2023-2024學(xué)年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（5月）一.填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1.已知集合，則___________．【正確答案】【分析】利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧纤杂郑裕?.已知、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，則________.【正確答案】【分析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于x的方程，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即得答案.【詳解】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于x的方程，可得，或，故或，故3.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的表面積為________.【正確答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由圓錐的側(cè)面展開圖求得，結(jié)合圓錐的表面積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，弧長(zhǎng)為的扇形，故，則，故該圓錐的表面積為，故4.根據(jù)變量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如表），求得關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為________.2456830405070【正確答案】60【分析】先求出，然后代入回歸方程中可求出的值.【詳解】由題意得，，因?yàn)殛P(guān)于的線性回歸方程為，所以，解得，故605.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則___________.【正確答案】##【分析】首先根據(jù)正弦定理角化邊公式得到，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋?故6.已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為______．【正確答案】80【分析】根據(jù)題意，由各項(xiàng)系數(shù)之和可得，再由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，令，則，解得，則的展開式第項(xiàng)，令，解得，所以.故7.無(wú)窮等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若其首項(xiàng)為，且，，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】首先可判斷，即可得到，再根據(jù)數(shù)列極限可得及，由的取值范圍求出的取值范圍.【詳解】解：依題意顯然公比，則，又且，所以，且，即，因?yàn)椋裕瑒t，所以或，又，所以，即.故8.設(shè)，求方程的解集__________.【正確答案】【分析】分四種情況去絕對(duì)值求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，故此時(shí)；當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，故此時(shí)，與矛盾，舍掉；當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，解得，與矛盾，舍掉；當(dāng)時(shí)，原方程化為：，即，故此時(shí)；綜上所述：方程的解集為.故答案為.9.若實(shí)數(shù)，且，則______.【正確答案】0【分析】由，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】因，則，，又由換底公式推論可得，設(shè)，則，故，由換底公式，則.故010.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切圓上．若=+，則+的最大值為__________．【正確答案】【詳解】分析：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ+1，sinθ+2），根據(jù)=λ+μ，求出λ，μ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．詳解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故3．點(diǎn)睛：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．11.已知函數(shù)，若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是____________【正確答案】【分析】明確分段函數(shù)兩段的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖像，將方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象確定，，，的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，令，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，令，則或4；令，則或2；由此可作出函數(shù)的圖象如圖：由于方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分別記為，，，，故圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，不妨設(shè)，則，且關(guān)于對(duì)稱，所以，又即，則，故，由于在上單調(diào)遞增，故，所以，故的取值范圍是，故關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)與方程的應(yīng)用知識(shí)，涉及到知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，解答的關(guān)鍵時(shí)要明確分段函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P，Q為四邊形內(nèi)的點(diǎn)（包括邊界），且點(diǎn)P到AB的距離等于到平面的距離，點(diǎn)Q到的距離等于到平面ABCD的距離，則的最小值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義得到P，Q的軌跡，結(jié)合圖像，即可求解.【詳解】當(dāng)P，Q在線段上時(shí)，由P到AB的距離等于到平面的距離知，P到點(diǎn)B的距離等于到的距離，故點(diǎn)P在以B為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上；同理，點(diǎn)Q在以為焦點(diǎn)，BC為準(zhǔn)線的拋物線上.設(shè)這兩條拋物線與的交點(diǎn)即分別為點(diǎn)，（如圖1）.則P，Q的軌跡分別為四邊形內(nèi)過(guò)點(diǎn)，且平行于AB的線段（如圖2）.則的最小值即為.如圖3所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為，，所在的拋物線方程為，，聯(lián)立方程且，得，，，即的最小值為.故答案為.二.選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分）13.已知雙曲線：的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由雙曲線離心率可得，再結(jié)合即可得，代入漸近線方程即可得出結(jié)果.【詳解】由雙曲線離心率為可得，即可得，又，即可得；由題意可得雙曲線的漸近線方程為.故選：A.14.已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說(shuō)法的真假．【詳解】因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒椋俨徽_；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因?yàn)椋裕鄄徽_；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，④不正確．故選：A．

