廣西壯族自治區河池市羅城仫佬族自治縣2025年八年級數學第二學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在以x為自變量，y為函數的關系式y=5πx中，常量為（）A．5 B．π C．5π D．πx2．甲、乙二人做某種機械零件，已知甲每小時比乙少做6個，甲做60個所用時間與乙做90個所用時間相等，求甲、乙每小時各做零件多少個．如果設甲每小時做x個，那么所列方程是（）A． B． C． D．3．梅凱種子公司以一定價格銷售“黃金1號”玉米種子,如果一次購買10千克以上(不含l0千克)的種子，超過l0千克的那部分種子的價格將打折，并依此得到付款金額y(單位：元)與一次購買種子數量x（單位：千克)之間的函數關系如圖所示．下列四種說法：①一次購買種子數量不超過l0千克時，銷售價格為5元/千克；②一次購買30千克種子時，付款金額為100元；③一次購買10千克以上種子時，超過l0千克的那部分種子的價格打五折：④一次購買40千克種子比分兩次購買且每次購買20千克種子少花25元錢．其中正確的個數是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．下列圖形中，對稱軸條數最多的是（）A． B． C． D．5．如圖，直角邊長為的等腰直角三角形與邊長為3的等邊三角形在同一水平線上，等腰直角三角形沿水平線從左向右勻速穿過等邊三角形時，設穿過時間為t，兩圖形重合部分的面積為S，則S關于t的圖象大致為（）A． B．C． D．6．如圖，在菱形中，對角線交于點，，則菱形的面積是()A．18 B． C．36 D．7．下列式子成立的是()A．=3 B．2﹣=2 C．= D．()2=68．要使分式有意義，應滿足的條件是（）A． B． C． D．9．一同學將方程化成了的形式，則m、n的值應為（）A．m=1．n=7 B．m=﹣1，n=7 C．m=﹣1，n=1 D．m=1，n=﹣710．若分式的值為0，則（）A． B． C． D．11．如圖，矩形的頂點在軸正半軸上、頂點在軸正半軸上，反比例函數的圖象分別與、交于點、，連接、、，若，則的值為（）A．2 B．4 C．6 D．812．如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列三角形中可由△OBC平移得到的是（）A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．△OEF二、填空題（每題4分，共24分）13．若不等式組恰有兩個整數解，則m的取值范圍是__________.14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分別是AB、AC的中點，動點P從點E出發，沿EF方向勻速運動，速度為1cm/s，同時動點Q從點B出發，沿BF方向勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，設運動時間為ts（0＜t＜1），則當t＝___時，△PQF為等腰三角形．15．如圖，Rt△OAB的兩直角邊OA、OB分別在x軸和y軸上，，，將△OAB繞O點順時針旋轉90°得到△OCD，直線AC、BD交于點E．點M為直線BD上的動點，點N為x軸上的點，若以A，C，M，N四點為頂點的四邊形是平行四邊，則符合條件的點M的坐標為______．16．一元二次方程的根是_____________17．如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動點，則2PB+PD的最小值等于______.18．直角三角形有兩邊長為3和4，則斜邊長為_____．三、解答題（共78分）19．（8分）平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+b與直線y＝x交于點A（m，1）．與y軸交于點B（1）求m的值和點B的坐標；（2）若點C在y軸上，且△ABC的面積是1，請直接寫出點C的坐標．20．（8分）某草莓種植大戶，今年從草莓上市到銷售完需要20天，售價為11元/千克，成本y（元/千克）與第x天成一次函數關系，當x=10時，y=7，當x=11時，y=6.1．（1）求成本y（元/千克）與第x天的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；（2）求第幾天每千克的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？（利潤=售價-成本）21．（8分）如圖，是正方形的邊上的動點，是邊延長線上的一點，且，，設，.（1）當是等邊三角形時，求的長；（2）求與的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）把沿著直線翻折，點落在點處，試探索：能否為等腰三角形？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由.22．（10分）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M，N分別是斜邊AB，DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD、MN．(1)求證：△PMN為等腰直角三角形；(2)現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α(0°＜α＜90°)，得到圖②，AE與MP，BD分別交于點G、H，請判斷①中的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．23．（10分）如圖（1），在Rt△ABC，∠ACB＝90°，分別以AB、BC為一邊向外作正方形ABFG、BCED，連結AD、CF，AD與CF交于點M．（1）求證：△ABD≌△FBC；（1）如圖（1），求證：AM1+MF1＝AF1．24．（10分）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在線段AB上找一點P，連結FP使FP⊥AC，連結PC，試判定四邊形APCF的形狀，并說明理由，直接寫出此時線段PF的大小．25．（12分）如圖，四邊形的對角線，交于點，、是上兩點，，，.（1）求證：四邊形是平行四邊形.（2）當平分時，求證：.26．某市團委舉辦“我的中國夢”為主題的知識競賽，甲、乙兩所學校參賽人數相等，比賽結束后，發現學生成績分別為70分、80分、90分、100分，并根據統計數據繪制了如下不完整的統計圖表：乙校成績統計表分數/分人數/人707809011008(1)在圖①中，“80分”所在扇形的圓心角度數為________；(2)請你將圖②補充完整；(3)求乙校成績的平均分；(4)經計算知s甲2＝135，s乙2＝175，請你根據這兩個數據，對甲、乙兩校成績作出合理評價．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】

