高級中學名校試題PAGEPAGE1廣西壯族自治區2025屆高三下學期3月第二次高考適應性測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，所以集合，故故選：A2.已知復數滿足，則復數的虛部為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】由，則復數的虛部為1.故選：B.3.已知向量，若，則（）A.2 B.3 C.6 D.15【答案】B【解析】由，可得，解得.故選：B.4.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】由雙曲線方程可得焦點坐標為，漸近線方程為，由對稱性不妨求右焦點到的距離，由點到直線的距離公式可得.故選：C5.已知某圓錐的側面積為，軸截面面積為，則該圓錐的母線與底面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，由題意，得，解得，設該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為．故選：D．6.曲線與直線的交點個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】函數在R上單調遞減，當時，；當時，，由，得，因此曲線與直線的交點橫坐標必在上，令，，求導得，由，得，存在，使得，當或時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，，因此函數在上各有一個零點，所以曲線與直線的交點個數為3.故選：C7.現使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的砝碼放在天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（）A.等于200g B.大于200g C.小于200g D.以上都有可能【答案】B【解析】設天平左臂長為，右臂長為，且，左盤放的藥品為克，右盤放的藥品為克，則，解得，，當且僅當時，取到等號，而，所以.故選：B8.已知函數滿足：（1）對任意，都有；（2）對任意，都有．則的值是（）．A.324 B.336 C.348 D.360【答案】C【解析】對任意的，由（1）得，即.故在上為單調增函數.對任意，由（2）得.顯然.否則，.矛盾.若，則，矛盾.所以，.

故，.由，得，.則，.故.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.記數列的前項和為，且，則（）A. B.數列是公差為1的等差數列C.數列是公比為4的等比數列 D.數列的前2025項和為【答案】ACD【解析】由，，得，而滿足上式，因此數列的通項公式為，對于A，，A正確；對于B，，，數列是公差為的等差數列，B錯誤；對于C，，，數列是公比為4的等比數列，C正確；對于D，令，，數列前2025項和為，D正確.故選：ACD10.設函數，則（）A.是的極大值點B.當時，C當時，D.曲線有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標為【答案】ACD【解析】函數的定義域為R，求導得，當或時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，對于A，是的極大值點，A正確；對于B，在上單調遞減，，則，B錯誤；對于C，當時，，，，C正確；對于D，令，，函數是奇函數，函數的圖象關于原點對稱，則函數的圖象關于點對稱，若函數的圖象還有一個對稱中心，則，而不常數，因此點不是函數圖象的對稱中心，即函數的圖象有且只有一個對稱中心，則曲線有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標為，D正確.故選：ACD11.在平面直角坐標系中，已知曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，點與點關于原點對稱，過點的直線與曲線交于、兩點，則下列命題正確的是（）A.曲線的軌跡方程為B.若點的坐標為，則的最小值為6C.存在直線使得D.對于任意直線，都有【答案】ABD【解析】對于A，由曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，得曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，方程為，A正確；對于B，令點到直線的距離為，則，過作垂直于直線于，于是，當且僅當是線段與拋物線的交點時取等號，B正確；對于C，過作垂直于直線于，，若，則，，，直線方程為，由得，而此方程有相等實根，直線與拋物線相切，同直線與拋物線相交矛盾，C錯誤；對于D，令直線方程為，由得，，解得，設，則，，，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若正項等比數列滿足，則____________．【答案】5【解析】正項等比數列滿足，則．故答案為：5.13.在平面直角坐標系中，若圓的圓心在軸上，且與軸相切，則圓的標準方程可以為____________．（寫出滿足條件的一個答案即可）【答案】(答案不唯一)【解析】設圓的標準方程為，因圓的圓心在軸上，且與軸相切，則，則圓的方程為，故任取實數即可，現取，故答案為：(答案不唯一).14.如圖，在的點陣中，依次隨機地選出、、三個點，則選出的三點滿足的概率是______．【答案】【解析】由題意可知、、三個點是有序的，討論點為主元，對點分三種情況討論，如下圖所示：（1）第一類為號點.①若，三點共線有條直線，此時有種；②若，如點在號位，則點在號位或號位，即確定第二號點有種方法，確定第三號點有種方法，此時有種；（2）第二類為、、、號點，此時，不存在這樣的點；（3）第三類為、、、號點，以號點為例，有三種情況如下圖所示：故有種.綜上所述，滿足共有種.因此，所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記內角的對邊分別為，已知，（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）在中，由及余弦定理，得，解得，而，則，由，得，又，所以.