15.下列說(shuō)法正確的是（）A.若隨機(jī)變量，則B.若隨機(jī)變量，且，則C.一組數(shù)據(jù)11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位數(shù)為19D.若，，，則事件A與事件B相互獨(dú)立【正確答案】CD【分析】對(duì)A，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解即可；對(duì)B，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可；對(duì)C，根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合事件與事件相互獨(dú)立事件滿足判斷即可．【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若隨機(jī)變量，且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，數(shù)據(jù)組共10個(gè)數(shù)據(jù)，故第80百分位數(shù)為從小到大第8，9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故C正確；對(duì)D，，故，故事件與事件相互獨(dú)立，故D正確；故選：CD．16.在數(shù)列中，對(duì)任意正整數(shù)n都有，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)于任意的，都有；②對(duì)于任意，數(shù)列不可能為常數(shù)列；③若，則數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列；④若，則當(dāng)時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）A.②④ B.③④ C.①②③ D.②③④【正確答案】B【分析】根據(jù)分析可得與同號(hào)，進(jìn)而可判斷①②，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義分析判斷③④.【詳解】由題意可得：，且對(duì)任意正整數(shù)n都有，則，所以與同號(hào)，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；故①②錯(cuò)誤；若，則，因?yàn)椋瑒t，即，所以數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，故③正確；若，則，因?yàn)椋瑒t，即，所以數(shù)列為嚴(yán)格減數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，故④正確；故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列與不等式以及數(shù)列與單調(diào)性等問(wèn)題，常利用作差法，需要熟練應(yīng)用不等式知識(shí)解決數(shù)列中的相關(guān)問(wèn)題．三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為菱形，，底面ABCD，，E是PC上任一點(diǎn)，.（1）求證：平面平面PAC：（2）若E是PC的中點(diǎn)，求ED與平面EBC所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）依題意可得，再由線面垂直的性質(zhì)得到，即可得到平面，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；【詳解】解：（1）在四棱錐中，底面ABCD為菱形，所以，又因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，所以，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫唬?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形且，所以為等邊三角形，所以，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以即，令則，，所以，設(shè)直線ED與平面EBC所成角為，則所以直線ED與平面EBC所成角的正弦值為本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和線面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18.某電視臺(tái)舉行文藝比賽，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)比賽進(jìn)行直播．比賽現(xiàn)場(chǎng)有5名專家評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，場(chǎng)外觀眾可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評(píng)分．每位選手的最終得分由專家評(píng)分和觀眾評(píng)分確定．某選手參與比賽后，現(xiàn)場(chǎng)專家評(píng)分情況如表；場(chǎng)外有數(shù)萬(wàn)名觀眾參與評(píng)分，將評(píng)分按照[7，8），[8，9），[9，10]分組，繪成頻率分布直方圖如圖：專家ABCDE評(píng)分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用頻率估計(jì)概率，估計(jì)某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率；（2）從5名專家中隨機(jī)選取3人，X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；從場(chǎng)外觀眾中隨機(jī)選取3人，用頻率估計(jì)概率，Y表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)；試求E（X）與E（Y）的值；（3）考慮以下兩種方案來(lái)確定該選手的最終方案一：用所有專家與觀眾的評(píng)分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計(jì)算專家評(píng)分的平均數(shù)和觀眾評(píng)分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分．請(qǐng)直接寫出與的大小關(guān)系．【正確答案】（1）；（2）見解析；（3）.【分析】（1）由頻率和為1可得a的值，用某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的頻率可估計(jì)概率；（2）計(jì)算概率可得分布列和期望．（3）由兩組數(shù)據(jù)的比重可直接作出判斷.．【詳解】（1）由圖知，某場(chǎng)外觀眾評(píng)分不小于9的概率是．（2）X的可能取值為2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．所以X的分布列為X23P所以E（X）=2×．由題意可知，，所以E（Y）=np=．（3）．本題考查了離散型隨機(jī)變量期望考查了超幾何分布和二項(xiàng)分布，屬中檔題．19.一年之計(jì)在于春，春天正是播種的好季節(jié)．小林的爺爺對(duì)自己的一塊正方形菜園做了一些計(jì)劃．如圖，是邊長(zhǎng)為米的正方形菜園，扇形區(qū)域計(jì)劃種植花生，矩形區(qū)域計(jì)劃種植蔬菜，其余區(qū)域計(jì)劃種植西瓜．分別在上，在弧上，米，設(shè)矩形的面積為（單位：平方米）．（1）若，請(qǐng)寫出（單位：平方米）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最小值．【正確答案】（1）（2）平方米【分析】（1）延長(zhǎng)交于，可用表示出，由此可得；（2）令，將表示為關(guān)于的二次函數(shù)的形式，由二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】延長(zhǎng)交于，則米，米，則米，米，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，令，則，，，，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，矩形面積的最小值為平方米．20.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，焦距是.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l：與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)D，E，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（3）設(shè)A，B為橢圓C的左?右頂點(diǎn)，為橢圓C上除A，B外任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和直線于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，分別過(guò)點(diǎn)P和Q作軸的垂線，垂足分別為M和N，求證：線段MN的長(zhǎng)為定值.【正確答案】（1）（2）（3）證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)，由此得到，利用分別表示出直線和的方程，聯(lián)立兩直線方程，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出線段的長(zhǎng)，得出結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，焦距是，可得，解得，因此橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，則，因?yàn)橐跃€段為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以，則，可得，即，代入得，整理得滿足，所以.【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)椋瑸闄E圓的左?右頂點(diǎn)，可得，，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)榫€段的垂直平分線分別交直線和直線于點(diǎn)和點(diǎn)，則為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)橹本€的斜率為，所以其垂直平分線的斜率為，則的方程為，即；又由直線的斜率為，所以直線的方程為，由，可得，則，解得，即，又因?yàn)椤⒎謩e為、在軸的垂足，則，，所以為定值.21.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若方程有解，求a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（3）【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可求出切線方程；（2）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有公共點(diǎn)問(wèn)題，求導(dǎo)，利用單調(diào)性畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題，，所以，，所