根據常量的定義解答即可，常量是指在某一個變化過程中，固定不變的量．【詳解】在以x為自變量，y為函數的關系式y=5πx中，常量為5π，故選：C．【點睛】考查了變量關系中的常量的定義，熟記常量定義是解題的關鍵，注意π是常量．2、A【解析】

甲每小時做x個零件，則乙每小時做(x+6)個零件，根據工作時間=工作總量÷工作效率結合甲做60個所用時間與乙做90個所用時間相等，即可得出關于x的分式方程，此題得解．【詳解】甲每小時做x個零件，則乙每小時做(x+6)個零件，依題意，得：，故選A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．3、D【解析】①由圖可知，購買10千克種子需要50元，由此求出一次購買種子數量不超過10千克時的銷售價格；②由圖可知，超過10千克以后，超過的那部分種子的單價降低，而由購買50千克比購買10千克種子多付100元，求出超過10千克以后，超過的那部分種子的單價，再計算出一次購買30千克種子時的付款金額；③根據一次購買10千克以上種子時，超過10千克的那部分種子的價格為2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以可以求出打的折數；④先求出一次購買40千克種子的付款金額為125元，再求出分兩次購買且每次購買20千克種子的付款金額為150元，然后用150減去125，即可求出一次購買40千克種子比分兩次購買且每次購買20千克種子少花的錢數．解：①由圖可知，一次購買種子數量不超過10千克時，銷售價格為：50÷10=5元/千克，正確；②由圖可知，超過10千克的那部分種子的價格為：（150-50）÷（50-10）=2.5元/千克，所以，一次購買30千克種子時，付款金額為：50+2.5×（30-10）=100元，正確；③由于一次購買10千克以上種子時，超過10千克的那部分種子的價格為2.5元/千克，而2.5÷5=0.5，所以打五折，正確；④由于一次購買40千克種子需要：50+2.5×（40-10）=125元，分兩次購買且每次購買20千克種子需要：2×[50+2.5×（20-10）]=150元，而150-125=25元，所以一次購買40千克種子比分兩次購買且每次購買20千克種子少花25元錢，正確．故選D．4、C【解析】

根據軸對稱圖形的定義：一個圖形沿某條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則這個圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是它的一條對稱軸，由此找出各個圖形的對稱軸條數，再比較即可解答．【詳解】解：A.有1條對稱軸；B.有1條對稱軸；C.這個組合圖形有8條對稱軸；D.有2條對稱軸．故選：C．【點睛】此題主要考查如何確定軸對稱圖形的對稱軸條數及位置，掌握軸對稱圖形的概念是本題的解題關鍵．5、B【解析】

