2023-2024學年上海市高考數學5月模擬試題（二模）一、填空題1．不等式的解集是_____.【正確答案】【分析】由對數函數的單調性可出原不等式的解集.【詳解】因為函數在上為增函數，由可得.因此，不等式的解集為.故答案為.2．若復數是的一個根，則_____.【正確答案】【分析】設設，，代入中，得到方程組，求出，求出模長.【詳解】由題意得，設，，則，即，所以，因為，所以，故，故.故3．的展開式中，的系數為___________.(用數字作答)【正確答案】5【分析】利用二項展開式的通項公式可求得結果.【詳解】的展開式的通項公式為，，令，得，所以的系數為.故54．在平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則____．【正確答案】/【分析】利用三角函數的定義結合二倍角的正弦公式可求得的值.【詳解】在平面直角坐標系中，角的終邊經過點，由三角函數定義可得，，因此，.故答案為.5．已知直線的一個法向量為，則直線的傾斜角為_________．【正確答案】120°【分析】根據法向量求直線的方向向量，由方向向量即可求出傾斜角.【詳解】因為直線的一個法向量為，所以直線的一個方向向量為，所以直線的斜率為，傾斜角為120°．故120°本題考查了求直線的方向向量、由方向向量求直線的傾斜角，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎題.6．等軸雙曲線的焦距為____.【正確答案】【分析】根據等軸雙曲線定義得到，進而求出，得到焦距.【詳解】由題意得，，故，故，焦距為.故7．從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙至少一人入選的概率為____．【正確答案】/0.9【分析】把另3編號，用列舉法寫出從5人中任選3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入選的基本事件，記數后由概率公式計算概率．【詳解】另三名同學記為1，2，3，由從5人中選3名同學基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10個，其中甲、乙至少一人入選的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9個，所以所求概率為．故．8．已知，若在上恰有兩個不相等的實數、滿足，則實數的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由可得出，分析可知函數在上恰有兩個最大值點，可得出關于的不等式，解之即可.【詳解】因為，所以，因為在上恰有兩個不相等的實數、滿足，且，所以，函數在上恰有兩個最大值點，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故答案為.9．已知，，請寫出與和均相切的一條直線方程______．（只需寫一條）【正確答案】（或，只要答一個即可）．【分析】設函數圖象上的切點為，函數圖象上切點為，求出導函數，利用列方程組求得后可得切線方程．【詳解】設函數圖象上的切點為，函數圖象上切點為，，，,,由得，消去得,或,從而有或,又，，所以切線方程為或，即或，故（或，只要答一個即可）．10．在中，角、、所對的邊分別為、、，，的平分線交于，若，則的最小值為____.【正確答案】/【分析】利用可得出，然后將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，的平分線交于，且，由，即，整理可得，所以，，因此，，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為.11．希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發現：“平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為__．【正確答案】【分析】先利用阿氏圓定義設出，由得到，利用，即可求出最小值.【詳解】設，不妨取，使得，所以，整理得.此方程與為同一方程，所以，解得：，即.所以（當且僅當P、B、C三點共線時等號成立）此時.所以的最小值為.故答案為.12．已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是__.【正確答案】【分析】建立平面直角坐標系，設，確定點A，B的軌跡，從而設，求出的表達式結合三角恒等變換化簡，再結合二次函數性質即可求得答案.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，令,

設則由可得，即點A軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，點B軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，則設，則，（為輔助角），令，則，則，又，而，故，故的取值范圍是，故本題是關于向量和三角函數的綜合性題目，綜合性較強，解答時要注意建立坐標系，利用向量的坐標運算結合三角函數的恒等變換進行解答，難點在于化簡的表達式時，計算較為復雜，要注意計算的準確性.二、單選題13．下列函數中，在定義域內不是奇函數的是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】求出各選項的函數定義域，再利用奇函數的定義判斷作答.【詳解】對于A，令，由，得的定義域為R，，函數不是奇函數；對于B，令，由，得，即函數的定義域為，，函數是奇函數；對于C，令，顯然函數的定義域為R，，函數是奇函數；對于D，令，函數的定義域為，，函數是奇函數.故選：A14．下列關于統計概率知識的判斷，正確的是（