（2）由（1），得，由正弦定理得，所以的面積為16.如圖，在四棱錐中，，為棱的中點．（1）證明：平面；（2）若平面，求平面和平面所成的角的正弦值．（1）證明：取線段中點，連接，因為是線段中點，為棱的中點，所以，，因為，所以,所以四邊形是平行四邊形，所以,又因為平面，平面,所以平面（2）解：因為，所以，所以，因為平面，平面，所以.如圖以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則,所以，，顯然平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以平面和平面所成的角的余弦值為：，則，故平面和平面所成的角的正弦值為.17.已知直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點．（1）證明：；（2）已知，證明：點到直線的距離為定值．證明：（1）由消去，得，由直線與橢圓交于兩點，得，所以.（2）設，由（1）知，，，由，得，整理得，因此點到直線的距離為定值，所以點到直線的距離為定值．18.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；（3）證明：．（1）解：函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.（2）解：不等式，由時，恒成立，得，令，由當時，恒成立，得，，求導得，令，求導得，而，則當，即時，，函數在上單調遞增，，函數在上單調遞增，則，符合題意，因此；當時，由，得，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞減，則當時，，不符合題意，所以實數的取值范圍是.（3）證明：由（2）知，當時，，取，則，而，因此，所以.19.在某校舉辦的學科文化節系列活動中，數學組老師設計了一個答題挑戰活動供全校數學愛好者挑戰．挑戰題目由邏輯推理題和運算求解題兩部分構成，用于考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力．現有名同學報名依次發起挑戰，每位同學成功解答出邏輯推理題和運算求解題的概率均為，兩題能否解出相互獨立，每位同學解題過程相互獨立，挑戰規則如下：①每位同學均先答邏輯推理題，邏輯推理題答對才能答運算求解題；②記第位同學挑戰為本次挑戰活動的第輪，若第位同學在規定時間內未完成邏輯推理題，則認為本次活動的第輪挑戰失敗，該同學退出由第位同學挑戰；③若第位同學在規定時間內完成邏輯推理題，則該同學繼續答運算求解題，若該同學在規定時間內未完成運算求解題，則也認為本次活動的第輪挑戰失敗，該同學退出，由第位同學挑戰；若該同學在規定時間內完成了運算求解題，則挑戰成功，本次答題挑戰活動結束，后續同學不再進行答題挑戰．④挑戰進行到第輪，則不管第位同學是否完成兩題的解答，答題挑戰活動結束．令隨機變量表示這名同學在進行第輪挑戰后結束挑戰活動．（1）求隨機變量的分布列；（2）若把挑戰規則①去掉，換成規則⑤：挑戰的同學先挑戰邏輯推理題，若有同學在規定時間內完成邏輯推理題，以后挑戰的同學不再挑戰邏輯推理題，直接挑戰運算求解題．令隨機變量表示這名同學在第輪挑戰后結束挑戰活動．（i）求隨機變量的分布列；（ii）證明：．解：（1）由題意可得，每名同學兩題均完成挑戰的概率為，的所有可能取值為1，2，3，4，5，則，，，，.因此的分布列為：12345（2）（i）時，第人必完成運算求解題，若前面人都沒有一人完成邏輯推理題，其概率為，若前面人有一人完成邏輯推理題，其概率為，故．當時，若前面人都沒有一人完成邏輯推理題，其概率為，若前面人有一人完成邏輯推理題，其概率為，故．的分布列為：123（ii）．又因為，，故，，①，②①②得，則.廣西壯族自治區2025屆高三下學期3月第二次高考適應性測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得：，所以集合，故故選：A2.已知復數滿足，則復數的虛部為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】由，則復數的虛部為1.故選：B.3.已知向量，若，則（）A.2 B.3 C.6 D.15【答案】B【解析】由，可得，解得.故選：B.4.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】由雙曲線方程可得焦點坐標為，漸近線方程為，由對稱性不妨求右焦點到的距離，由點到直線的距離公式可得.故選：C5.已知某圓錐的側面積為，軸截面面積為，則該圓錐的母線與底面所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，由題意，得，解得，設該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為．故選：D．6.曲線與直線的交點個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】函數在R上單調遞減，當時，；當時，，由，得，因此曲線與直線的交點橫坐標必在上，令，，求導得，由，得，存在，使得，當或時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，，因此函數在上各有一個零點，所以曲線與直線的交點個數為3.故選：C7.現使用一架兩臂不等長的天平稱中藥，操作方法如下：先將100g的砝碼放在天平左盤中，取出一些中藥放在天平右盤中，使得天平平衡；再將100g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些中藥放在天平左盤中，使得天平平衡.則兩次實際稱得的藥品總重量（）A.等于200g B.大于200g C.小于200g D.以上都有可能【答案】B【解析】設天平左臂長為，右臂長為，且，左盤放的藥品為克，右盤放的藥品為克，則，解得，，當且僅當時，取到等號，而，所以.故選：B8.已知函數滿足：（1）對任意，都有；（2）對任意，都有．則的值是（）．A.324 B.336 C.348 D.360【答案】C【解析】對任意的，由（1）得，即.故在上為單調增函數.對任意，由（2）得.顯然.否則，.矛盾.若，則，矛盾.所以，.