先根據等腰直角三角形斜邊為2，而等邊三角形的邊長為3，可得等腰直角三角形沿水平線從左向右勻速穿過等邊三角形時，出現等腰直角三角形完全處于等邊三角形內部的情況，進而得到S關于t的圖象的中間部分為水平的線段，再根據當t=0時，S=0，即可得到正確圖象【詳解】根據題意可得，等腰直角三角形斜邊為2，斜邊上的高為1，而等邊三角形的邊長為3，高為，故等腰直角三角形沿水平線從左向右勻速穿過等邊三角形時，出現等腰直角三角形完全處于等邊三角形內部的情況，故兩圖形重合部分的面積先增大，然后不變，再減小，S關于t的圖象的中間部分為水平的線段，故A，D選項錯誤；當t＝0時，S＝0，故C選項錯誤，B選項正確；故選：B【點睛】本題考查了動點問題的函數圖像，根據重復部分面積的變化是解題的關鍵6、B【解析】

先求出菱形對角線的長度，再根據菱形的面積計算公式求解即可.【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴BD=2BO，AC=2AO，∵AO=3,BO=3，∴BD=6，AC=6，∴菱形ABCD的面積=×AC×BD=×6×6=18.故選B.【點睛】此題主要考查菱形的對角線的性質和菱形的面積計算．7、A【解析】

運用二次根式的相關定義、運算、化簡即可求解.【詳解】解：A：是求的算術平方根，即為3，故正確；B：2﹣=，故B錯誤；C：上下同乘以，應為，故C錯誤；D：的平方應為3，而不是6，故D錯誤.故答案為A.【點睛】本題主要考查二次根式的定義、運算和化簡;考查知識點較多，扎實的基礎是解答本題的關鍵.8、C【解析】

直接利用分式有意義的條件得出答案．【詳解】要使分式有意義，

則x-1≠0，

解得：x≠1．

故選：C．【點睛】此題考查分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關鍵．9、B【解析】

先把（x+m）1=n展開，化為一元二次方程的一般形式，再分別使其與方程x1-4x-3=0的一次項系數、二次項系數及常數項分別相等即可．【詳解】解：∵（x+m）1=n可化為：x1+1mx+m1-n=0，∴，解得：故選：B．【點睛】此題比較簡單，解答此題的關鍵是將一元二次方程化為一般形式，再根據題意列出方程組即可．10、B【解析】

根據分式的值為0的條件,列式求解即可.分式的值為0的條件是：（1）分子等于0；（2）分母不為0.兩個條件需同時具備，缺一不可.據此可以解答本題.【詳解】解：由題意得：解得：x=1故答案為B【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，即：（1）分子等于0；（2）分母不為0.兩個條件需同時具備，缺一不可.據此可以解答本題.11、D【解析】

根據點的坐標特征得到，根據矩形面積公式、三角形的面積公式列式求出的關系，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到，解方程得到答案．【詳解】解：∵點，∴，則，由題意得，，整理得，，∵點在反比例函數上，∴，解得，，則，故選：D．【點睛】本題考查的是反比例函數比例系數k的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征、矩形的性質、三角形的面積公式，掌握反比例函數比例系數k的幾何意義是解題的關鍵．12、C【解析】

利用正六邊形的性質得到圖中的三角形都為全等的等邊三角形，然后利用平移的性質可對各選項進行判斷．【詳解】解：∵O是正六邊形ABCDEF的中心，∴AD∥BC，AF∥CD∥BE，∴△OAF沿FO方向平移可得到△OBC．故選：C．【點睛】本題考查了平移的性質：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行（或共線）且相等．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1≤m<0【解析】分析：先求出不等式的解集，根據題意得出關于m的不等式組，求出不等式組的解集即可．詳解：∵不等式組的解集為又∵不等式組恰有兩個整數解，∴解得：.恰有兩個整數解，故答案為：點睛：考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是寫出不等式組的解集.14、2﹣或．【解析】