）A．將總體劃分為層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為、和，且已知，則總體方差B．在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數越接近于C．若，，則事件、相互獨立D．某醫院住院的位新冠患者的潛伏天數分別為、、、、、、、，則該樣本數據的第百分位數為【正確答案】C【分析】利用方差公式可判斷A選項；利用相關系數與線性相關關系可判斷B選項；利用條件概率公式以及獨立事件的定義可判斷C選項；利用百分位數的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，設層數據分別為、、、；、、、，因為，所以，總體平均數為，所以，，，所以，總體方差為，則，所以，當或時，，否則，A錯；對于B選項，在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數的絕對值越接近于，B錯；對于C選項，由條件概率公式可得，所以，，所以，，故，所以，事件、相互獨立，C對；對于D選項，將樣本數據由小到大排列分別為、、、、、、、，所以，該樣本數據的第百分位數為，D錯.故選：C.15．《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體中，鱉臑的個數為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】每個頂點對應個鱉臑，所以個頂點對應個鱉臑．但每個鱉臑都重復一次，再除，即可得解.【詳解】在正方體中，當頂點為時，三棱錐、、、、、均為鱉臑．所以個頂點為個．但每個鱉臑都重復一次，所以，鱉臑的個數為個.故選：B．

16．已知是等差數列，，且存在正整數，使得對任意的正整數都有．若集合中只含有4個元素，則的取值不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【正確答案】B【分析】根據為等差數列，寫出通項，根據題意列出之間的關系，進而找到兩個數列基本量之間的關系，分別就四種情況討論，選出符合題意的值，進而判斷選項即可.【詳解】解：設等差數列首項為，公差為，則，，由題知，存在正整數，使得，，若集合有4個不同元素，則，當時，，即，即，所以，或，因為是等差數列，各項均唯一，所以舍去，故解得，取時，，此時在單位圓上的4等分點可取到4個不同的正弦值，即集合可取4個元素，當時，，即，即，所以，或，（舍），故解得，此時在單位圓上的5等分點，取到的，，，，，不可能取到4個不同的正弦值，故不成立，同理可得當時，集合可取4個元素.故選：B思路點睛：該題考查集合間的基本關系，屬于難題，關于新定義集合的思路有：（1）根據題意，先寫出幾項，找出規律；（2）找到新集合和舊集合之間的關系；（3）分情況討論，結合題意，找出適合的答案即可.三、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別為棱，的中點，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理即可證明；（2）以點為坐標原點，、、分別為、、軸，如圖建立空間直角坐標系.求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，取的中點，連接、，因為是的中點，所以，且.又因為底面是正方形，是的中點，所以，且.所以.所以四邊形是平行四邊形，所以.由于平面，平面，所以平面.（2）因為底面是正方形，所以.又因為平面.所以以點為坐標原點，、、分別為、、軸，如圖建立空間直角坐標系.，，，，，.，，設平面的法向量為.有：即令，則，所以..設直線與平面所成角為.有.所以直線與平面所成角的正弦值為.18．已知數列的前n項和為，，對任意的正整數，點均在函數圖像上．(1)證明：數列是等比數列；(2)證明：中任何不同三項不構成等差數列．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）確定得到，得到證明.（2）確定數列的通項公式，假設存在使得成等差數列，得到，根據奇偶性得到矛盾，得到證明.【詳解】（1）點均在函數圖像上，則，故，，故是首項為2，公比為2的等比數列.（2），故，，且從第二項起嚴格增，假設存在使得成等差數列，則，即，等式左邊為偶數，右邊為奇數，故假設不成立.故中任何不同三項不構成等差數列．19．一場始于煙火，歸于真誠的邂逅，讓無數人赴山趕海“進淄趕烤”，淄博某燒烤店趁機推出150元燒烤套餐.某同學調研發現，燒烤店成本（單位：千元，包含人工成本、原料成本、場地成本、設備損耗等各類成本）與每天賣出套餐數（單位：份）的關系如下：

