2024-2025學(xué)年浙江省91聯(lián)盟高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={-2,-1,0,1,2,3}，B={XIX(X-2)≥0}，則A∩B=()A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,3}C.{-2,-1,0,2,3}D.{-2,-1,0,3}2.若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3+2i(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)平面內(nèi)該復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知A、B、C是球0的球面上三個(gè)點(diǎn)，且AB=AC=BC=3，球心0到平面ABC的距離為1，則球0的表面積為()B.8πC.πD.16π4.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1=1，則“S3=3”是“q=-2”的()條件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要5.已知a=，b=ln2.2，C=e0.2，則a，b，C的大小關(guān)系為()6.已知拋物線C:y2=4X的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)(其中點(diǎn)M在第一象限)，點(diǎn)M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5，則的值為()A.2B.C.D.47.從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)中任選2個(gè)奇數(shù)和1個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.36B.42C.48D.548.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，C，滿足2(a-bcosC)=CsinB，BC邊上的高為2，且b=3，則△ABC周長(zhǎng)為()二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1~8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，設(shè)事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件C=“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是()C.事件B與C互斥D.事件A與B相互獨(dú)立10.已知函數(shù)下列說(shuō)法正確的是()B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到g(x)=2sin3x的圖象D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增11.已知函數(shù)y=ex-e-1與y=ln(x+e+1)交于M、N兩點(diǎn)，如圖截取兩函數(shù)在M、N之間部分圖像得到A.τ關(guān)于直線y=-x對(duì)稱B.若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則x0∈(1,2)C.τ上的點(diǎn)到直線y=x距離的最大值為eD.A，B是τ上互異的兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作τ的切線，斜率記為K1，K2，若K1=K2，稱(A,B)為τ的一組關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則τ的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有無(wú)數(shù)組．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．13.已知點(diǎn)M(0,3)，直線x-ky-2=0被圓x2+y2=8所截得弦的中點(diǎn)為N，則IMNI的最大值是．14.若三次函數(shù)f(x)=ax3+x2+Cx+1(a>0)有三個(gè)相異且成等差的零點(diǎn)，則a的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AD=4，AB=3，點(diǎn)M為PD的中點(diǎn)，連接MC．(1)求三棱錐M-ACD的體積;(2)求異面直線MC與PB所成的角的余弦值．16.(本小題15分)D公司開(kāi)發(fā)了兩款A(yù)I圖像檢測(cè)模型(分別記為甲模型、乙模型)，用于檢測(cè)圖像中的特定目標(biāo).已知甲模型在單張圖像中檢測(cè)到目標(biāo)的概率為，乙模型在單張圖像中檢測(cè)到目標(biāo)的概率為.假設(shè)每張圖像在同一模型中的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，現(xiàn)用甲、乙模型分別獨(dú)立地檢測(cè)3張圖像，記甲模型檢測(cè)到目標(biāo)的圖像張數(shù)為X，乙模型檢測(cè)到目標(biāo)的圖像張數(shù)為Y．(1)寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布列、均值及方差．(2)求事件“X+Y=3”的概率．17.(本小題15分)已知f(x)=lnx，g(x)=a(x2-1)(a∈R)．(1)令?(x)=f(x)+g(x)，討論?