高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省秦皇島市山海關區2025屆高三畢業班第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，.故選：A.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，則，即，解得，所以.故選：D.3.已知向量，若，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則，又，則，整理得到，故選：A.4.折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史.如圖所示的某折扇扇面可視為一個圓臺的側面展開圖，該扇面的面積為元，若該圓臺上、下底面半徑分別為5，10，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圓臺的側面積為，母線長圓臺的高則圓臺上下底面面積為由圓臺的體積計算公式可得：故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，所以，所以.故選：D6.已知，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題a=log，且c=1+log9，綜上，，即.故選：B.7.設雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，過點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為D，E，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，所以，又，平方后得，又在中，由可得，所以，兩式相減，整理得，所以，因為，所以，解得．故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，點在底面內的射影在的外部，且，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設，知且，底面，若是的中點，而，則，且，而底面，則，都在平面內，則平面，由平面，則，又底面，則，由，則，即，由點在底面內的射影在的外部，則在邊的外側，如下圖，若在的另一側，則必與的中點重合，不合題設，由題意，該三棱錐外接球球心在過的中點垂直于平面的直線上，根據幾何關系有，則，所以，可得，（注意時，不成立），所以，外接球半徑，則，故其表面積.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某科技公司統計了一款App最近5個月的下載量，如下表所示，若與線性相關，且經驗回歸方程為，則（）月份編號12345下載量萬次54.543.52.5A.與負相關 B.C.第7個月的下載量估計為1.8萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2【答案】ABD【解析】對于A，由，則回歸直線斜向下，故A正確；對于B，由，，即樣本中心為，則，解得，故B正確；對于C，將代入回歸方程，解得，故C錯誤；對于D，由題意可得下表：則最大值為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.點是圖象的一個對稱中心C.方程在區間上有2026個實數解D.若，則的單調遞增區間為【答案】AB【解析】由函數圖象可知，最小正周期滿足，即，所以，又因為函數圖象過點，將其代入函數可得，即，解得，又因為，所以，，所以，故A正確；對于B，因為函數的對稱中心是，所以令，可得，當時，，所以，點是圖象的一個對稱中心，故B正確；對于C，令，得.當時，即，則在區間上，共有1013個實數解；當時，即，則在區間上，共有1012個實數解.綜上，方程在區間上有個實數解，故C錯誤；對于D，由函數定義域可知，，又因為函數在上單調遞減，所以要使函數單調遞增，即函數單調遞減，且，所以，解得.所以，的單調遞增區間為，故D錯誤.故選：AB.11.記定義在上的函數與的導函數分別為和，若，，且，則（）A. B.的圖象關于直線對稱C.是周期函數，且其中一個周期為8 D.【答案】BC【解析】由題意，函數與的定義域均為.由求導可得，即，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；由求導可得，，，則（常數），令，則有，所以，即，所以，即函數的圖象關于直線對稱.又由可得，則有，，，即，所以函數的圖象關于點對稱.所以函數是周期函數，周期.證明如下：由可得，由上述結論可知，所以.則，即，又由可得，所以.所以是周期函數，且其中一個周期為8，故C正確；對于A，因為，，若，則，與矛盾.故A錯誤；對于D，由求導可得，則有，因為，所以則（是常數），令，可得，所以，即函數的圖象關于直線對稱.所以，函數也是周期函數，周期.，令，可得，根據對稱性可知，，所以.所以，不確定是否為0，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數列的前6項和為126，其中偶數項和是奇數項和的2倍，則______．【答案】2【解析】由題設，可得，若的公比為，則，所以，則.故答案為：213.將1，1，1，1，2，4，6，8這8個數填入如圖所示的格子中（要求每個數都要填入，每個格子中只能填一個數），則不同的填數方法共有______種；若填入的每行數之和為偶數，則不同的填數方法共有______種（用數字作答）.【答案】①.1680②.912【解析】首先任選4個格子填1，有種，再將余下的4個數填入其它4個格子，有種，所以，不同的填數方法共有種，要使填入的每行數之和為偶數，第1、2行填1的個數有三種情況，若，即第1行0個1，第2行4個1，此時有種；若，即第1行、第2行各2個1，此時有種；若，即第1行4個1，第2行0個1，此時有種；所以共有種.故答案為：1680，91214.已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點在圓上，點在橢圓上，則的最小值是__________．【答案】【解析】橢圓的，