1346756.577.58與可用回歸方程（其中為常數）進行模擬．參考數據與公式：設，則線性回歸直線中，．0.546.81.530.45(1)試預測該燒烤店一天賣出100份的利潤是多少元．（利潤=售價-成本，結果精確到1元）(2)據統計，由于燒烤的火爆，飲料需求也激增.4月份的連續16天中某品牌飲料每天為淄博配送的箱數的頻率分布直方圖，用這16天的情況來估計相應的概率．供貨商擬購置輛小貨車專門運輸該品牌飲料，一輛貨車每天只能運營一趟，每輛車每趟最多只能裝載40箱該飲料，滿載發車，否則不發車．若發車，則每輛車每趟可獲利500元；若未發車，則每輛車每天平均虧損200元．若或4，請從每天的利潤期望角度給出你的建議．【正確答案】(1)3236元(2)答案見解析【分析】（1）根據所給數據求出、，即可求出回歸方程，再代入求出預測值，即可得到利潤；（2）根據頻率分布直方圖，得到送貨箱數的概率分布表，設該運輸戶購輛車和購輛車時每天的利潤分別為、元，求出分布列，計算出期望，即可判斷.【詳解】（1）根據題意，，所以，所以，又，所以，所以時，（千元），即賣出份的成本為元，故利潤（元）．（2）根據頻率分布直方圖，可知送貨箱數的概率分布表為：箱數設該運輸戶購輛車和購輛車時每天的利潤分別為、元，則的可能取值為1500，800，100，其分布列為：故，則的可能取值為2000，1300，600，，其分布列為故，因為，即購置3輛小貨車的利潤更高，建議購買3輛車．20．已知橢圓：的左焦點為，左、右頂點分別為，，上頂點為.(1)若為直角三角形，求的離心率；(2)若，，點，是橢圓上不同兩點，試判斷“”是“，關于軸對稱”的什么條件？并說明理由；(3)若，，點為直線上的動點，直線，分別交橢圓于，兩點，試問的周長是否為定值？請說明理由.【正確答案】(1)(2)必要不充分條件，理由見解析(3)是，理由見解析【分析】（1）利用為直角三角形得到，轉化為即可得.（2）根據橢圓的對稱性可證必要性，又反例可知不滿足充分性.（3）先證直線過橢圓的右焦點，可得的周長為【詳解】（1）

如圖，，，，，由題意，即，故，解得離心率（2）必要不充分條件.必要性：根據橢圓的對稱性可知，當，關于軸對稱時，成立；充分性：橢圓方程為，設，，在上不單調，所以可舉反例：分別取，，即，使得，但，不關于軸對稱.（3）

由題意，，，橢圓方程為，設，則直線的斜率為，方程為：，聯立橢圓方程得，，故，代入得，所以，同理直線的方程為：，聯立橢圓方程得，，故，代入得，所以，所以，直線方程為，令，可得，即直線恒過橢圓的右焦點.所以的周長為定值.方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21．已知函數，其導函數為，(1)若函數有三個零點，且，試比較與的大小.(2)若，試判斷在區間上是否存在極值點，并說明理由.(3)在（1）的條件下，對任意的，總存在使得成立，求實數的最大值.【正確答案】(1)(2)存在，理由見解析(3)2【分析】（1）根據分析得到，是方程的兩根，由韋達定理得，計算出；（2）由導函數為二次函數，開口向上，結合特殊點的函數值及零點存在性定理得到極值點情況；（3）將分別代入，得到不等式組，整理得到，求出，進而求出的最