篇首寄語我們每位老師都希望把最好的教學資料留給學生，但面對琳瑯滿目的資料時，總是費時費力才能找到自己心儀的那份，編者也常常為此苦惱。于是，編者就常想，如果是自己來創作一份資料又該怎樣？再結合自身教學經驗和學生實際情況后，最終創作出了一個既適宜課堂教學講解，又適宜課后作業練習，還適宜階段復習的大綜合系列。《20232024學年五年級數學下冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點真題總結與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專項練習篇、單元復習篇、分層試卷篇等四個部分。1.典型例題篇，按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。2.專項練習篇，從高頻考題和期末真題中選取專項練習，其優點在于選題經典，題型多樣，題量適中。3.單元復習篇，匯集系列精華，高效助力單元復習，其優點在于綜合全面，精煉高效，實用性強。4.分層試卷篇，根據試題難度和不同水平，主要分為基礎卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優點在于考點廣泛，分層明顯，適應性廣。無足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過程中有任何寶貴意見，請留言于我改進，歡迎您的使用，謝謝！101數學工作室2024年5月6日20232024學年五年級數學下冊典型例題系列第流單元圓·概念認識篇【八大考點】專題解讀本專題是第六單元圓·概念認識篇。本部分內容考察圓的基礎概念、直徑和半徑的關系、圓的作圖等內容，考點和題型較為基礎，建議作為本章基礎內容進行講解，一共劃分為八個考點，歡迎使用。目錄導航目錄TOC\o"11"\h\u【考點一】圓的認識 3【考點二】畫圓 5【考點三】圓的對稱性 10【考點四】利用圓進行圖案設計 14【考點五】直徑和半徑的關系問題其一 18【考點六】直徑和半徑的關系問題其二 18【考點七】圓的數量問題 21【考點八】最圓問題 23典型例題【考點一】圓的認識。【方法點撥】1.圓的定義：一條線段繞著它固定的一端在平面上旋轉一周，它的另一端就會畫出一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫做圓。2.圓的各部分名稱：【典型例題】將一條線段的一個端點不動，另一個端點旋轉一周，其軌跡所形成的圖形是()。【答案】圓【分析】一條線段的一個端點不動，另一個端點旋轉一周，根據點動成線的原理即可理解。【詳解】將一條線段的一個端點不動，另一個端點旋轉一周，其軌跡所形成的圖形是（圓）。【點睛】此題考查了對圓的認識。一個端點不動，就是圓心，一條線段就是半徑，另一端點旋轉一周，其軌跡所形成的圖形就是圓。【對應練習1】()決定圓的位置，()決定圓的大小。【答案】圓心半徑【詳解】畫圓時，針尖固定的一點是圓心，通常用字母O表示。連接圓心和圓上任意一點的線段是半徑，通常用字母r表示。圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小。【對應練習2】在研究“圓的認識”一課時，亮亮用直尺從點O出發依次畫出很多條長度為4厘米的線段，形成一個近似的圓。這一想法，正好體現我們古代著名教育家墨子在2400多年前寫的一句話：“圓，()也”。【答案】一中同長【分析】圓這種圖形，有一個中心，從這個中心到圓上各點都一樣長。數學意義：圓有一個圓心，圓心到圓上各點的距離（即半徑）都相等，即在同一個圓里，有無數條半徑，所有半徑長度都相等。早在2400多年前，我國古代著名教育家墨子就曾寫過這樣一句話“圓，一中同長也”，正是詮釋了圓的這一特征。【詳解】根據分析得，亮亮的想法正好體現我們古代著名教育家墨子在2400多年前寫的一句話：“圓，一中同長也”。【點睛】此題的解題關鍵是認識理解圓的特征。【對應練習3】用圓規畫圓時，針尖所在的點叫做()，連接圓心和圓上任意一點的()叫做半徑，通過圓心并且兩端都在()的線段叫做直徑。【答案】圓心線段圓上【分析】根據圓的半徑和直徑的含義及圓的特征：從圓心到圓上任意一點的線段叫半徑．通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫直徑；在同一個圓里有無數條半徑，有無數條直徑，據此解答。【詳解】用圓規畫圓時，針尖所在的點叫做圓心，連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑，通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。【點睛】此題考查了圓的半徑和直徑的含義及圓的特征。【考點二】畫圓。【方法點撥】用圓規畫圓的方法：定好兩腳之間的距離，把帶有針尖的腳固定在一點上，把裝有鉛筆的腳旋轉一周，就畫出了一個圓。【典型例題1】畫圓。畫一個半徑為3厘米的圓。【答案】見詳解【分析】用圓規畫圓，有針的一腳不動，確定圓心的位置；圓規兩腳間的距離等于3厘米，有筆頭的一腳旋轉一周，即可得到半徑為3厘米的圓。【詳解】如圖：

