高級中學名校試題PAGEPAGE1湖北省隨州市部分高中2024-2025學年高二下學期3月聯考數學試題考試范圍：選擇性必修一；選擇性必修二第4章注意事項：1、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4、考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，則＝()A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.－a＋b＋c【答案】D【解析】.答案：D．2.若過點，的直線的斜率等于1，則的值為（）A.1 B.4 C.1或3 D.1或4【答案】A【解析】由題意得，解得.故選：A.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意設所求方程為，因為直線經過點，所以，即，所以所求直線為.故選：A.4.已知條件直線與直線平行，條件，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當直線與直線平行時，，解得，當時，直線與直線重合，所以是的既不充分也不必要條件，故選：D5.已知橢圓的兩個焦點分別為，為橢圓上任意一點，若，的等差中項，則此橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，故，又，則焦點在軸上，故橢圓的標準方程為故選：D6.若數列滿足，，則數列中的項的值不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續下去會循環，數列是周期為4的周期數列，所有可能取值為：.故選：D.7.已知數列滿足，為正整數，則該數列的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，，，．又，，又因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為．故選：B．8.已知等差數列前n項和為，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設等差數列的公差為，由題設，，可得，∴.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的有（）A.方向相反的兩個非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同D.“若是不共線的四點，且'“四邊形是平行四邊形”【答案】AD【解析】對于A，方向相同或相反的兩個非零向量為共線向量，故A正確；對于B：單位向量的模為，但是方向不一定相同，故B錯誤；對于C：若兩個向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，故C錯誤；對于D：若是不共線的四點，且，則且，所以四邊形是平行四邊形，故充分性成立，若四邊形是平行四邊形，則，故必要性也成立，故D正確.故選：AD10.設是等差數列，是其前n項的和，且則下列結論正確的是（）A. B. C. D.與均為的最大值【答案】ABD【解析】根據題意，設等差數列的公差為，因為，可得，對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，所以C不正確；對于D中，由，可得數列為遞減數列，且，所以，所以和均為的最大值，所以D正確.故選：ABD.11.設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（）A.B.C.是數列中的最大值D.數列無最大值【答案】AB【解析】對于A，由可得，（*），由可得.當時，因，則，則（*）不成立；所以，則，（*）成立，故，即A正確；對于B，因，故B正確；對于C,D，由上分析，且，則是數列中最大值，故C錯誤，D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.經過橢圓M：的左焦點和上頂點的直線記為l.若橢圓M的中心到直線l的距離等于2，且短軸長是焦距的2倍，則橢圓M的方程為________.【答案】【解析】因為經過橢圓M：的左焦點和上頂點的直線記為l，所以直線l的方程可設為，因為圓M的中心到直線l的距離等于2，所以，因為短軸長是焦距的2倍，所以，因此有，所以橢圓M的方程為，故答案為：13.已知橢圓的左焦點為F，若A?B是橢圓上兩動點，且垂直于x軸，則周長的最大值為___________.【答案】12【解析】如圖.設與x軸相交于點C，橢圓右焦點為，連接，所以周長為故的周長的最大值為12，故答案為：12.14.在數列中，，，則通項公式______.【答案】【解析】因為，即則，……，所以，即，又因為，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共75分15.如圖，在長方體中，，為的中點.（1）求證：.（2）在棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求的長；若不存在，說明理由.（1）證明：以為原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）.設，則，，，，，故，，，.因為，所以.（2）解：假設棱上存在一點，使得平面，此時.又設平面的法向量，所以，得，取，得平面的一個法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在點，滿足平面，此時.16.已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無論k取何值，直線l總過定點（－2，1）．（2）解：直線l方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經過第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）解：依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，當且僅當4k＝，即k＝時，取等號．故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0．17.在數列中，，.（1）設，求證數列是等差數列；（2）求數列的通項公式.解：（1）在數列中，，，則當時，有，兩式相減得：，而，即，則有，整理得，即，所以數列是等差數列.（2）由得：，而，則，，，因此，等差數列公差，即是以為首項，為公差的等差數列，則，即，于是得：，所以數列通項公式.18.記數列的前n項和為，對任意，有．（1）證明：是等差數列；（2）若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．（1）證明：因為①，則②①－②可得，故為等差數列．（2）解：若當且僅當時，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．