高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省滄州市2025屆滄衡八縣聯考高三一模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以復數z的虛部為.故選：B.2.集合的真子集個數為（）A.15 B.16 C.31 D.32【答案】A【解析】不等式的解為，因為，所以，所以集合的真子集個數為.故選：A.3.若變量y與x之間存在線性相關關系，且根據最小二乘法得到的經驗回歸方程為，樣本點中心為，則樣本點的殘差為（）A. B.1.5 C.0.5 D.【答案】B【解析】依題意，，所以，即經驗回歸方程為，又當時，，所以樣本點的殘差為，故選：B.4.已知為等比數列的前項和，若，則（）A72 B. C.144 D.【答案】D【解析】依題意，，，，由為等比數列，得，即，解得或，由，得，則，所以.故選：D5.已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則雙曲線E的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，又，所以，整理得，所以，所以雙曲線E的漸近線方程為，即，故選：C.6.設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又因為，，所以，所以，故選：A.7.在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設正四棱臺上底面的中心為，下底面的中心為，因為，，所以，.過作于，易得，設該正四棱臺外接球的球心為O，則O在直線上，，設，則，設外接球的半徑為R，則，即，解得，則，所以外接球的表面積為.故選：B.8.已知函數在上單調，且，若將函數的圖象向右平移個單位長度后關于y軸對稱，則m的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數，又函數在上單調，所以函數的最小正周期，所以，又，所以，2，3.若，則，且，又，則無解；若，則，且，又，則；若，則，且，又，則無解.綜上，.所以函數的圖像向右平移m個單位長度后對應解析式為，因為關于軸對稱，所以，.所以，，又，所以當時，m取最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某學校組織“綜合體能測試”，現從所有參加體能測試的學生中，隨機抽取100名學生的“綜合體能測試”成績，并統計如下，則（）成績頻數61218302410A.這100名學生的“綜合體能測試”成績高于80的學生超八成B.這100名學生的“綜合體能測試”成績的中位數大于85C.這100名學生的“綜合體能測試”成績的眾數為85D.這100名學生的“綜合體能測試”成績的平均數在90至95之間【答案】AB【解析】選項A：這100名學生的“綜合體能測試”成績高于80的學生人數為，所以A選項正確；選項B：成績不超過85的學生人數為，所以B選項正確；選項C：成績分布在的人數為30，但不一定成績的眾數為85，所以C選項不正確；選項D：由于，所以D選項不正確.故選：AB10.在中，若內角A，B，C滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由，得，不妨令，，，對于A，由余弦定理得，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，則，，C正確；對于D，，，又，則，由，得，即，因此，D正確.故選：ACD11.在平面直角坐標系中，若，，則稱“”為M，N兩點的“曼哈頓距離”，若動點E到兩定點，的“曼哈頓距離”之和為定值，則稱點E的軌跡為“曼哈頓橢圓”，若點P為該“曼哈頓橢圓”上一點，則（）A.的周長為 B.面積的最大值為C.該“曼哈頓橢圓”的面積為 D.該“曼哈頓橢圓”的周長為【答案】BCD【解析】設點P的坐標為，則P，兩點的“曼哈頓距離”，，兩點的“曼哈頓距離”，則，易得“曼哈頓橢圓”關于坐標原點及坐標軸對稱，可以先研究第一象限及x軸和y軸非負半軸上點的軌跡，，作曲線，根據對稱性，可作出如圖“曼哈頓橢圓”，則，，，對于A，B，當點與重合時，的周長為，此時的面積最大為，故A不正確，B正確；對于C，梯形的面積為，所以該“曼哈頓橢圓”的面積為，故C正確；對于D,又，所以該“曼哈頓橢圓”的周長為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則________.【答案】【解析】依題意.故答案為：.13.將分別標有數字1，2，3，4，5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，乙兩人分別從袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆誰的球上面的數字更大.”乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數字更大.”