右焦點為，右焦點為，上頂點為，

點在圓上，可設，

，

表示點與的距離，

由橢圓的定義可得，

，

當且僅當三點共線上式取得等號，

故的最小值是，

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.年哈爾濱亞洲冬季運動會，是繼年北京冬奧會后中國舉辦的又一重大國際綜合性冰雪盛會，將于年月日至月日在黑龍江省哈爾濱市舉行，人們將在觀看比賽的同時，開始投入健身的行列.某興趣小組為了解哈爾濱市不同年齡段的市民每周鍛煉的時長情況，隨機抽取人進行調查，得到如下列聯表：年齡周平均鍛煉時長合計少于小時不少于小時歲以下歲以上（含）合計（1）試根據的獨立性檢驗，判斷周平均鍛煉時長是否與年齡有關；（2）現從歲以下的樣本中按周平均鍛煉時長是否少于小時，用分層隨機抽樣的方法抽取人做進一步訪談，再從這人中隨機抽取人填寫調查問卷．記抽取人中周平均鍛煉時長少于小時的人數為，求的分布列和數學期望．附：，其中．解：（1）零假設：周平均鍛煉時長是否與年齡無關，由列聯表中的數據，可得，又，根據的獨立性檢驗，我們推斷假設不成立，即周平均鍛煉時長與年齡有關.（2）抽取的人中，周平均鍛煉時長少于小時的有人，不少于小時的有人，所以所有可能的取值為，，，，所以隨機變量的分布列為：隨機變量的數學期望.16.如圖①，已知正方形的邊長為4，分別為的中點，沿將四邊形折起，如圖②，使二面角的大小為60°，在線段上，直線與直線的交點為．（1）若為的中點，證明：平面；（2）當時，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：連接交于點Q，連接，因為正方形，分別為的中點，所以四邊形為矩形，所以為中點，又為的中點，，所以為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由題知：，二面角的大小為60°，故：是二面角平面角，，又，所以為正三角形，取中點，中點，連接，則，易證：面，所以，以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則則，設直線與平面的夾角為，則，又，所以，所以，直線與平面所成角的余弦值為.17.已知銳角三角形的內角所對的邊分別為，且滿足．（1）求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由，根據正弦定理，得，由，，則，即，而，故,又，所以.（2）由正弦定理，且，則，，由，則，由，則，即，可得，令，則，易知函數在上單調遞增，在上單調遞減，，，，所以.18.已知拋物線的焦點到準線的距離為2，為坐標原點．（1）求的方程；（2）已知點，若上存在一點，使得，求的取值范圍；（3）過的直線交于兩點，過的直線交于，兩點，，位于軸的同側，證明：為定值．解：（1）由題意可知：焦點F到準線的距離為，所以拋物線E的方程為.（2）設，可知，則，可得，顯然不滿足上式，則，可得，又因為，當且僅當，即時，等號成立，則，即，所以t的取值范圍為.（3）設，則直線的斜率，可得直線的方程，整理得，同理可得：直線的方程，由題意可得：，整理得，又因為直線的斜率分別為，顯然為銳角，則，所以為定值.19.對于數列，定義：如果函數使得數列的前項和小于，則稱數列是“控制數列”.（1）設，證明：存在，使得等差數列是“控制數列”；（2）設，判斷數列是否為“控制數列”，并說明理由；（3）仿照上述定義，我們還可以定義：如果存在實數使得數列的前項積小于，則稱數列是“特控數列”.設，其中，證明：數列是“特控數列”.（1）證明：不妨設等差數列的首項為，公差為d，前n項和為，則，取，，，則，有，即，即存在，使得等差數列是“控制數列”；（2）解：數列是“控制數列”，理由如下：令，，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減．則，即，時取等號．則，記數列的前n項和為，則，即，即數列是“控制數列”；（3）證明：要證數列是“特控數列”，即證，因為，所以，，對兩邊取對數，有，即證，即證，由（2）知當時，，則當時，有，則只需證，即證，即證，由，則，則，令，，則，故在上單調遞減，則，即在上恒成立，即，故，即數列是“特控數列”．河北省秦皇島市山海關區2025屆高三畢業班第二次模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，，.故選：A.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，則，即，解得，所以.故選：D.3.已知向量，若，且滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，則，又，則，整理得到，故選：A.4.折扇是我國古老文化的延續，在我國已有四千年左右的歷史.如圖所示的某折扇扇面可視為一個圓臺的側面展開圖，該扇面的面積為元，若該圓臺上、下底面半徑分別為5，10，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圓臺的側面積為，母線長圓臺的高則圓臺上下底面面積為由圓臺的體積計算公式可得：故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，所以，所以.故選：D6.已知，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題a=log，且c=1+log9，綜上，，即.故選：B.7.設雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線C上，過點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為D，E，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】設，則，即，雙曲線C的漸近線方程為，所以，又，平方后得，又在中，由可得，所以，兩式相減，整理得，所以，因為，所以，解得．故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，且，，點在底面內的射影在的外部，且，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設，知且，底面，若是的中點，而，則，且，而底面，則，都在平面內，則平面，由平面，則，又底面，則，由，則，即，由點在底面內的射影在的外部，則在邊的外側，如下圖，若在的另一側，則必與的中點重合，不合題設，由題意，該三棱錐外接球球心在過的中點垂直于平面的直線上，根據幾何關系有，則，所以，可得，（注意時，不成立），所以，外接球半徑，則，故其表面積.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某科技公司統計了一款App最近5個月的下載量，如下表所示，若與線性相關，且經驗回歸方程為，則（）月份編號12345下載量萬次54.543.52.5A.與負相關 B.C.第7個月的下載量估計為1.8萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2【答案】ABD【解析】對于A，由，則回歸直線斜向下，故A正確；對于B，由，，即樣本中心為，則，解得，故B正確；對于C，將代入回歸方程，解得，故C錯誤；對于D，由題意可得下表：則最大值為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數的部分圖象如圖所示，則（）A.B.點是圖象的一個對稱中心C.方程在區間上有2026個實數解D.若，則的單調遞增區間為【答案】AB【解析】由函數圖象可知，最小正周期滿足，即，所以，又因為函數圖象過點，將其代入函數可得，即，解得，又因為，所以，，所以，故A正確；對于B，因為函數的對稱中心是，所以令，可得，當時，，所以，點是圖象的一個對稱中心，故B正確；對于C，令，得.當時，即，則在區間上，共有1013個實數解；當時，即，則在區間上，共有1012個實數解.綜上，方程在區間上有個實數解，故C錯誤；對于D，由函數定義域可知，，又因為函數在上單調遞減，所以要使函數單調遞增，即函數單調遞減，且，所以，解得.所以，的單調遞增區間為，故D錯誤.故選：AB.11.記定義在上的函數與的導函數分別為和，若，，且，則（）A. B.的圖象關于直線對稱C.是周期函數，且其中一個周期為8 D.【答案】BC【解析】由題意，函數與的定義域均為.由求導可得，即，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；由求導可得，，，則（常數），令，則有，所以，即，所以，即函數的圖象關于直線對稱.又由可得，則有，，，即，所以函數的圖象關于點對稱.所以函數是周期函數，周期.證明如下：由可得，由上述結論可知，所以.則，即，又由可得，所以.所以是周期函數，且其中一個周期為8，故C正確；對于A，因為，，若，則，與矛盾.故A錯誤；對于D，由求導可得，則有，因為，所以則（是常數），令，可得，所以，即函數的圖象關于直線對稱.所以，函數也是周期函數，周期.，令，可得，根據對稱性可知，，所以.所以，不確定是否為0，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數列的前6項和為126，其中偶數項和是奇數項和的2倍，則______．【答案】2【解析】由題設，可得，若的公比為，則，所以，則.故答案為：213.將1，1，1，1，2，4，6，8這8個數填入如圖所示的格子中（要求每個數都要填入，每個格子中只能填一個數），則不同的填數方法共有______種；若填入的每行數之和為偶數，則不同的填數方法共有______種（用數字作答）.【答案】①.1680②.912【解析】首先任選4個格子填1，有種，再將余下的4個數填入其它4個格子，有種，所以，不同的填數方法共有種，要使填入的每行數之和為偶數，第1、2行填1的個數有三種情況，若，即第1行0個1，第2行4個1，此時有種；若，即第1行、第2行各2個1，此時有種；若，即第1行4個1，第2行0個1，此時有種；所以共有種.故答案為：1680，91214.已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點在圓上，點在橢圓上，則的最小值是__________．【答案】【解析】橢圓的，

