2023-2024學年四川省成都市高三高考沖刺卷（一）數(shù)學（理）模擬試題一、單選題1．已知集合，則集合（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，將集合分別化簡，然后結合集合的運算，即可得到結果.【詳解】因為或，且，則，所以.故選：A2．走路是最簡單優(yōu)良的鍛煉方式，它可以增強心肺功能，血管彈性，肌肉力量等，甲、乙兩人利用手機記錄了去年下半年每個月的走路里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結論中正確的是（

）A．甲走路里程的極差等于B．乙走路里程的中位數(shù)是C．甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)D．甲下半年每月走路里程的標準差小于乙下半年每月走路里程的標準差【正確答案】C【分析】根據(jù)折線圖，得到甲、乙下半年的走路歷程數(shù)據(jù)，根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)以及標準差與數(shù)據(jù)穩(wěn)定性之間的關系求解.【詳解】對于A選項，月甲走路的里程為：、、、、、，甲走路里程的極差為公里，A錯；對于B選項，月乙走路的里程為：、、、、、，由小到大排列分別為：、、、、、，所以，乙走路里程的中位數(shù)是，B對；對于C選項，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)，乙下半年每月走路里程的平均數(shù)為，所以，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)，C對；對于D選項，由圖可知，甲下半年走路里程數(shù)據(jù)波動性大于乙下半年走路里程數(shù)據(jù)，所以甲下半年每月走路里程的標準差大于乙下半年每月走路里程的標準差，D錯.故選：C.3．已知平面向量，，的夾角為，，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【正確答案】A【分析】對兩邊平方，再由數(shù)量積公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：A.4．若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)A． B． C． D．【正確答案】B【分析】設出切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，進行比較建立方程關系進行求解即可．【詳解】數(shù)的定義域為（0，+∞），設切點為（m，2lnm+1），則函數(shù)的導數(shù)，則切線斜率，則對應的切線方程為即且，即，則，則，故選B．本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義的應用，求函數(shù)的導數(shù)，建立方程關系是解決本題的關鍵．5．函數(shù)的部分圖象大致形狀是（

）A．

B．

C．

D．

【正確答案】C【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，結合對稱性以時的函數(shù)值的正負判斷可得答案.【詳解】由，，定義域關于原點對稱，得，則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，排除BD；當時，，，，所以，排除A.故選：C.6．已知正方體(如圖1)，點P在棱上(包括端點).則三棱錐的側視圖不可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【正確答案】D【分析】根據(jù)題意結合三視圖逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：當點P于點D重合，則的側視圖如選項A所示，故A正確；對于選項B：當點P于點重合，則的側視圖如選項B所示，故B正確；對于選項C：當點P為線段的中點，則的側視圖如選項C所示，故C正確；對于選項D：因為點P在棱上運動，則側視圖中右邊的一條邊與底邊垂直，且右邊的一條邊的邊長與正方體的棱長相等，所以的側視圖如不可能如選項D所示，故D錯誤；故選：D.7．已知拋物線的焦點和橢圓的一個焦點重合，且拋物線的準線截橢圓的弦長為3，則橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦點以及在橢圓上，即可求解的值.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，設橢圓的方程為，橢圓中，，當時，，故又，所以，故橢圓方程為，故選：B8．已知（為常數(shù)），若在上單調，且，則的值可以是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)在上單調，可得，再由求得的一條對稱軸和一個對稱中心，進而求得，再求的值.【詳解】對于函數(shù)，，因為在上單調，所以，即.又，所以為的一條對稱軸，且即為的一個對稱中心，因為，所以和是同一周期內(nèi)相鄰的對稱軸和對稱中心，則，即，所以，所以，又為的一個對稱中心，則，，則，，當時，.故選：A.9．如圖，在矩形中，分別為邊上的點，且，，設分別為線段的中點，將四邊形沿著直線進行翻折，使得點不在平面上，在這一過程中，下列關系不能成立的是（

）

A．直線直線 B．直線直線C．直線直線 D．直線平面【正確答案】C【分析】畫出翻折之后的立體圖形，根據(jù)點線面之間的位置關系以及平行與垂直的相關定理，可以證明或證偽相關命題.【詳解】翻折之后如圖所示：

