高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省駐馬店市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由，又由z為純虛數(shù)，有，可得．故選：C．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，則，則成立，可知充分性成立；當(dāng)時，成立，但不成立，可知必要性不成立．可得“”是“”的充分不必要條件，故選：A．3.已知數(shù)列中，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，又.所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以.所以.故選：D4.根據(jù)某小區(qū)居民的月均用電量數(shù)據(jù)（單位：度），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則月均用電量數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）A.53度 B.54度 C.55度 D.56度【答案】C【解析】易知，而，可得75%分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)；因此月均用電量數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為．故選：C．5.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】實數(shù)x，y滿足即，表示圓心為半徑為1的圓，設(shè)，整理為，由直線與圓有公共點，得，即，解得，可得的最小值為．故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故選：B．7.已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，側(cè)面積為，體積為，則圓臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓臺的上底面的半徑為r，母線長為l，則圓臺的高為，由圓臺的側(cè)面積為，體積為，得，解得，圓臺的高，設(shè)圓臺的外接球的半徑為R，球心到圓臺兩底面圓的距離分別為，因此，解得，或，無解，所以圓臺的外接球的表面積為．故選：D8.已知是定義在上函數(shù)，對任意的兩個不相等的正數(shù)都有，記，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增．又由，有，又由，而，有，可得．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，D是邊上的一點，（其中），則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】設(shè)，有，即，又由，可得．對于A選項，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A選項錯誤；對于B選項，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B選項正確；對于C選項，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C選項正確；對于D選項，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D選項錯誤．故選：BC．10.已知橢圓的右焦點為，左、右頂點分別為兩點，直線與橢圓相交于兩點，則（）A.橢圓的短軸長為B.為定值C.當(dāng)以四個點為頂點的四邊形為平行四邊形時，四邊形的面積為D.直線和的斜率的乘積為【答案】ABD【解析】對于A，由，得到，可得橢圓C的短軸長為，故A正確；對于B，如圖，設(shè)橢圓C的左焦點為，連接由橢圓的對稱性有，故B正確；對于C，由題意得，且，又因為四邊形為平行四邊形，有，可得點的坐標(biāo)為，代入橢圓中，得到，解得，即的坐標(biāo)為，則平行四邊形的面積為，故C錯誤；對于D，由，設(shè)點的坐標(biāo)分別為，代入橢圓中有．又由，，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)減區(qū)間為B.當(dāng)時，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C.若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)a的取值范圍為D.若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a取值范圍為【答案】AB【解析】由，對于A選項，當(dāng)時，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項正確；對于B選項，當(dāng)時，，又由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點；當(dāng)時，令，可得或，若是函數(shù)的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由時，；時，；及，可知當(dāng)時，關(guān)于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則____________．【答案】1【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，可得．故答案為：1.13.如圖是函數(shù)（其中）的部分圖象，點為函數(shù)圖象與x軸的一個交點，點C為函數(shù)圖象與y軸的交點，點B為函數(shù)圖象的一個最低點，且，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為____________．【答案】【解析】由圖可知，，有，有，可得，又由五點作圖法可知，可得，可得，又由，有，可得，有．當(dāng)時，有，有，可得函數(shù)在上的值域為．故答案：14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過左焦點的直線與雙曲線C的左支相交于P，Q兩點，，且，則雙曲線C的離心率為____________．【答案】【解析】設(shè)，則有，又由，有，在中，由余弦定理有，可得，在中，由余弦定理有，可得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且滿足．（1）求；（2）若，，求邊上的高．解：（1）由正弦定理，有，有，通分后，有，有，因為，則，又由，有，可得，又由，可得.（2）設(shè)邊上的高為，由及余弦定理，有，的面積為，則.16.據(jù)不完全統(tǒng)計，我國小學(xué)生的近視率已經(jīng)達(dá)到驚人的45.7%，也就是說有將近一半的小學(xué)生已經(jīng)早早的開始與眼鏡為伴了．給孩子選一臺合格的護眼儀是很有必要的．護眼儀的功能就是對眼部周圍的穴位進行按摩以達(dá)到刺激穴位的目的，緩解學(xué)生們眼睛的疲勞，減輕用眼時間過長造成的眼睛干澀、充血等癥狀，可以用來預(yù)防近視，而絕對不可能治療近視．