(x)的單調(diào)性和極值;(2)若x≥1時(shí)，不等式xf(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范圍．18.(本小題17分)已知雙曲線C的頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)A1，A2重合，且離心率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過(guò)雙曲線上一點(diǎn)R(R位于第一象限)作切線l，l分別與x軸，y軸交于M，N兩點(diǎn)，與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)．(i)若點(diǎn)R，M，N的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，求直線l的斜率．(i)已知△OPQ的面積為求點(diǎn)R的坐標(biāo)．19.(本小題17分)無(wú)窮整數(shù)數(shù)列{an}滿足0≤a1≤a2≤…≤an-1≤an≤…,對(duì)任意的k∈N*，記bk為數(shù)列{an}中小于k的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“聯(lián)盟數(shù)列”．(1)若數(shù)列{xn}有前9項(xiàng)分別為1，1，2，4，5，7，7，9，9，寫(xiě)出數(shù)列{xn}的“聯(lián)盟數(shù)列”的前七項(xiàng);(2)若數(shù)列{xn}的“聯(lián)盟數(shù)列”為{yn}，數(shù)列{yn}的“聯(lián)盟數(shù)列”為{zn}，(i)證明：zn=xn;(i)記S=x1+x2+…+xn-1+xn，T=y1+y2+…+ym-1+ym，證明：S+T>nm．參考答案3.B4.B5.C7.C15.解：(1)過(guò)點(diǎn)M作MH//AP，又點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，所以又底面為矩形，可知S△所以三棱錐M一ACD的體積△則匕OMC(或其補(bǔ)角)即為異面直線MC與PB所成的角，在△OMC中所以異面直線MC與PB所成的角的余弦值為16.解：(1)由題可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布：所以隨機(jī)變量X的分布列為一k，k=0，1，2，3．均值為E(X)=3×=2．(2)由題可知“X+Y=3”的情況可分為四類：①X=0，Y=3:P1=()3.()3=，②X=1，Y=2:P2=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),3)()1()2.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)()3=，③X=2，Y=1:P3=CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(2),3)()2()1.CEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up3(1),3)()3=，④X=3，Y=0:P4=()3.()3=，所以P(X+Y=3)=P1+P2+P3+P4==．17.解：(1)?(x)=f(x)+g(x)=lnx+a(x2一1);①a≥0時(shí)，?′(x)>0恒成立，?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值：②a<0時(shí)，令?′(x)>0，則2ax2>一1，x2<一;解得所以?在上單調(diào)遞增：(2)當(dāng)x≥1時(shí)，xf(x)≤g(x)恒成立，即xlnx≤a(x2一1)恒成立，+∞)，則φ(x)≤0恒成立，令m(x)=lnx+1一2ax，m′(x)=一2a，m(x)≤m(1)=1一2a≤0，即φ′(x)≤0，m(x)≥m(1)=1一2a>0，即φ′(x)>0，即φ′(x)>0，φ(x)單調(diào)遞增，φ(x)>φ(1)=0，不滿足條件。綜上，a的取值范圍是[,+∞)。18.解：(1)由題意可得，橢圓E左右頂點(diǎn)A1A2分別為(一3,0)，(3,0)，而雙曲線的頂點(diǎn)與A1，A2重合，故可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一此時(shí)，(2)(i)由題意可得，切線l的斜率存在，由于l與雙曲線相切：因此△=0，即36m2k2+12(m2+1)(1一3k2)=0，經(jīng)化簡(jiǎn)可得：m2+1=3k2一若m=0，則根據(jù)(*)式可得，此時(shí)l為雙曲線的漸近線，不可能為切線，故一解得切點(diǎn)在第一象限)，(ii)不妨設(shè)p(x1,y1)，Q(x2,y2)，此時(shí)切線l:y=kx+m與橢圓聯(lián)立：x2+3y2=3整理得：(1+3k2)x2+6mkx+3m2一3=0(解得或則R的坐標(biāo)為(,)或(,).設(shè)數(shù)列{xn}的“聯(lián)盟數(shù)列”為{yn}，(2)(i)yi表示數(shù)列{xn}中小于i的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，yi+1表示數(shù)列{xn}中小于i+1的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，顯然yi≤yi+1，因此0≤y1≤y2≤y3≤…≤yn—1≤yn≤…,設(shè){yn}的聯(lián)盟數(shù)列{zn}中的任意一項(xiàng)zk=t(k∈N*,t∈N)，則由“聯(lián)盟數(shù)列”的定義可知yt<k，yt+1≥k，這表明在數(shù)列{xn}中，xk≥t，xk<t+1，又因?yàn)閤k∈N，則xk=t，所以zn=xn．=—(y1+y2+…+yxn)+n.xn，當(dāng)x