①因為，，所以且，因此，故選項A成立；②連接，因為分別為的中點，所以，

又因為，所以，故選項B成立；③因為，，所以與不平行，故選項C不成立；④因為，且平面，平面，所以平面，故選項D成立.故選：C10．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1所示）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車每秒轉動，如圖2所示，盛水桶在處距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．【正確答案】D設后盛水桶到水面的距離關于的函數(shù)解析式為，根據(jù)題中信息求出函數(shù)的解析式，再令即可得解.【詳解】設后盛水桶到水面的距離關于的函數(shù)解析式為，由題意可得，解得，由于筒車每秒轉動，所以，函數(shù)的最小正周期為，所以，，則，由于盛水桶在處距水面的距離為，則，可得，由于函數(shù)在附近單調遞增，則為第一象限角，所以，，所以，.故選：D.思路點睛：建立三角函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟：（1）審題：審清題目條件、要求、理解數(shù)學關系；（2）建模：分析題目變化趨勢，選擇合適的三角函數(shù)模型；（3）求解：對所建立的數(shù)學模型進行分析研究，從而得出結論.11．已知雙曲線C的方程為，斜率為的直線與圓相切于M，與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B，且M為AB中點，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【正確答案】B【分析】.設出直線的方程，求出A，B的坐標，從而可得點M的坐標，代入圓方程中即可求離心率【詳解】依題意，設直線的方程為，圓的方程可化為，即圓心坐標為，半徑為，因為直線與圓相切于M，所以，由可化簡得，則直線的方程為，雙曲線C的兩條漸近線分別為，，由得，同理可得，因為M為AB中點，由中點坐標公式可得，M在圓上，將M的坐標代入圓方程可得，化簡整理得，從而可得，則雙曲線C的離心率.故選：B12．已知函數(shù)的定義域均為，且滿足，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由條件通過賦值，結合周期函數(shù)的定義證明為周期為的周期函數(shù)，再求，結合周期函數(shù)性質求，由此可得結論.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，在中將代換為可得①，在中將代換為可得②，①②兩式相減可得，所以，即，設，則，所以函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，由取可得，由取可得，所以，在中取可得，在中取可得④，在中取可得⑤，在中取可得⑥，將④⑤⑥相加可得，又，所以，又，，所以，，又函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，所以，所以，所以，所以.故選：A.知識點點睛：本題考查奇函數(shù)的性質，周期函數(shù)的定義，周期函數(shù)的性質，組合求和法，等差數(shù)列求和，考查賦值法，屬于綜合題，考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力.二、填空題13．若復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)的虛部為________.【正確答案】1【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，即可由共軛復數(shù)的概念以及虛部概念求解.【詳解】由得，故，且虛部為1，故114．在之間任取一個實數(shù)，使得直線與圓有公共點的概率為________.【正確答案】/【分析】利用直線與圓的位置關系求出的取值范圍，再利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，因為直線與圓有公共點，則，解得，因此，所求事件的概率為.故答案為.15．已知正三棱柱所有頂點都在球O上，若球O的體積為，則該正三棱柱體積的最大值為________.【正確答案】8【分析】由條件結合球的體積公式求球的半徑，設正三棱柱的底面邊長為，求出三棱柱的高，結合棱柱的體積求三棱柱的體積，再利用導數(shù)求其最大值.【詳解】設正三棱柱的上，下底面的中心分別為，連接，根據(jù)對稱性可得，線段的中點即為正三棱柱的外接球的球心，線段為該外接球的半徑，設，由已知，所以，即，設正三棱柱的底面邊長為，設線段的中點為，則，，在中，，所以，，又的面積，所以正三棱柱的體積，設，則，，所以，，所以，令，可得或，舍去，所以當時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以當時，取最大值，最大值為，所以當時，三棱柱的體積最大，最大體積為.故答案為.

