2023-2024學(xué)年陜西省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)（文）模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用解絕對(duì)值不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即得答案.【詳解】由題意可得集合，，故，故選：A2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（

）A． B．5 C． D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，從而可求得，再用乘法運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】,,則,.故選：B.3．函數(shù)在上的圖像大致為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)解析式和圖象，結(jié)合特殊值，判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，故排除AD，，故排除B，只有C滿足條件.故選：C4．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，【正確答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運(yùn)算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個(gè)點(diǎn)的值，則去除，這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，整體波動(dòng)性減小，故.故選：D.5．已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【正確答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚瑵M足同向共線，所以設(shè)，又因?yàn)椋裕曰颍椿?①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；所以的值為3或15.故選：D.6．國(guó)家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污染物數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前小時(shí)消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）小時(shí).A． B． C． D．【正確答案】C【分析】分析可得出，設(shè)，求出的值，由此可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，可得，設(shè)，可得，解得.因此，污染物消除至最初的還需要小時(shí).故選：C.7．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列不等式中不可能成立的是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由，得到，所以，，分別令，和，結(jié)合選項(xiàng)，得到正確，即可求解.【詳解】由題意，實(shí)數(shù)滿足，可得，所以，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故B可能成立；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故A可能成立；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故C可能成立；所以由排除法得D不可能成立．故選：D.8．已知球與圓臺(tái)的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺(tái)的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（

）．A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺(tái)，畫出圓臺(tái)的軸截面圖，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積，和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即得.【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺(tái)，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)圓臺(tái)的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長(zhǎng)定理可知，，圓臺(tái)的側(cè)面積為，解得，則，即，則球的表面積.故選：A.9．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，在內(nèi)有且只有兩個(gè)最值點(diǎn)，且最大值點(diǎn)大于最小值點(diǎn)，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【正確答案】B【分析】由題意畫出函數(shù)的圖像，然后結(jié)合圖像以及題目的條件，利用特殊點(diǎn)代入，結(jié)合參數(shù)范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】

根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像大致如上，因?yàn)椋蓤D可知，，又，所以，所以，因?yàn)椋蓤D可知，，解得，又因?yàn)椋傻茫援?dāng)時(shí)，.故選：B10．圓上任意一點(diǎn)到直線的距離大于的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從這個(gè)圓上隨機(jī)的取一個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的圓上整個(gè)圓周的弧長(zhǎng)，根據(jù)題意做出符合條件的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角是，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心為，圓心到直線的距離，如圖，取，過(guò)做交圓于，可知滿足條件的點(diǎn)在劣弧上（不包括A，B），在中，,所以，，即,因?yàn)榉蠗l件的點(diǎn)所在弧長(zhǎng)所對(duì)圓心角為，由幾何概型可知,故選：C11．如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，，的截面交于點(diǎn)，截面將四棱錐分成上下兩個(gè)部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計(jì)算可知點(diǎn)投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面DPB，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，BM與EF交點(diǎn)為N,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，又因?yàn)?過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，，，又，，,,為4個(gè)格，為8個(gè)格，故選：C關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：研究并計(jì)算平面,確定點(diǎn)在底面上的投影的位置，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12．在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題意可知，點(diǎn)在所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，然后以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】如圖所示，在平面內(nèi)，，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則橢圓的半焦距，長(zhǎng)半軸，該橢圓的短半軸為，所以，橢圓方程為.點(diǎn)在底面的投影設(shè)為點(diǎn)，則點(diǎn)為的中心，，故點(diǎn)正好為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則，因?yàn)椋手恍栌?jì)算的最大值.設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，即，因此可得，故的最大值為.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線段長(zhǎng)度最值的求解，根據(jù)橢圓的定義得知點(diǎn)的軌跡是橢圓，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解的最大值是解題的關(guān)鍵，在求解時(shí)也要注意橢圓有界性的應(yīng)用.二、填空題13．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距為，轉(zhuǎn)化為，令，則，作出直線并平移使它經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)時(shí)，，解得，所以.此時(shí)取得最小值，即．故答案為.14．已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為，且6，，成等差數(shù)列，則______.【正確答案】【分析】利用等差中項(xiàng)的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)?，，成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，所以.故答案為.15．“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點(diǎn)間距離為米.其中外岸為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游客步行的路程為_______米.【正確答案】如圖，作出月牙湖的示意圖，由題意可得，可求的值，進(jìn)而由圖利用扇形的弧長(zhǎng)公式可計(jì)算得解.【詳解】如圖，是月牙湖的示意圖，是的中點(diǎn)，連結(jié)，可得，由條件可知，所以，所以，，所以月牙泉的周長(zhǎng).故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出圖象，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題.16．已知直線，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為.若過(guò)點(diǎn)的圓與直線相切，且與直線交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，直線的斜率為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，易知過(guò)點(diǎn)且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)，則，由有，設(shè)直線的方程為，代入有，所以，結(jié)合，得.故答案為:三、解答題17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A的大小；(2)若，，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得角A的大小；（2）由余弦定理可得的值，結(jié)合面積公式即可得面積.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.又，所以，.所以，，即，即，又，所以，所以，即.（2）由（1）及題意知中，，，.由余弦定理得，即.所以，所以.18．如圖，已知三棱柱，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，．