某醫(yī)學(xué)機構(gòu)為了研究某護眼儀預(yù)防近視的效果，隨機調(diào)查了200名小學(xué)生，數(shù)據(jù)如下：眼睛沒有近視眼睛近視合計配有某護眼儀6040100沒配有某護眼儀5050100合計11090200（1）依據(jù)小概率值的獨立性，分析預(yù)防眼睛近視是否與配有某護眼儀有關(guān)？（2）在樣本中，按分層抽樣（按是否配有某護眼儀分層）的方法從眼睛近視的小學(xué)生中抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，記這3人中沒配有某護眼儀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：參考公式，其中．參考數(shù)據(jù)：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：分類變量X與Y相互獨立，即認(rèn)為預(yù)防眼睛近視與是否配有某護眼儀無關(guān)，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為預(yù)防眼睛近視與是否配有某護眼儀無關(guān)；（3）由數(shù)據(jù)表中可得，這9人中，配有某護眼儀的有4人，沒配有某護眼儀的有5人，X的取值分別為0，1，2，3，可得，，，，X的分布列為：X0123PX的數(shù)學(xué)期望為．17.如圖，在直三棱柱中，為的中點．（1）證明：；（2）已知點P為空間內(nèi)一點，且滿足，求直線與平面所成的角的正弦值．（1）證明：連接，因為，則，又因為平面平面，平面平面，平面所以平面，且平面，可得，由題意可知：，則，可得，且平面，，可得平面，又因為平面，所以.（2）解：因為，平面，以D為坐標(biāo)原點，向量分別為x，y軸，過點D且與向量同向的向量為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因為，則，可得，則，，，又因為，可設(shè)，則，且，有，解得，即，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得平面的一個法向量為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為．18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個零點．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：．解：（1）由，有，若函數(shù)單調(diào)遞增，必有恒成立，不等式可化為,令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，有，可得，故實數(shù)a的取值范圍為；（2）（i）由令，可得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，可得，若函數(shù)有兩個零點，必有，可得，又由，（利用不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）），又由，故若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為；（ii）設(shè)，由函數(shù)有兩個零點，有，有，兩式相除，有，有，有，有，有，可得，又由，可得,有，又由，要證，只需證，只需證，令（其中），有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，故有成立．19.已知拋物線的焦點為F，在第一象限內(nèi)的點和第二象限內(nèi)的點都在拋物線C上，且直線過焦點F．按照如下方式依次構(gòu)造點：過點作拋物線C的切線與x軸交于點，過點作x軸的垂線與拋物線C相交于點，設(shè)點的坐標(biāo)為．用同樣的方式構(gòu)造點，設(shè)點的坐標(biāo)為．（1）證明：數(shù)列都是等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項和；（3）證明：當(dāng)時，直線都過定點．（1）證明：拋物線C的方程可化為，求導(dǎo)可得，將點的坐標(biāo)代入拋物線C的方程，有，過點的切線的方程為，代入，有，整理為，令，可得，有，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，同理，數(shù)列也是公比為的等比數(shù)列；（2）由焦點，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程消去y后整理為，有，由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，有，有，有，兩邊乘以，有，兩式作差，有，有，可得；（3）由（2）知，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程為，令，有，故當(dāng)時，直線過定點．河南省駐馬店市部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由，又由z為純虛數(shù)，有，可得．故選：C．2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，則，則成立，可知充分性成立；當(dāng)時，成立，但不成立，可知必要性不成立．可得“”是“”的充分不必要條件，故選：A．3.已知數(shù)列中，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，又.所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以.所以.故選：D4.根據(jù)某小區(qū)居民的月均用電量數(shù)據(jù)（單位：度），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則月均用電量數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）A.53度 B.54度 C.55度 D.56度【答案】C【解析】易知，而，可得75%分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)；因此月均用電量數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為．故選：C．5.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】實數(shù)x，y滿足即，表示圓心為半徑為1的圓，設(shè)，整理為，由直線與圓有公共點，得，即，解得，可得的最小值為．故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，故選：B．7.已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，側(cè)面積為，體積為，則圓臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓臺的上底面的半徑為r，母線長為l，則圓臺的高為，由圓臺的側(cè)面積為，體積為，得，解得，圓臺的高，設(shè)圓臺的外接球的半徑為R，球心到圓臺兩底面圓的距離分別為，因此，解得，或，無解，所以圓臺的外接球的表面積為．故選：D8.已知是定義在上函數(shù)，對任意的兩個不相等的正數(shù)都有，記，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增．