若甲，乙兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸球上的數字為________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的數字為1或5，則可以推斷兩人摸出球上面數字的大小，所以甲摸出的球上面的數字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的數字也不可能是1或5；若乙摸出球上面的數字為2，甲摸出的球上面的數字可能為3或4，此時乙可判斷大小；若乙摸出的球上面的數字為4，甲摸出的球上面的數字可能為2或3，此時乙可判斷大小，所以乙摸出的球上面的數字為3.故答案為：3.14.已知函數滿足：，，，若，則________.【答案】2024【解析】依題意，因為，則，令，則，因，所以，又因為，則，即，令，則，即，令，則，所以，故得，又；又，所以，即.故答案為：2024.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.若數列的前n項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前n項和為，證明：.解：（1）當時，，，因為，當時，，兩式作差得：，即，故，又因為，所以，且所以.（2）由（1）可知，，故，，兩式作差得：.所以，因為，所以.16.已知函數.（1）若，證明：；（2）若存在過點的直線與曲線相切，求實數a的取值范圍.解：（1）當時，，，則，，令，.則，所以函數在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以函數在上單調遞減；當時，，即，所以函數在上單調遞增，所以當時，，所以.（2）設過點的直線與曲線相切于點，，則，則切線方程為，又該切線經過點，所以，即，整理得，即，即，即，顯然當時，不合題意；則，令，，則，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；所以函數在時取得最大值，且當時，，當時，，所以，即，解得或，所以實數的取值范圍為.17.某學校為全面提高學生的語文素養和閱讀水平，構建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知識競賽”，為了調查學生對這次活動的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識競賽”的同學中抽取容量為300的樣本進行調查，并得到如下列聯表：（1）請補全上面的列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為滿意程度與性別有關系；（2）若競賽成績在前20的同學進入決賽環節，該環節共設置3道試題，且每一道試題必須依次作答，至少答對2道才能進入總決賽，且每人答對這3道試題的概率分別為，，，3道試題答對與否互不影響.（i）用X表示能進入總決賽的人數，求X的數學期望；（ii）記有n人進入總決賽的概率為，求取最大值時的值.附：，其中.【答案】（1）列聯表見解析，推斷犯錯誤概率不大于0.001（2）（i）；（ii）12【解析】〖祥解〗(1)完成列聯表，并利用獨立性檢驗的步驟完成計算即可；(2)（i）由題意可知能進入總決賽的人數服從二項分布，再計算出每個人進入決賽的概率，利用二項分布的數學期望公式進行計算即可；（ii）寫出的表達式，列出不等式組進行求解即可.解：（1）列聯表如下：零假設為：滿意程度與性別無關，，所以依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即能認為滿意程度與性別有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）（i）依題意，設“答對第道題”；“某同學進入總決賽”，則，，，所以，依題意，，所以；（ii）依題意，，，若最大，則，解得，因為，所以，所以取最大值時的值為12.18.如圖，在三棱錐中，，D為上一點，，.（1）證明：平面平面ABC；（2）若，，求：（i）三棱錐的體積；（ii）平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：在中，，，所以，所以，又，所以，即，又因為，，所以平面，又平面ABC，所以平面平面.（2）解：（i）因為，所以，則，，所以在中，，如圖，過點P作于，，由（1）可知，點P到的距離即為點P到平面的距離，所以三棱錐的體積.（ii）如圖，連接，則，，以，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，又，，所以，，，，設平面PAD的法向量為，則令，則，，所以，設平面PBC的法向量為，則令，則，，所以，設平面PAD與平面PBC的夾角為，則，所以平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為.19.