19.在①，，②，，③點在直線上，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答.已知數列的前n項和為，___________.（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和.解：（1）方案一：選條件①.∵，∴當時，，兩式相減，整理得，∵，∴，，所以，∴數列是以為首項，為公比的等比數列，∴.方案二：選條件②.∵，∴當時，，兩式相減，整理得，∵，，∴，，所以，∴數列是以為首項，為公比的等比數列.∴方案三：選條件③.∵點在直線上，∴，∴，兩式相減，整理得，當時，，得，∴數列是以為首項，為公比的等比數列，∴.（2）由（1）可得，，則，，兩式相減得，∴.湖北省隨州市部分高中2024-2025學年高二下學期3月聯考數學試題考試范圍：選擇性必修一；選擇性必修二第4章注意事項：1、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4、考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，則＝()A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.－a＋b＋c【答案】D【解析】.答案：D．2.若過點，的直線的斜率等于1，則的值為（）A.1 B.4 C.1或3 D.1或4【答案】A【解析】由題意得，解得.故選：A.3.過點且與直線平行的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意設所求方程為，因為直線經過點，所以，即，所以所求直線為.故選：A.4.已知條件直線與直線平行，條件，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當直線與直線平行時，，解得，當時，直線與直線重合，所以是的既不充分也不必要條件，故選：D5.已知橢圓的兩個焦點分別為，為橢圓上任意一點，若，的等差中項，則此橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，故，又，則焦點在軸上，故橢圓的標準方程為故選：D6.若數列滿足，，則數列中的項的值不可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】數列滿足，，依次取代入計算得，，，，，因此繼續下去會循環，數列是周期為4的周期數列，所有可能取值為：.故選：D.7.已知數列滿足，為正整數，則該數列的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，，，．又，，又因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以的最大值為．故選：B．8.已知等差數列前n項和為，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設等差數列的公差為，由題設，，可得，∴.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的有（）A.方向相反的兩個非零向量一定共線B.單位向量都相等C.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同D.“若是不共線的四點，且'“四邊形是平行四邊形”【答案】AD【解析】對于A，方向相同或相反的兩個非零向量為共線向量，故A正確；對于B：單位向量的模為，但是方向不一定相同，故B錯誤；對于C：若兩個向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，故C錯誤；對于D：若是不共線的四點，且，則且，所以四邊形是平行四邊形，故充分性成立，若四邊形是平行四邊形，則，故必要性也成立，故D正確.故選：AD10.設是等差數列，是其前n項的和，且則下列結論正確的是（）A. B. C. D.與均為的最大值【答案】ABD【解析】根據題意，設等差數列的公差為，因為，可得，對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，所以，所以C不正確；對于D中，由，可得數列為遞減數列，且，所以，所以和均為的最大值，所以D正確.故選：ABD.11.設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（）A.B.C.是數列中的最大值D.數列無最大值【答案】AB【解析】對于A，由可得，（*），由可得.當時，因，則，則（*）不成立；所以，則，（*）成立，故，即A正確；對于B，因，故B正確；對于C,D，由上分析，且，則是數列中最大值，故C錯誤，D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.經過橢圓M：的左焦點和上頂點的直線記為l.若橢圓M的中心到直線l的距離等于2，且短軸長是焦距的2倍，則橢圓M的方程為________.【答案】【解析】因為經過橢圓M：的左焦點和上頂點的直線記為l，所以直線l的方程可設為，因為圓M的中心到直線l的距離等于2，所以，因為短軸長是焦距的2倍，所以，因此有，所以橢圓M的方程為，故答案為：13.已知橢圓的左焦點為F，若A?B是橢圓上兩動點，且垂直于x軸，則周長的最大值為___________.【答案】12【解析】如圖.設與x軸相交于點C，橢圓右焦點為，連接，所以周長為故的周長的最大值為12，故答案為：12.14.在數列中，，，則通項公式______.【答案】【解析】因為，即則，……，所以，即，又因為，所以，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共75分15.如圖，在長方體中，，為的中點.（1）求證：.（2）在棱上是否存在一點，使得平面.若存在，求的長；若不存在，說明理由.（1）證明：以為原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）.設，則，，，，，故，，，.因為，所以.（2）解：假設棱上存在一點，使得平面，此時.又設平面的法向量，所以，得，取，得平面的一個法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在點，滿足平面，此時.16.已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l不經過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無論k取何值，直線l總過定點（－2，1）．（2）解：直線l方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經過第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）解：依題意，直線l在x軸