請說明理由．18．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D為AB的中點，點E在BC上，點F在AC上，且∠DEF＝45°．（1）求證：△BED∽△CFE；（2）若BD＝3，BE＝2，求CF的長．19．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F．（1）求證：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長．20．如圖，在正方形中，點在上，交于點．（1）求證：；（2）連結，若，試確定點的位置并說明理由．21．如圖，在中，，，點為邊上一點，且，點為中點，．（1）求的長．（2）求證：．22．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC邊上的一點，∠APD＝90°．（1）求證：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的長．23．【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．24．如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，延長FE與直線CD相交于點G，連接FC（AB＞AE）．(1)求證：△AEF∽△DCE；(2)△AEF與△ECF是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；(3)設，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BFC相似？若存在，證明你的結論并求出k的值；若不存在，請說明理由．25．（1）問題如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由．（3）應用如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，若，求的長．26．如圖，已知邊長為10的正方形是邊上一動點（與不重合），連結是延長線上的點，過點作的垂線交的角平分線于點，若．（1）求證：；（2）若，求的面積；（3）請直接寫出為何值時，的面積最大．27．如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝8，過BC邊上一點P，作∠DPE＝60°，分別與邊AB，AC相交于點D與點E．（1）在圖中找出與∠EPC始終相等的角，并說明理由；（2）若