【點睛】本題考查圓的畫法，先確定圓心的位置，再確定半徑，明確圓規兩腳間的距離等于圓的半徑。【對應練習1】畫出一個直徑為6cm的圓，并用字母標出其圓心、半徑。【答案】見詳解【分析】由題意知，要畫一個直徑是6cm的圓，首先確定圓的半徑為6÷2＝3cm，再依據畫圓的方法畫一個圓，并用字母標出它的圓心O、半徑r即可。【詳解】6÷2＝3（cm）如圖所示：【點睛】本題考查圓的認識，明確圓的半徑決定圓的大小是解題的關鍵。【對應練習2】按下面的要求，用圓規畫圖。（1）r＝3cm

（2）d＝5cm

（3）r＝3.5cm【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解【分析】畫圓的方法：①把圓規的兩腳分開，以半徑為兩腳間的距離；②以一個點為圓心，以相對應的半徑畫圓上。③把有針尖的一只腳固定在圓心上。④把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。【詳解】（1）r＝3cm如圖：（2）d＝5cmr＝5÷2＝2.5（cm）如圖：（3）r＝3.5cm如圖：【點睛】本題考查了畫圓的方法以及學生的動手操作的能力。【對應練習3】畫一個直徑為2厘米的圓，并標出半徑數據和單位。【答案】見詳解【分析】已知圓的直徑是2厘米，根據d÷2＝r，求出圓的半徑；先確定圓心O的位置，圓規兩腳間的距離等于圓的半徑，用圓規畫圓，標出半徑即可。【詳解】如圖：（以實際測量為準）【點睛】掌握畫圓的作圖方法是解題的關鍵，明確圓規兩腳間的距離就是圓的半徑。【典型例題2】確定圓心。請想辦法找出一個圓的圓心，用畫圖的方式呈現思考過程。【答案】見詳解【分析】根據圓的軸對稱性，并且圓心是到圓周上任意一點距離都相等的點，把這個圓看作一張圓形的紙，沿兩個不同位置對折，這些折痕相交于圓內的一點就是圓心的位置；據此解答。【詳解】畫圖如下：【點睛】此題考查了圓形的認識與特征，關鍵理解概念。【對應練習1】確定下面圓的圓心和直徑。（保留作圖痕跡）【答案】見詳解【分析】先連接正方形的2條對角線，以對角線的交點作為圓的圓心O；然后畫一條通過圓心且兩端都在圓上的線段，即是直徑d。【詳解】如圖：【點睛】本題考查確定圓心位置的方法以及直徑的認識。【對應練習2】請你找出下列圓的圓心和直徑。【答案】見詳解【分析】左圖，連接正方形的兩條對角線，兩條對角線的交點即是圓心O；通過圓心任意畫一條兩端都在圓上的線段，即是圓的直徑d。右圖，連接正方形的兩條對角線，兩條對角線的交點即是圓心O；因為這兩條對角線的兩端都在圓上，所以它們也是圓的直徑d，據此畫圖即可。【詳解】如圖：（答案不唯一）【點睛】本題考查外方內圓、外圓內方圖形找圓心和直徑的方法。【考點三】圓的對稱性。【方法點撥】如果一個圖形沿著一條虛線對折，兩側的圖形完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條虛線叫做對稱軸，在有圓的組合圖形中，經過圓心的直徑就是它的對稱軸。【典型例題1】圓的對稱軸。圓是軸對稱圖形，它有()條對稱軸，每條對稱軸都經過()。【答案】無數圓心【分析】根據軸對稱圖形的定義以及圓的特征，分析填空即可。【詳解】圓是軸對稱圖形，它有無數條對稱軸；因為圓的對稱軸是直徑所在的直線，又因為通過圓心、并且兩端都在圓上的線段，叫做直徑，所以圓的對稱軸一定通過圓心。【點睛】本題考查了圓，掌握圓的特征是解題的關鍵。【對應練習1】下圖有()條對稱軸。【答案】4【分析】如果沿某條直線對折，對折的兩部分是完全重合的，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。分別找到圓和正方形的對稱軸，再尋找組合圖形的對稱，據此解答。【詳解】正方形有4條對稱軸，圓有無數條對稱軸，所以題干中的組合圖形有4條對稱軸。【點睛】本題需要根據正方形和圓的特征去找組合圖形的對稱軸。【對應練習2】請你根據圖形對稱軸的條數按照從多到少的順序，在括號里填上適當的軸對稱圖形名稱。()、正方形、()、長方形、()。【答案】圓等邊三角形等腰梯形【分析】我們學過三角形、正方形、長方形、梯形和圓等平面圖形，其中等邊三角形有3條對稱軸，正方形有4條對稱軸，長方形有2條對稱軸，等腰梯形有1條對稱軸，圓有無數條對稱軸。據此，結合題意分析填空即可。【詳解】根據圖形對稱軸的條數按照從多到少的順序，在括號里填上適當的軸對稱圖形名稱。圓、正方形、等邊三角形、長方形、等腰梯形。【點睛】本題考查了對稱軸的數量，熟記常見圖形的對稱軸數量是解題的關鍵。【對應練習3】如圖圖形中，從左邊數，對稱軸條數最多的是第()個圖形，有()條對稱軸。【答案】3無數【分析】根據軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；依次找出對稱軸即可。【詳解】第一個圖形有5條對稱軸；第二個圖形有3條對稱軸；第三個圖形是個圓，直徑所在的直線是圓的對稱軸，圓有無數條直徑，所以有無數條對稱軸。從左邊數，對稱軸條數最多的是第3個圖形，有無數條對稱軸。【點睛】此題考查了軸對稱圖形的意義，要尋找對稱軸，就看圖形對折后兩部分是否完全重合。【典型例題2】作對稱軸。畫出下面圖形的對稱軸，并填空。（