又由，有，又由，而，有，可得．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，D是邊上的一點，（其中），則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】設(shè)，有，即，又由，可得．對于A選項，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A選項錯誤；對于B選項，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B選項正確；對于C選項，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C選項正確；對于D選項，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D選項錯誤．故選：BC．10.已知橢圓的右焦點為，左、右頂點分別為兩點，直線與橢圓相交于兩點，則（）A.橢圓的短軸長為B.為定值C.當(dāng)以四個點為頂點的四邊形為平行四邊形時，四邊形的面積為D.直線和的斜率的乘積為【答案】ABD【解析】對于A，由，得到，可得橢圓C的短軸長為，故A正確；對于B，如圖，設(shè)橢圓C的左焦點為，連接由橢圓的對稱性有，故B正確；對于C，由題意得，且，又因為四邊形為平行四邊形，有，可得點的坐標(biāo)為，代入橢圓中，得到，解得，即的坐標(biāo)為，則平行四邊形的面積為，故C錯誤；對于D，由，設(shè)點的坐標(biāo)分別為，代入橢圓中有．又由，，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，函數(shù)減區(qū)間為B.當(dāng)時，函數(shù)的圖象是中心對稱圖形C.若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)a的取值范圍為D.若過原點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a取值范圍為【答案】AB【解析】由，對于A選項，當(dāng)時，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項正確；對于B選項，當(dāng)時，，又由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，是中心對稱圖形，故B選項正確；對于C選項，由A選項可知，當(dāng)時，是函數(shù)的極小值點；當(dāng)時，令，可得或，若是函數(shù)的極大值點，必有，可得，故C選項錯誤；對于D選項，設(shè)切點為（其中），由切線過原點，有，整理為，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由時，；時，；及，可知當(dāng)時，關(guān)于m的方程有且僅有3個根，可得過原點可作三條直線與曲線相切，故D選項錯誤，故選：AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則____________．【答案】1【解析】因為隨機變量服從正態(tài)分布，且，則，可得．故答案為：1.13.如圖是函數(shù)（其中）的部分圖象，點為函數(shù)圖象與x軸的一個交點，點C為函數(shù)圖象與y軸的交點，點B為函數(shù)圖象的一個最低點，且，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為____________．【答案】【解析】由圖可知，，有，有，可得，又由五點作圖法可知，可得，可得，又由，有，可得，有．當(dāng)時，有，有，可得函數(shù)在上的值域為．故答案：14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過左焦點的直線與雙曲線C的左支相交于P，Q兩點，，且，則雙曲線C的離心率為____________．【答案】【解析】設(shè)，則有，又由，有，在中，由余弦定理有，可得，在中，由余弦定理有，可得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且滿足．（1）求；（2）若，，求邊上的高．解：（1）由正弦定理，有，有，通分后，有，有，因為，則，又由，有，可得，又由，可得.（2）設(shè)邊上的高為，由及余弦定理，有，的面積為，則.16.據(jù)不完全統(tǒng)計，我國小學(xué)生的近視率已經(jīng)達(dá)到驚人的45.7%，也就是說有將近一半的小學(xué)生已經(jīng)早早的開始與眼鏡為伴了．給孩子選一臺合格的護眼儀是很有必要的．護眼儀的功能就是對眼部周圍的穴位進行按摩以達(dá)到刺激穴位的目的，緩解學(xué)生們眼睛的疲勞，減輕用眼時間過長造成的眼睛干澀、充血等癥狀，可以用來預(yù)防近視，而絕對不可能治療近視．某醫(yī)學(xué)機構(gòu)為了研究某護眼儀預(yù)防近視的效果，隨機調(diào)查了200名小學(xué)生，數(shù)據(jù)如下：眼睛沒有近視眼睛近視合計配有某護眼儀6040100沒配有某護眼儀5050100合計11090200（1）依據(jù)小概率值的獨立性，分析預(yù)防眼睛近視是否與配有某護眼儀有關(guān)？（2）在樣本中，按分層抽樣（按是否配有某護眼儀分層）的方法從眼睛近視的小學(xué)生中抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，記這3人中沒配有某護眼儀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：參考公式，其中．參考數(shù)據(jù)：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：分類變量X與Y相互獨立，即認(rèn)為預(yù)防眼睛近視與是否配有某護眼儀無關(guān)，由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為預(yù)防眼睛近視與是否配有某護眼儀無關(guān)；（3）由數(shù)據(jù)表中可得，這9人中，配有某護眼儀的有4人，沒配有某護眼儀的有5人，X的取值分別為0，1，2，3，可得，，，，X的分布列為：X0123PX的數(shù)學(xué)期望為．17.如圖，在直三棱柱中，為的中點．（1）證明：；（2）已知點P為空間內(nèi)一點，且滿足，求直線與平面所成的角的正弦值．（1）證明：連接，因為，則，又因為平面平面，平面平面，平面所以平面，且平面，可得，由題意可知：，則，可得，且平面，，可得平面，又因為平面，所以.（2）解：因為，平面，以D為坐標(biāo)原點，向量分別為x，y軸，過點D且與向量同向的向量為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因為，則，可得，則，，，又因為，可設(shè)，則，且，有，解得，即，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得平面的一個法向量為，則，所以直線與平面所成的角的正弦值為．18.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個零點．①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：．解：（1）由，有，若函數(shù)單調(diào)遞增，必有