由勾股定理和含30°角的直角三角形的性質先分別求出AC和BC，然后根據題意把PF和FQ表示出來，當△PQF為等腰三角形時分三種情況討論即可.【詳解】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2，∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm，由題意得：EP＝t，BQ＝2t，∴PF＝﹣t，FQ＝2﹣2t，分三種情況：①當PF＝FQ時，如圖1，△PQF為等腰三角形．則﹣t＝2﹣2t，t＝2﹣；②如圖2，當PQ＝FQ時，△PQF為等腰三角形，過Q作QD⊥EF于D，∴PF＝2DF，∵BF＝CF，∴∠FBC＝∠C＝30°，∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF∥BC，∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，∵FQ＝2﹣2t，∴DQ＝FQ＝1﹣t，∴DF＝（1﹣t），∴PF＝2DF＝2（1﹣t），∵EF＝EP+PF＝，∴t+2（1﹣t）＝，t＝；③因為當PF＝PQ時，∠PFQ＝∠PQF＝30°，∴∠FPQ＝120°，而在P、Q運動過程中，∠FPQ最大為90°，所以此種情況不成立；綜上，當t＝2﹣或時，△PQF為等腰三角形．故答案為：2﹣或．【點睛】勾股定理和含30°角的直角三角形的性質及等腰三角形的判定和性質都是本題的考點，本題需要注意的是分類討論不要漏解.15、或．【解析】

由B、D坐標可求得直線BD的解析式，當M點在x軸上方時，則有CM∥AN，則可求出點M的坐標，代入直線BD解析式可求得M點的坐標，當M點在x軸下方時，同理可求得點M點的縱坐標，則可求得M點的坐標；【詳解】∵，，∴OA=2，OB=4，∵將△OAB繞O點順時針旋轉90°得到△OCD，∴OC=OA=2，OD=OB=4，AB=CD，可知，，設直線BD的解析式為，把B、D兩點的坐標代入得：，解得，∴直線BD的解析式為，當M點在x軸上方時，則有CM∥AN，即CM∥x軸，∴點M到x軸的距離等于點C到x軸的距離，∴M點的縱坐標為2，在中，令，可得，∴，當M點在x軸下方時，M點的縱坐標為-2，在中，令，可得，∴，綜上所述，M的坐標為或．【點睛】本題主要考查了一次函數的綜合，準確利用知識點是解題的關鍵．16、，【解析】

先把-2移項，然后用直接開平方法求解即可.【詳解】∵，∴，∴x+3=±,∴，.故答案為：，.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，靈活選擇合適的方法是解答本題的關鍵.17、【解析】

過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，根據四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點P作PE⊥AD交AD的延長線于點E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點睛】此題考查平行四邊形的性質，直角三角形含30°角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉化為三點共線的形式是解題的關鍵.18、4或1【解析】

直角三角形中斜邊為最長邊，無法確定邊長為4的邊是否為斜邊，所以要討論（1）邊長為4的邊為斜邊；（2）邊長為4的邊為直角邊．【詳解】解：（1）當邊長為4的邊為斜邊時，該直角三角形中斜邊長為4；（2）當邊長為4的邊為直角邊時，則根據勾股定理得斜邊長為＝1，故該直角三角形斜邊長為4cm或1cm，故答案為:4或1．【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了分類討論思想，本題中運用分類討論思想討論邊長為4的邊是直角邊還是斜邊是解題的關鍵三、解答題（共78分）19、（1）m=2，B（0，2）；（2）C（0，-1）或（0，-3）.【解析】