）條【答案】畫圖見詳解；1【分析】如果將一個圖形沿著一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。畫對稱軸時要用虛線。此圖是由一個大圓和兩個大小相同的小圓組成的，過大圓的圓心和兩個小圓相交處畫直線，直線兩旁的部分能夠完全重合。【詳解】如下圖。把大圓的圓心和兩個小圓相交處相連并延長，可以畫出對稱軸，所以這個圖形有1條對稱軸。【點睛】找組合圖形的對稱軸時，要把這些圖形看作一個整體，仔細觀察，發現對稱軸的位置。【對應練習1】畫出下面軸對稱圖形的一條對稱軸。【答案】見詳解【分析】軸對稱：在平面內，如果一個圖形沿一條直線對折，對折后的兩部分都能完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸。【詳解】作圖如下：（畫法不唯一）。【點睛】此題考查了軸對稱的意義及在實際當中的運用。【對應練習2】畫出下列圖形的所有的對稱軸。

【答案】見詳解【分析】一個圖形沿一條直線對折后，折痕兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。【詳解】如圖：

【點睛】利用軸對稱圖形的特點，找出軸對稱圖形的所有對稱軸是解題的關鍵。【對應練習3】在下列各圖形中，你能分別畫出幾條對稱軸？【答案】見詳解【分析】畫對稱軸的步驟：（1）找出軸對稱圖形的任意一組對稱點。（2）連結對稱點。（3）畫出對稱點所連線段的垂直平分線，就可以得到該圖形的對稱軸。據此畫出各圖形對稱軸并確定對稱軸的數量即可。【詳解】【點睛】一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的圖形完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，折痕所在的直線就是對稱軸。【考點四】利用圓進行圖案設計。【方法點撥】圖案設計需要運用軸對稱或平移或旋轉進行設計，需要結合自己的生活經驗，展開想象。【典型例題】請你用一個圓形和一個正方形設計一個有四條對稱軸的組合圖形。【答案】見詳解【分析】畫一個正方形，再以這個正方形的對角線的交點為圓心，以正方形邊長的一半為半徑，所畫出的圖形就符合要求；或者先畫一個圓，再畫這個圓的兩條互相垂直的直徑，分別連接兩條直徑與圓的交點，所形成的四邊形就是正方形，且這個正方形和這個圓所組成的圖形有四條對稱軸。【詳解】依據分析畫圖如下：或者【點睛】此題主要考查圓的畫法以及軸對稱圖形的意義，即在平面內，如果一個圖形沿一條直線對折，對折后的兩部分都能完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸。【對應練習1】．用圓規和尺作圖，畫一個與下圖一樣的圖案。（正方形邊長4厘米）【答案】見詳解【分析】畫圓的步驟：把圓規的兩腳分開，定好兩腳的距離，即半徑；把有針尖的一只腳固定在一點上，即圓心；把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。用畫垂線或平行線的方法，先畫一個邊長4厘米的正方形，以正方形每條邊的中點為圓心，分別畫出4個直徑是4厘米的半圓即可。【詳解】【點睛】關鍵是掌握畫正方形和圓的方法，能利用圓規畫出圓。【對應練習2】請你在下面的空白處畫一個和下圖形狀一樣的圖案（大小可以不一樣）。【答案】見詳解【分析】先測量出原圖中大圓的半徑，再確定所畫大圓的圓心，根據測量結果畫出大圓，然后在大圓中畫兩條互相垂直的直徑，以所畫半徑的中點為圓心，半徑的一半為半徑畫出四個小圓，最后根據原圖形涂出陰影部分，據此解答。【詳解】分析可知：【點睛】畫圓時，圓心確定圓的位置，半徑決定圓的大小，掌握圓的畫法是解答題目的關鍵。【對應練習3】利用圓規和三角尺，你能畫出下面這些美麗的圖形嗎？試試看。【答案】見詳解【分析】，先畫出一個正方形，一正方形每條邊的中心為圓心，正方形邊長的一半為半徑，分別畫出4個半圓即可；，先畫出大圓，再畫出兩條垂直的直徑，以大圓半徑的中心為圓心，分別畫出4個半圓即可；，先畫出大圓，以大圓直徑上的兩條半徑中心為圓心，上下各畫兩個半圓弧即可；，先畫出大圓，再畫出兩條垂直的半徑，分別以大圓半徑的中心為圓心，畫出4個半圓弧即可；【詳解】【點睛】關鍵是看懂圖例，掌握畫圓的方法。【考點五】直徑和半徑的關系問題其一。【方法點撥】1.在同一個圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。2.在同一個圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。3.用字母表示為：d＝2r