經過圓上一點作C的切線l，l與拋物線也相切，P為上一點.（1）求r和p的值；（2）若點，不經過P的直線與交于不同兩點A，B（位于x軸兩側），與相交于點D，若直線PA，PB，PD的斜率分別為，，，且為，的等差中項，證明：直線過定點；（3）若O為坐標原點，F為的焦點，求內切圓面積的最大值.解：（1）依題意，點在圓上，則，所以，又圓心為，設直線l的斜率為k，則，所以，所以直線l的方程為，即，又直線l與拋物線也相切，聯立，整理得，則，解得（舍去）或，綜上可得，.（2）由（1）可知，拋物線的方程為，準線方程為，設直線，，，聯立，即.又，則，，，因為為，的等差中項，所以，即，又，，代入上式可得①，聯立整理得，，則代入①，整理得，即，即，即，因為，，則，所以或，當，即時，直線，即，過點，不合題意；當時，直線，過定點，符合題意，綜上，直線過定點.（3）根據對稱性，不妨設在第一象限，則，，，又，，，則的面積，設內切圓的半徑為R，則，所以，令，則，令，則在上恒成立，所以函數在上單調遞增，令，解得，當時，，則函數在上單調遞減；當時，，則函數在上單調遞增.所以函數在處取得最小值，所以R的最大值為，所以內切圓面積的最大值為.河北省滄州市2025屆滄衡八縣聯考高三一模數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以復數z的虛部為.故選：B.2.集合的真子集個數為（）A.15 B.16 C.31 D.32【答案】A【解析】不等式的解為，因為，所以，所以集合的真子集個數為.故選：A.3.若變量y與x之間存在線性相關關系，且根據最小二乘法得到的經驗回歸方程為，樣本點中心為，則樣本點的殘差為（）A. B.1.5 C.0.5 D.【答案】B【解析】依題意，，所以，即經驗回歸方程為，又當時，，所以樣本點的殘差為，故選：B.4.已知為等比數列的前項和，若，則（）A72 B. C.144 D.【答案】D【解析】依題意，，，，由為等比數列，得，即，解得或，由，得，則，所以.故選：D5.已知，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，若，則雙曲線E的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，又，所以，整理得，所以，所以雙曲線E的漸近線方程為，即，故選：C.6.設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，又因為，，所以，所以，故選：A.7.在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設正四棱臺上底面的中心為，下底面的中心為，因為，，所以，.過作于，易得，設該正四棱臺外接球的球心為O，則O在直線上，，設，則，設外接球的半徑為R，則，即，解得，則，所以外接球的表面積為.故選：B.8.已知函數在上單調，且，若將函數的圖象向右平移個單位長度后關于y軸對稱，則m的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數，又函數在上單調，所以函數的最小正周期，所以，又，所以，2，3.若，則，且，又，則無解；若，則，且，又，則；若，則，且，又，則無解.綜上，.所以函數的圖像向右平移m個單位長度后對應解析式為，因為關于軸對稱，所以，.所以，，又，所以當時，m取最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某學校組織“綜合體能測試”，現從所有參加體能測試的學生中，隨機抽取100名學生的“綜合體能測試”成績，并統計如下，則（）成績頻數61218302410A.這100名學生的“綜合體能測試”成績高于80的學生超八成B.這100名學生的“綜合體能測試”成績的中位數大于85C.這100名學生的“綜合體能測試”成績的眾數為85D.這100名學生的“綜合體能測試”成績的平均數在90至95之間【答案】AB【解析】選項A：這100名學生的“綜合體能測試”成績高于80的學生人數為，所以A選項正確；選項B：成績不超過85的學生人數為，所以B選項正確；選項C：成績分布在的人數為30，但不一定成績的眾數為85，所以C選項不正確；選項D：由于，所以D選項不正確.故選：AB10.在中，若內角A，B，C滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由，得，不妨令，，，對于A，由余弦定理得，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，則，，C正確；對于D，，，又，則，由，得，即，因此，D正確.故選：ACD11.在平面直角坐標系中，若，，則稱“”為M，N兩點的“曼哈頓距離”，若動點E到兩定點，的“曼哈頓距離”之和為定值，則稱點E的軌跡為“曼哈頓橢圓”，若點P為該“曼哈頓橢圓”上一點，則（）A.的周長為 B.面積的最大值為C.該“曼哈頓橢圓”的面積為 D.