故，.由，得，.則，.故.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.記數列的前項和為，且，則（）A. B.數列是公差為1的等差數列C.數列是公比為4的等比數列 D.數列的前2025項和為【答案】ACD【解析】由，，得，而滿足上式，因此數列的通項公式為，對于A，，A正確；對于B，，，數列是公差為的等差數列，B錯誤；對于C，，，數列是公比為4的等比數列，C正確；對于D，令，，數列前2025項和為，D正確.故選：ACD10.設函數，則（）A.是的極大值點B.當時，C當時，D.曲線有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標為【答案】ACD【解析】函數的定義域為R，求導得，當或時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，對于A，是的極大值點，A正確；對于B，在上單調遞減，，則，B錯誤；對于C，當時，，，，C正確；對于D，令，，函數是奇函數，函數的圖象關于原點對稱，則函數的圖象關于點對稱，若函數的圖象還有一個對稱中心，則，而不常數，因此點不是函數圖象的對稱中心，即函數的圖象有且只有一個對稱中心，則曲線有且只有一個對稱中心，且該對稱中心坐標為，D正確.故選：ACD11.在平面直角坐標系中，已知曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，點與點關于原點對稱，過點的直線與曲線交于、兩點，則下列命題正確的是（）A.曲線的軌跡方程為B.若點的坐標為，則的最小值為6C.存在直線使得D.對于任意直線，都有【答案】ABD【解析】對于A，由曲線上的動點到點的距離與其到直線的距離相等，得曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，方程為，A正確；對于B，令點到直線的距離為，則，過作垂直于直線于，于是，當且僅當是線段與拋物線的交點時取等號，B正確；對于C，過作垂直于直線于，，若，則，，，直線方程為，由得，而此方程有相等實根，直線與拋物線相切，同直線與拋物線相交矛盾，C錯誤；對于D，令直線方程為，由得，，解得，設，則，，，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若正項等比數列滿足，則____________．【答案】5【解析】正項等比數列滿足，則．故答案為：5.13.在平面直角坐標系中，若圓的圓心在軸上，且與軸相切，則圓的標準方程可以為____________．（寫出滿足條件的一個答案即可）【答案】(答案不唯一)【解析】設圓的標準方程為，因圓的圓心在軸上，且與軸相切，則，則圓的方程為，故任取實數即可，現取，故答案為：(答案不唯一).14.如圖，在的點陣中，依次隨機地選出、、三個點，則選出的三點滿足的概率是______．【答案】【解析】由題意可知、、三個點是有序的，討論點為主元，對點分三種情況討論，如下圖所示：（1）第一類為號點.①若，三點共線有條直線，此時有種；②若，如點在號位，則點在號位或號位，即確定第二號點有種方法，確定第三號點有種方法，此時有種；（2）第二類為、、、號點，此時，不存在這樣的點；（3）第三類為、、、號點，以號點為例，有三種情況如下圖所示：故有種.綜上所述，滿足共有種.因此，所求概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記內角的對邊分別為，已知，（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）在中，由及余弦定理，得，解得，而，則，由，得，又，所以.（2）由（1），得，由正弦定理得，所以的面積為16.如圖，在四棱錐中，，為棱的中點．（1）證明：平面；（2）若平面，求平面和平面所成的角的正弦值．（1）證明：取線段中點，連接，因為是線段中點，為棱的中點，所以，，因為，所以,所以四邊形是平行四邊形，所以,又因為平面，平面,所以平面（2）解：因為，所以，所以，因為平面，平面，所以.如圖以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則,所以，，顯然平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以平面和平面所成的角的余弦值為：，則，故平面和平面所成的角的正弦值為.17.已知直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點．（1）證明：；（2）已知，證明：點到直線的距離為定值．證明：（1）由消去，得，由直線與橢圓交于兩點，得，所以.（2）設，由（1）知，，，由，得，整理得，因此點到直線的距離為定值，所以點到直線的距離為定值．18.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；（3）證明：．（1）解：函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.（2）解：不等式，由時，恒成立，得，令，由當時，恒成立，得，，求導得，令，求導得，而，則當，即時，，函數在上單調遞增，，函數在上單調遞增，則，符合題意，因此；當時，由，得，函數在上單調遞減，當時，，函數在上單調遞減，則當時，，不符合題意，所以實數的取值范圍是.（3）證明：由（2）知，當時，，取，則，而，因此，所以.19.在某校舉