r＝d÷2用文字表示為：半徑=直徑÷2

直徑=半徑×2。【典型例題】畫圓時，圓規兩腳之間的距離是5厘米，那么畫出的圓的直徑是()厘米，半徑是()厘米。解析：10；5【對應練習1】淘氣把圓規的兩腳叉開6cm畫出一個圓，這個圓的直徑是()cm。解析：12【對應練習2】在一個直徑是8分米的圓里，半徑是（）厘米。解析：40【對應練習3】一個圓形花壇的直徑是40米，那么它的半徑是()米。解析：20【考點六】直徑和半徑的關系問題其二。【方法點撥】1.在同一個圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。2.在同一個圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。3.用字母表示為：d＝2r

r＝d÷2用文字表示為：半徑=直徑÷2

直徑=半徑×2。【典型例題】看圖填空。d＝()

r＝()

d＝()

r＝()【答案】6cm/6厘米3cm/3厘米10cm/10厘米3.5cm/3.5厘米【分析】直徑＝半徑×2，半徑＝直徑÷2，第三個圖形，圓的直徑＝正方形的邊長，最后一個圖形，圓的半徑＝梯形的高，據此填空。【詳解】3×2＝6（cm）、6÷2＝3（cm）

d＝6cm

r＝3cm

d＝10cmr＝3.5cm【點睛】關鍵是看懂圖示，熟悉圓的特征。【對應練習1】如圖，長方形的長是()厘米，寬是()厘米。【答案】42【分析】觀察圖形可知，長方形的長是圓的半徑的4倍，寬是圓的半徑的2倍，據此解答。【詳解】長：1×4＝4（厘米）寬：1×2＝2（厘米）長方形的長是4厘米，寬是2厘米。【點睛】結合圖形，找到長方形的長、寬與圓的半徑的關系是解題的關鍵。【對應練習2】如圖是一個長方形，其中包含了兩個大小不同的圓。那么大圓的半徑是()cm，小圓的直徑是()cm。【答案】1.52【分析】由圖可知，大圓的直徑等于長方形的寬，大圓的半徑是大圓直徑的一半，小圓的直徑等于長方形的長減去大圓的直徑，據此解答。【詳解】分析可知，大圓的直徑為3cm。3÷2＝1.5（cm）5－3＝2（cm）所以，大圓的半徑是1.5cm，小圓的直徑是2cm。【點睛】根據圖形確定大圓的直徑，并掌握在同圓或等圓中半徑是直徑的一半是解答題目的關鍵。【對應練習3】下圖長方形的長是()m，周長是()m。【答案】1028【分析】由圖可知，長方形的長相當于圓形的兩條直徑加上一條半徑，長方形的寬相當于圓形的直徑，根據公式：r＝d÷2，長方形的周長＝（長＋寬）×2；計算出結果即可；據此解答。【詳解】長：4＋4＋4÷2＝8＋2＝10（m）周長：（10＋4）×2＝14×2＝28（m）所以，長方形的長是10m，周長是28m。【點睛】此題考查了長方形的周長計算以及圓形的認識，關鍵能夠理解對應邊相等。【考點七】圓的數量問題。【方法點撥】以固定直徑在長方形或正方形內畫圓，只能畫整圓，因此需要計算出長、寬兩邊各能畫多少個圓，再將數量相乘。【典型例題1】在一個長16厘米，寬12厘米的長方形紙片內剪下半徑為2厘米的圓，最多可剪()個。解析：2×2＝4（厘米）16÷4＝4（個）12÷4＝3（個）4×3＝12（個）【典型例題2】用一塊長1米，寬0.8米的長方形鐵皮，做一種直徑是4分米的圓形交通標志牌，怎樣取材比較合理？最多能做多少個交通標志牌？解析：長邊：10÷4≈2（個）寬邊：8÷4=2（個）一共：2×2=4（個）答：略。