(1)求證：平面平面；(2)若，為線段的中點(diǎn)，，求與平面所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，結(jié)合，再利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明即可；（2）由（1），根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求解.【詳解】（1）因?yàn)椋矫妫云矫妫制矫妫裕郑矗矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）由（1）知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，又，所以平面，所以CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

因?yàn)椋运倪呅螢榫匦危忠驗(yàn)椋运倪呅螢檎叫?因?yàn)椋裕裕?由D是線段的中點(diǎn)，得，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則，所以，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．為弘揚(yáng)奧林匹克精神，普及冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)，助力2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某校組織全體學(xué)生參與“激情冰雪—相約冬奧”冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽．從參加競(jìng)賽的學(xué)生中，隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，均在50到100之間，將樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，并將成績(jī)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知成績(jī)?cè)趨^(qū)間70到90的有60人．

(1)求樣本容量，并估計(jì)該校本?競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)及平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)全校學(xué)生有1000人，抽取學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為11，用頻率估計(jì)概率，記全校學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為，估計(jì)全校學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)．【正確答案】(1)樣本容量為100；中位數(shù)，平均數(shù)；(2)621人【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)分析公式可得.（2）先計(jì)算區(qū)間為，根據(jù)頻率分布直方圖求其對(duì)應(yīng)頻率再乘以總數(shù)1000即得.【詳解】（1）設(shè)樣本容量為，則，得，樣本容量為100．設(shè)本次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為，則，得抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)．（2），，則抽取學(xué)生在內(nèi)的頻率為全校學(xué)生有1000人，競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)20．已知雙曲線：的右頂點(diǎn)為A，О為原點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線上，的面積為.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)Р作直線交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)G，H為NG的中點(diǎn)，證明：直線AH的斜率為定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】根據(jù)點(diǎn)在的漸近線上，可得，再根據(jù)的面積求出即可；（2）易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，求出的方程，令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在的漸近線上，所以，，則，所以，故，所以的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，解得且，，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)镠為NG的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋裕灾本€AH的斜率為定值.方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．21．已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，求證.【正確答案】（1）（2）見解析【分析】（I）計(jì)算的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計(jì)算a的范圍，即可．（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到的單調(diào)性，得到，結(jié)合單調(diào)性，即可．【詳解】（Ⅰ）由題設(shè)知，，，.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在處取到最小值，且.由于恒成立，所以.（Ⅱ）設(shè)，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋裕?故存在，使得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，因此.由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，.因此，即單調(diào)遞增.由于，即，即，所以.又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.本道題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判定原函數(shù)的單調(diào)性以及極值問(wèn)題，難度較大．22．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程，在以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線交于、兩點(diǎn)；(1)求曲線的參數(shù)方程與的普通方程；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】(1)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為(2)【分析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程即可，在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出直線的普通方程；（2）利用直線與曲線相交求出的取值范圍，求出以及原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）解：將曲線的極坐標(biāo)方程變形可得由，得，即，所以，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得，所以，直線的普通方程為.（2）解：由（1）知曲線