2023-2024學年上海市高考數學模擬試題（三模）一、填空題1．已知集合，則__________.【正確答案】【分析】化簡A，根據交集運算得解.【詳解】因為，所以，故答案為.2．復數的模為__________．【正確答案】/【分析】由復數的四則運算以及模長公式計算即可.【詳解】．故3．不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】將分式不等式等價轉化為二次不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價于，解得或,故答案為.4．已知冪函數的圖象過點，則________【正確答案】【分析】設冪函數，將代入，求得，進而可得結果.【詳解】設冪函數，因為冪函數的圖象過點，所以，解得，所以故答案為.本題主要考查冪函數的解析式，屬于基礎題.5．已知函數，則函數的最小正周期是__________．【正確答案】【分析】根據三角恒等變換化簡函數解析式，進而可得函數的最小正周期.【詳解】，故，故．6．方程的解為_________．【正確答案】【分析】設函數，，由函數的單調性，結合特殊值，即可求得方程的解.【詳解】設函數，，由于函數在上均為增函數，又，故方程的解為.故答案為.7．的展開式中含x項的系數為______.【正確答案】28【分析】化簡二項式定理展開式通項，求出k值，代入即可.【詳解】設展開式中第項含x項，則，令，解得，代入得，故28.8．某單位為了解該單位黨員開展學習黨史知識活動情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的黨史學習時間進行了統計，統計數據如下表所示：黨史學習時間（小時）7891011黨員人數610987則該單位黨員一周學習黨史時間的第40百分位數是___．【正確答案】8.5/【分析】根據百分位數的定義即可求出結果.【詳解】黨員人數一共有，，那么第40百分位數是第16和17個數的平均數，第16和17個數分別為8，9，所以第40百分位數是，故8.59．若存在實數，使得是方程的解，但不是方程的解，則實數的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】根據是的解，不是解直接可得.【詳解】由題意知，，且，故，顯然，即，若，此時顯然不滿足題意，故.故10．隨機變量，，若，那么實數的值為__________.【正確答案】【分析】由正態分布性質可得，，由此可利用對稱性構造方程求得結果.【詳解】，，，，，，解得.故答案為.11．已知曲線：與曲線：恰有兩個公共點，則實數的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】根據與的位置關系分析可得.【詳解】

如圖：與軸焦點為，當點在圓外，則表示的兩條射線與圓相切與相切時恰有兩個公共點，聯立得，由，得，因，所以，故，當點在圓上，

如圖，此時與有3個或1個交點不符合題意，當點在圓內，

如圖，此時與有2個交點符合題意，此時，，得綜上的取值范圍為.故答案為.12．函數是最小正周期為4的偶函數，且在時，，若存在滿足，且，則最小值為__________.【正確答案】1518.5【分析】根據題意，先求出函數一個周期的值域，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點，且，再利用函數的周期性求解.【詳解】解：函數是最小正周期為4的偶函數，且在時，函數的值域為，對任意，都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點，且，，的最小值估計值為，故的最小值取507，相應的最小值為1011.5，則的最小值為1518.5.故1518.5二、單選題13．設，則“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據直線一般式中平行滿足的關系即可求解.【詳解】若直線與直線平行，則，解得或，經檢驗或時兩直線平行．故“”能得到“直線與直線平行”，但是“直線與直線平行”不能得到“”故選：A14．函數的圖象如圖所示，則函數的圖象可能是A． B．C． D．【正確答案】D【詳解】原函數先減再增，再減再增，且位于增區間內，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導數圖象與原函數圖象的關系：若導函數圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續分布于軸上下方，則為原函數單調性的拐點，運用導數知識來討論函數單調性時，由導函數的正負，得出原函數的單調區間．15．已知函數為偶函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】先求得參數a的值，再去求不等式的解集【詳解】因為為偶函數，所以，即解之得，經檢驗符合題意.則由，可得故的解集為，故選：B.16．已知，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】B【分析】根據子集個數可得集合元素個數，再由正弦函數性質即可確定n的取值.【詳解】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個子集，故集合只有三個元素，有，則結合誘導公式易知，可取的值是4或5.故選：B三、解答題17．已知為等差數列，為等比數列，，，．(1)求和的通項公式；(2)記的前項和為，求證：；【正確答案】(1)，；(2)證明見解析【分析】（1）由題意分別求得數列的公差、公比，然后利用等差、等比數列的通項公式得到結果；（2）利用（1）的結論首先求得數列的前項和，然后利用作差法證明即可.【詳解】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，，得，，故，于是；由，得，，又等比數列公比，得到，故，于是.（2）由（1）得，，故，，作差可得，即得證.18．如圖，平面，四邊形為直角梯形，.