【對應練習1】用一張長16cm，寬13cm的長方形紙片，最多能剪()個半徑是2cm的圓形紙片。解析：2×2＝4（厘米）16÷4＝4（個）13÷4＝3（個）……1（厘米）4×3＝12（個）【對應練習2】在一張長100厘米，寬40厘米的長方形畫紙上，畫若干個半徑為10厘米的圓并剪下來，最多可以剪下()個這樣的圓。解析：圓的直徑：10×2＝20（厘米）（100÷20）×（40÷20）＝5×2＝10（個）【對應練習3】用邊長為9厘米的正方形卡紙，最多可以剪出()個半徑是2厘米的圓。（不能拼接）解析：2×2＝4（厘米）9÷4＝2（個）……1（厘米）2×2＝4（個）【考點八】最圓問題。【方法點撥】在正方形里面畫最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長；在長方形內畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。【典型例題1】最圓關系。在一個長10厘米，寬8厘米的長方形中畫一個最大的圓，圓的半徑是()厘米；如果在這個長方形內畫一個最大的半圓，那么這個半圓的直徑是()厘米。【答案】410【分析】在長方形上畫一個最大的圓，則圓的直徑相當于長方形的寬，根據d＝2r，用8÷2即可求出圓的半徑，如果在這個長方形內畫一個最大的半圓，則半徑要小于寬，所以以長為半圓的直徑可以畫出最大的半圓。據此解答。【詳解】8÷2＝4（厘米）10÷2＝5（厘米）5＜8在一個長10厘米，寬8厘米的長方形中畫一個最大的圓，圓的半徑是4厘米；如果在這個長方形內畫一個最大的半圓，那么這個半圓的直徑是10厘米。【點睛】本題主要考查了圓直徑和半徑之間的關系，以及長方形和圓的關系。【對應練習1】在一個長6厘米，寬4厘米的長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑是()厘米。畫一個最大的半圓，這個半圓的半徑是()厘米。【答案】43【分析】如下圖，因為6＞4，所以在長方形里畫最大的圓，應以長方形的寬（4厘米）為直徑。6÷2＝3（厘米），3＜4，所以應該以長方形的長為最大半圓的直徑畫半圓，再用直徑÷2求出這個半圓的半徑。

【詳解】如上圖，長方形中最大圓的直徑等于長方形的寬，所以在一個長6厘米，寬4厘米的長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑是4厘米。6÷2＝3（厘米），3厘米小于長方形寬4厘米，所以畫一個最大的半圓，這個半圓的半徑是3厘米。【點睛】在長方形內畫最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬；在長方形內畫最大的半圓，當寬大于或等于長的一半時，半徑是長的一半。【對應練習2】在一個長5cm，寬4cm的長方形內畫一個最大的圓，這個圓的半徑是()。【答案】2cm/2厘米【分析】長方形內畫一個最大的圓，圓的直徑＝長方形的寬，同一個圓內，圓的半徑＝直徑÷2，據此分析。【詳解】在一個長5cm，寬4cm的長方形內畫一個最大的圓，這個圓的直徑是4cm，4÷2＝2（cm），這個圓的半徑是2cm。【點睛】關鍵是熟悉圓的特征，理解圓的直徑和半徑之間的關系。【對應練習3】從一張邊長為20cm的正方形紙板中畫出一個最大的圓，這個圓的直徑是()cm。【答案】20【分析】根據題意，在正方形中畫一個最大的圓，