右焦點為，右焦點為，上頂點為，

點在圓上，可設，

，

表示點與的距離，

由橢圓的定義可得，

，

當且僅當三點共線上式取得等號，

故的最小值是，

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.年哈爾濱亞洲冬季運動會，是繼年北京冬奧會后中國舉辦的又一重大國際綜合性冰雪盛會，將于年月日至月日在黑龍江省哈爾濱市舉行，人們將在觀看比賽的同時，開始投入健身的行列.某興趣小組為了解哈爾濱市不同年齡段的市民每周鍛煉的時長情況，隨機抽取人進行調查，得到如下列聯表：年齡周平均鍛煉時長合計少于小時不少于小時歲以下歲以上（含）合計（1）試根據的獨立性檢驗，判斷周平均鍛煉時長是否與年齡有關；（2）現從歲以下的樣本中按周平均鍛煉時長是否少于小時，用分層隨機抽樣的方法抽取人做進一步訪談，再從這人中隨機抽取人填寫調查問卷．記抽取人中周平均鍛煉時長少于小時的人數為，求的分布列和數學期望．附：，其中．解：（1）零假設：周平均鍛煉時長是否與年齡無關，由列聯表中的數據，可得，又，根據的獨立性檢驗，我們推斷假設不成立，即周平均鍛煉時長與年齡有關.（2）抽取的人中，周平均鍛煉時長少于小時的有人，不少于小時的有人，所以所有可能的取值為，，，，所以隨機變量的分布列為：隨機變量的數學期望.16.如圖①，已知正方形的邊長為4，分別為的中點，沿將四邊形折起，如圖②，使二面角的大小為60°，在線段上，直線與直線的交點為．（1）若為的中點，證明：平面；（2）當時，求直線與平面所成角余弦值．（1）證明：連接交于點Q，連接，因為正方形，分別為的中點，所以四邊形為矩形，所以為中點，又為的中點，，所以為的中點，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：由題知：，二面角的大小為60°，故：是二面角平面角，，又，所以為正三角形，取中點，中點，連接，則，易證：面，所以，以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則則，設直線與平面的夾角為，