(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求二面角的余弦值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據可得異面直線所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以點為坐標原點，建立坐標系，再由向量法得出二面角的余弦值.【詳解】（1）由，則異面直線與所成角即為，由題意知，平面，又平面，故，所以，即，即異面直線與所成角為.（2）因為平面，平面，所以，又，，所以以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系：

則，則，設平面的法向量為，則，取，得，得，取平面的法向量為，設二面角的大小為，由圖形知，為銳角，所以，所以二面角的余弦值為.19．流行性感冒簡稱流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一種傳染性強、傳播速度快的疾病.了解引起流感的某些細菌、病毒的生存條件、繁殖習性等對于預防流感的傳播有極其重要的意義，某科研團隊在培養基中放入一定是某種細菌進行研究.經過2分鐘菌落的覆蓋面積為，經過3分鐘覆蓋面積為，后期其蔓延速度越來越快；菌落的覆蓋面積（單位：）與經過時間（單位：）的關系現有三個函數模型：①，②（），③（）可供選擇.（參考數據：，）(1)選出你認為符合實際的函數模型，說明理由，并求出該模型的解析式；(2)在理想狀態下，至少經過多少分鐘培養基中菌落的覆蓋面積能超過？（結果保留到整數）【正確答案】(1)答案見解析；(2)至少經過培養基中菌落的覆蓋面積能超過.【分析】（1）根據題意，分析三個函數模型的增長速度快慢，選擇，并求出解析式；（2）根據題意，，求出的取值范圍，進而得出結果.【詳解】（1）因為的增長速度越來越快，（）和（）的增長速度越來越慢，所以應選函數模型.由題意得，解得，所以該函數模型為（）；（2）由題意得，即，所以，又.所以至少經過培養基中菌落的覆蓋面積能超過.20．在平面直角坐標系中，若橢圓的左?右焦點分別為，，點在橢圓上且在第一象限內，，直線與橢圓相交于另一點.（1）求的周長；（2）在軸上任取一點，直線與直線相交于點，求的最小值；（3）設點在橢圓上，記與的面積分別是，，若，求點的坐標.【正確答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）由橢圓方程的性質可求的周長；（2）設，求出直線方程，解出點坐標，計算，利用二次函數求出最下值；（3）由題意可知：到直線距離是到直線距離的3倍，求出的值，則點的坐標為與直線平行的直線和橢圓的交點，求出直線方程與橢圓聯立可解出點.【詳解】解：（1）由橢圓方程可知.所以的周長為；（2）由橢圓方程得，設，則直線方程為，又，所以直線與的交點為，，當時，（3）若，設到直線距離，到直線距離，則，即，，，可得直線方程為，所以，.由題意得，點應為與直線平行且距離為的直線與橢圓的交點，設平行于的直線為，與直線的距離為，求得或，當時，直線為，聯立方程：，可得，解得或，當時，直線為，聯立方程：可得：，此時方程無解.綜上所述，點坐標為或.21．記分別為函數的導函數.若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“蘭亭點”.(1)證明：函數與不存在“蘭亭點”；(2)若函數與存在“蘭亭點”，求實數的值；(3)已知函數.對存在實數，使函數與在區間內存在“蘭亭點”，求實數的取值范圍.【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據題中“蘭亭點”的定義列兩個方程，根據方程組無解證得結論；（2）同（1）根據“蘭亭點”的定義列兩個方程，解方程組可得a的值；（3）通過構造函數以及結合“蘭亭點”的定義列兩個方程，再由方程組有解即可求得結果.【詳解】（1）函數，則.由且，得，此方程組無解，因此，與不存在“蘭亭點”.（2）函數，則.設為與的“蘭亭點”，由且，得，即，（*）得，即，則.當時，滿足方程組（*），即為與的“蘭亭點”.因此，的值為.（3），函數與在區間內存在“蘭