16．在中，角、、的對邊分別為、、，若，且，則當邊取得最大值時，的周長為________.【正確答案】/【分析】由正弦定理結合兩角和的正弦公式可求得的值，結合角的取值范圍可得出角的值，利用正弦定理可求得的最大值及其對應的的值，進而可求得的值，由此可得出的周長.【詳解】因為，由正弦定理可得，即，整理可得，因為、，所以，，則，故，由正弦定理可得，整理可得，因為，當時，取最大值，且的最大值為，此時，，，所以，，因此，當邊取得最大值時，的周長為.故答案為.三、解答題17．設等比數(shù)列的前n項和為，且．求的通項公式；若，求的前n項和．【正確答案】(1)．(2)．【分析】利用數(shù)列的遞推關系式的應用求出數(shù)列的通項公式．利用的結論，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【詳解】等比數(shù)列的前n項和為，且當時，解得．當時得，所以常數(shù)，故．由于，所以，所以．本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題型．18．“五一黃金周”期間，某商場為吸引顧客，增加顧客流量，推出購物促銷優(yōu)惠活動，具體優(yōu)惠方案有兩種：方案一：消費金額不滿300元，不予優(yōu)惠；消費金額滿300元減60元；方案二：消費金額滿300元，可參加一次抽獎活動，活動規(guī)則為：從裝有3個紅球和3個白球共6個球的盒子中任取3個球（這些小球除顏色不同其余均相同），抽獎者根據(jù)抽到的紅球個數(shù)不同將享受不同的優(yōu)惠折扣，具體優(yōu)惠如下：抽到的紅球個數(shù)0123優(yōu)惠折扣無折扣九折八折七折(1)現(xiàn)有甲乙兩位顧客各獲得一次抽獎活動，求這兩位顧客恰好有一人獲得八折優(yōu)惠折扣的概率；(2)若李女士在該商場消費金額為x元（），請以李女士實付金額的期望為決策依據(jù)，對李女士選擇何種優(yōu)惠方案提出建議.【正確答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求事件抽獎的顧客獲得八折優(yōu)惠的概率，再根據(jù)獨立重復試驗的概率公式求兩位顧客恰好有一人獲得八折優(yōu)惠折扣的概率；（2）在條件下，分別求兩種方案下李女士實付金額的期望，由此提出建議.【詳解】（1）設事件A：抽獎的顧客獲得八折優(yōu)惠，則；由于甲乙兩位顧客獲得八折優(yōu)惠的概率均為，設甲乙兩位顧客恰好一人獲得八折優(yōu)惠的概率P，則；所以甲乙兩位顧客恰好一人獲得八折優(yōu)惠的概率為.（2）方案一：設實付金額，則,（）.方案二：設實付金額，則的可能取值有：x，0.9x，0.8x，0.7x；（）.；；；；

所以.①若，解得，選擇方案一；②若，解得，選擇方案一或方案二均可；③若，解得，選擇方案二.，所以當消費金額大于且小于時，選擇方案一；當消費金額等于時，選擇方案一或方案二均可；當消費金額大于時，選擇方案二.19．如圖，在直三棱柱中，點E，F(xiàn)分別是，中點，平面平面．(1)證明：；(2)若，平面平面，且，求直線l與平面所成角的余弦值．【正確答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）取中點G，連接，，先證明四邊形為平行四邊形，再證明EF∥平面，再根據(jù)直線與平面平行的性質即可證明；（2）根據(jù)題意先證明，，兩兩垂直，從而建立空間直角坐標系，再根據(jù)求得的值，再利用線面角的向量求法即可求解．【詳解】（1）取中點G，連接，，∵E，G分別是，中點，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴EF∥平面，∵平面，平面平面，∴．（2）由三棱柱為直棱柱，∴平面，∴，，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，故以為坐標原點，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，又，則，解得，所以，，則，，設平面法向量為，所以，即，取，得，由（1）知直線，則l方向向量為，設直線l與平面所成角為，則，則，所以直線l與平面所成角的余弦值為．20．已知拋物線C：，過的直線與C相交于A，B兩點，其中O為坐標原點.(1)證明：直線OA，OB的斜率之積為定值；(2)若線段AB的垂直平分線交y軸于M，且，求直線AB的方程.【正確答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示斜率乘積；（2）結合二倍角公式，求，以及弦長公式求，并利用韋達定理表示，利用比值，即可求直線方程.【詳解】（1）設，設直線AB：x=my+1.聯(lián)立化簡可得：由韋達定理可得：；所以，

所以直線OA，OB的斜率之積為定值.（2）設線段AB的中點N，設.則，解得，所以，即；所以；又線段AB的中點N，可得，所以.因為，所以，所以.所以，解得；所以直線AB的方程為：或.21．已知，.(1)求的極值；(2)若，求實數(shù)k的取值范圍.【正確答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，然后分與討論，即可得到結果.（2）根據(jù)題意，將問題轉化為在恒成立，然后構造函數(shù)，求得其最大值，即可得到結果.【詳解】（1）已知，當時，恒成立，無極值，當時，，在上單調遞增，在單調遞減，當時，有極大值，，無極小值，綜上：當時，無極值；當時，極大值為，無極小值；（2）若，則在時恒成立，恒成立，令，令，則，在單調遞減，又，由零點存在定理知，存在唯一零點，使得，即，令在上單調遞