該“曼哈頓橢圓”的周長為【答案】BCD【解析】設點P的坐標為，則P，兩點的“曼哈頓距離”，，兩點的“曼哈頓距離”，則，易得“曼哈頓橢圓”關于坐標原點及坐標軸對稱，可以先研究第一象限及x軸和y軸非負半軸上點的軌跡，，作曲線，根據對稱性，可作出如圖“曼哈頓橢圓”，則，，，對于A，B，當點與重合時，的周長為，此時的面積最大為，故A不正確，B正確；對于C，梯形的面積為，所以該“曼哈頓橢圓”的面積為，故C正確；對于D,又，所以該“曼哈頓橢圓”的周長為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若，則________.【答案】【解析】依題意.故答案為：.13.將分別標有數字1，2，3，4，5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，乙兩人分別從袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆誰的球上面的數字更大.”乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數字更大.”若甲，乙兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸球上的數字為________.【答案】3【解析】若甲摸出的球上面的數字為1或5，則可以推斷兩人摸出球上面數字的大小，所以甲摸出的球上面的數字不可能是1或5；同理，乙摸出的球上面的數字也不可能是1或5；若乙摸出球上面的數字為2，甲摸出的球上面的數字可能為3或4，此時乙可判斷大小；若乙摸出的球上面的數字為4，甲摸出的球上面的數字可能為2或3，此時乙可判斷大小，所以乙摸出的球上面的數字為3.故答案為：3.14.已知函數滿足：，，，若，則________.【答案】2024【解析】依題意，因為，則，令，則，因，所以，又因為，則，即，令，則，即，令，則，所以，故得，又；又，所以，即.故答案為：2024.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.若數列的前n項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前n項和為，證明：.解：（1）當時，，，因為，當時，，兩式作差得：，即，故，又因為，所以，且所以.（2）由（1）可知，，故，，兩式作差得：.所以，因為，所以.16.已知函數.（1）若，證明：；（2）若存在過點的直線與曲線相切，求實數a的取值范圍.解：（1）當時，，，則，，令，.則，所以函數在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以函數在上單調遞減；當時，，即，所以函數在上單調遞增，所以當時，，所以.（2）設過點的直線與曲線相切于點，，則，則切線方程為，又該切線經過點，所以，即，整理得，即，即，即，顯然當時，不合題意；則，令，，則，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；所以函數在時取得最大值，且當時，，當時，，所以，即，解得或，所以實數的取值范圍為.17.某學校為全面提高學生的語文素養和閱讀水平，構建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知識競賽”，為了調查學生對這次活動的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識競賽”的同學中抽取容量為300的樣本進行調查，并得到如下列聯表：（1）請補全上面的列聯表，依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為滿意程度與性別有關系；（2）若競賽成績在前20的同學進入決賽環節，該環節共設置3道試題，且每一道試題必須依次作答，至少答對2道才能進入總決賽，且每人答對這3道試題的概率分別為，，，3道試題答對與否互不影響.（i）用X表示能進入總決賽的人數，求X的數學期望；（ii）記有n人進入總決賽的概率為，求取最大值時的值.附：，其中.【答案】（1）列聯表見解析，推斷犯錯誤概率不大于0.001（2）（i）；（ii）12【解析】〖祥解〗(1)完成列聯表，并利用獨立性檢驗的步驟完成計算即可；(2)（i）由題意可知能進入總決賽的人數服從二項分布，再計算出每個人進入決賽的概率，利用二項分布的數學期望公式進行計算即可；（ii）寫出的表達式，列出不等式組進行求解即可.解：（1）列聯表如下：零假設為：滿意程度與性別無關，，所以依據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即能認為滿意程度與性別有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）（i）依題意，設“答對第道題”；“某同學進入總決賽”，則，，，所以，依題意，，所以；（ii）依題意，，，若最大，則，解得，因為