（1）依據一次函數圖象上點的坐標特征，即可得到m的值和點B的坐標；（2）依據點C在y軸上，且△ABC的面積是1，即可得到BC=1，進而得出點C的坐標．【詳解】（1）∵直線y＝x+b與直線y＝x交于點A（m，1），∴m＝1，∴m=2，∴A（2，1），代入y=x+b，可得×2+b＝1，∴b=-2，∴B（0，-2）．（2）點C（0，-1）或C（0，-3）．理由：∵△ABC的面積是1，點C在y軸上，∴|BC|×2=1，∴|BC｜=1，又∵B（0，-2），∴C（0，-1）或C（0，-3）．【點睛】本題考查一次函數的交點問題以及三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．20、（1）y=-0.1x+8（0＜x≤20且x為整數）；（2）第20天每千克的利潤最大，最大利潤是9元/千克．【解析】

（1）根據題意和當x=10時，y=7，當x=11時，y=6.1，可以求得一次函數的解析式及自變量x的取值范圍；（2）根據題意，可以得到w與x的函數關系式，再根據一次函數的性質和（1）中x的取值范圍即可解答本題．【詳解】解：（1）設成本y（元/千克）與第x天的函數關系式是y=kx+b，，得，即成本y（元/千克）與第x天的函數關系式是y=-0.1x+8（0＜x≤20且x為整數）；（2）w=11-（-0.1x+8）=0.1x+7，∵0＜x≤20且x為整數，∴當x=20時，w取得最大值，此時w=0.1×20+7=9，答：第20天每千克的利潤w（元）最大，最大利潤是9元/千克．【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答．21、（1）；（1）；（3）答案見解析.【解析】

（1）當△BEF是等邊三角形時，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，則可解Rt△ABE，求得BF即BE的長．（1）作EG⊥BF，垂足為點G，則四邊形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF1=（BF-BG）1+EG1．即y1=（y-x）1+111．故可求得y與x的關系．（3）當把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A'處，應有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F=AB=11，有FA′=EF-A′E=y-x=11，故可由（1）得到的y與x的關系式建立方程組求得AE的值．【詳解】解：（1）當是等邊三角形時，，∵，∴，∴；（1）作，垂足為點，根據題意，得，，.∴.∴所求的函數解析式為；（3）∵，∴點落在上，∴，，∴要使成為等腰三角形，必須使.而，，∴，由（1）關系式可得：，整理得，解得，經檢驗：都原方程的根，但不符合題意，舍去，所以當時，為等要三角形.【點睛】本題利用了等邊三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性質，勾股定理求解．22、(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析.【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN，于是得到結論；（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明．【詳解】(1)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，∵∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠EAC+∠BDC＝90°，∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，∴PM＝BD，PN＝AE，∴PM＝PN，∵PM∥BD，PN∥AE，∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC，∵∠EAC+∠BDC＝90°，∴∠MPA+∠NPC＝90°，∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN，∴△PMN為等腰直角三角形；(2)①中的結論成立，理由：設AE與BC交于點O，如圖②所示：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，∴∠BHO＝∠ACO＝90°，∴AE⊥BD，∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，∴PM＝BD，PM∥BD，PN＝AE，PN∥AE，∴PM＝PN．∵AE⊥BD，∴PM⊥PN，∴△PMN為等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及三角形中位線定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解答此題的關鍵．23、（1）證明見詳解；（1）證明見詳解【解析】

（1）根據四邊形ABFG、BCED是正方形得到兩對邊相等，一對直角相等，根據圖形利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS即可得到三角形全等；

（1）根據全等三角形的性質和勾股定理即可得到結論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABFG、BCED是正方形，

∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，

∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，

即∠ABD=∠CBF，

在△ABD和△FBC中，，

∴△ABD≌△FBC（SAS）；

（1）∵△ABD≌△FBC，

∴∠BAD=∠BFC，

∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，

∴AM1+MF1=AF1．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．24、（1）證明見解析；（2）DF=78；（3）PF=15【解析】試題分析：(1)、根據矩形的可得AD=BC，AB=CD，根據折疊圖形可得BC=EC，AE=AB，則可得AD=CE，AE=CD，從而得到